對一類多元方程問題的求解與思考

【摘要】在初中數學學習中，學生會遇到這樣一類方程，即方程當中出現的未知數的實際數量相對較多，往往會多于方程的個數.面對這類方程，無法使用常規方法求解，需要學生根據這一類方程的特點，選擇使用一定技巧，對質數與合數、未知數取值范圍和實數相等的意義等數學知識加以利用，方可完成解題.因此，多元方程的巧解能夠實現學生解題思維的拓展，使得學生掌握更多的解題技巧，從而提升學生解決問題的能力.

【關鍵詞】初中數學；解題教學；方程解法

方程在數學教學中占據著重要位置，方程的出現與運用極大程度上擴充了數學的應用范圍，使得算術解題法所不能解決的問題可以用方程解決，為數學的發展帶來積極影響.一般來講，方程中的未知量可以是向量或者函數等多種數學對象，其運算方式也不再只局限于簡單的加減乘除，而是需要打破常規方法，通過相應的技巧完成求解.本文對解一類多元方程所使用的方法進行簡單介紹，以供參考.

1 巧用未知數取值范圍

巧用未知數的取值范圍作為解決多元方程問題的有效策略，通常需要對問題進行分析，確定每個未知數可能的取值范圍，并根據范圍縮小空間，或者應用特定的數學方法進行求解，具體包括定義域的確定、增減性分析、極值與端點值、根的近似估計等[1].

例1 解方程x－2+2－x+y－2=0.

解 那么可以得到x－2≥02－x≥0，

解得x=2.

再代回原式，易得y=2.

點撥 方程的求解可以免去逆向思考的不易，通過正向方式列出含有欲求解的量的等式.針對無理方程的求解，可以考慮結合未知數的取值范圍，同時注意根式有意義來巧解這一類方程.

2 整體思想

在研究數學問題時，可以從整體形式、結構或者特征等多個方面入手，以此來找到解題辦法[2].

例2 已知關于x1、x2和x3的方程組為x1+x2=a1①x2+x3=a2②x3+x1=a3③，其中，a1＞a2＞a3，求x1，x2，x3的大小關系.

解 ①-②得：x1-x3=a1-a2，

②-③得x2-x1=a2-a3，

①-③得x2-x3=a1-a3.

因為a1＞a2＞a3，

則有a1-a2>0，a2-a3>0，a1-a3>0，

所以x1>x3，x2>x1，x2>x3，

所以x2>x1>x3.

點撥 在這道題目中，我們已知a1，a2，a3的大小關系，問題是要求x1，x2，x3的大小關系，由此可以聯想采用整體思想，將各個式子相減.

代入求值是初中數學中常見的題型之一.在解答這類題目時，通常需要對已知條件進行整理和轉化，然后找到所求問題與已知條件之間的關系.

對于較難的題目，可以采用整體思維的方式，將問題轉化為已知條件，從而順利解決問題.

例3 已知a+d2=2007，b+d2=2008，c+d2=2009，且abc=24，求A=abc+bca+cab－1a－1b－1c的值.

解 由a+d2=2007，b+d2=2008，c+d2=2009，

可知a－b=－1，b－c=－1，c－a=2，

A=abc+bca+cab－1a－1b－1c

=a2abc+b2abc+c2abc－bcabc－acabc－ababc

=1abc（a2+b2+c2－bc－ac－ab）

=12abc（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2

=148（1+1+4）

=18.

點撥 本題目給出的已知條件數值較大，若是直接代入計算較復雜，可以觀察已知條件之間的數量關系，對其進行變形，并利用整體思想實現化繁為簡，降低解題難度.

3 數形結合思想

數形結合思想強調將抽象的數學思維與形象思維相結合，幫助學生更好地理解和解決問題，這種方式可以有效地拓展學生對于數學問題的認識，轉變看待數學問題的角度.

例4 如圖1所示，在邊長為x的正方形中，裁剪出一個邊長為y的小正方形（x＞y），將剩余部分拼接為新的梯形，根據圖形中空白部分的面積關系，寫出關于x、y的恒等式.

解 利用數形結合的思想，在圖1中，空白部分的面積可以表示為大正方形的面積減去小正方形的面積，因此為x2－y2.在圖2中，組合后的圖形為梯形，根據梯形的面積公式：

S梯=（2x+2y）（x－y）2=（x+y）（x－y）（x＞y）.

因為圖1中和圖2中空白部分的面積是相等的，故可以得到恒等式x2－y2=（x+y）（x－y）.

點撥 從圖示中可以直觀地進行比較，但是要用“數”的方式表達“形”，就需要學生思考如何根據已知條件找到隱含的等量關系.

4 巧用非負數性質

非負數包括零與正數，常以完全平方式進行表示，也可以使用算術平方根表示.當幾個非負數相加得到的和等于0時，每個非負數均為0，可以根據這一性質，將多元方程進行轉換，便于求解.

例5 求方程組2x－y=1①4x+y－2xy－z2=3②

的實數解.

解 根據①可以解得y=2x－1，

將其代入②得到4x2－8x+4+z2=0，

進一步解得4（x－1）2+z2=0，

此時，結合非負數的性質，

得到x－1=0，z=0，

即x=1，z=0，

代回原式，易得方程組的解為x=1y=1z=0.

點撥 此方程的求解用到了非負數的性質，首先用代入法進行消元，再結合非負數的性質找到突破口.

5 結語

本文通過對一類多元方程的巧解，引導學生發現多元方程所具有的不同特點，幫助學生對所學數學知識進行回顧并靈活運用，通過主元法、非負數性質、實數相等的意義與未知數取值范圍等知識的巧妙使用，找到求解一類多元方程的切入點，改變傳統的解題思路，憑借發散性的思維快速解題，從而有效掌握解決一類多元方程的方法與技巧.

參考文獻：

[1]王梅.巧設輔助元妙解應用題[J].初中生世界（七年級），2020（07）：96-97.

[2]朱靜軍.初中數學教學中數學思想的滲透[J].中學數學，2023（24）：42-44.