含參數二元一次方程組和一元一次不等式組的處理與運用

【摘要】含參數的二元一次方程組和一元一次不等式組是初中學生第一次遇到的參數問題.通過等式性質、不等式性質、消元思想等的學習，學生掌握了方程組、不等式組的解法，為解決參數問題打下堅實的基礎.字母表示的參數或未知數對于學生來說仍有一定難度，尤其是求參數值或范圍的問題.本文通過經典例題展示解決參數問題的方法，滲透類比思想，拓展學生思維.

【關鍵詞】初中數學；參數；解題技巧

1 核心知識

二元一次方程組和一元一次不等式組是蘇教版七年級下冊第10章“二元一次方程組”和七年級下冊第11章“一元一次不等式和不等式組”主要學習內容，也是中考熱點內容.在實際應用中，主要運用等式的性質和“代入消元法”“加減消元法”的思想求解方程組.消元思想是指用一個未知量代替其余的未知量，得到只含有一個未知量的式子.對于一元一次不等式組的求解集問題，主要利用不等式的性質.在數軸上表示多個不等式的解集并找到不等式組的解集是學生學習的難點，側面反映出學生對于數形結合思想掌握得不牢固.

2 典型真題教學實例

2.1 已知一元一次不等式組的解集求參數值

例1 若關于x的不等式組x－a>2b－2x>0的解集是－1<x<1，則a+b2021=.

教學示范 在了解學生已掌握知識的基礎上，讓學生獨立審題，并做出以下引導：直接求得（a+b）的值，還是分別求得a和b的值.首先要從不等式組的解集入手，用a和b表示出不等式的解集，再根據題目中給出的解集，找到等量關系.

解析 求解不等式組各不等式解集為x>2+ax<b2，

根據題意得該不等式組解集為2+a<x<b2.

已知解集為－1<x<1，

則2+a=－1，b2=1.

得到a=－3，b=2，

則a+b2021=－1.

達成目標 用字母表示數是蘇教版七年級上冊“整式的加減”中的內容，是從實際問題中抽象出來的.每個整式都可以賦予實際意義.但是在不等式中，當把字母表示的常數與字母表示的未知數放在一起時，學生不能很好的區分.要向學生強調題目中“關于x的不等式組”表達的含義.先利用不等式性質求其解集，得到的解集是含有參數的式子.再根據題目中給出的解集形式得到參數的值.通過例題的講解，學生要做到會審題，有思路，有方法.

2.2 已知一元一次不等式組的特殊解求參數取值范圍

例2 若關于x的不等式組x－a<0①3－2x≤－1②的整數解只有三個，則a的取值范圍是.

教學示范 教師做出以下引導：在求一個不等式組的特殊解時，先求出解集，再在解集中找特殊解.在這個題目中對于特殊解做出了要求，從含a的解集中找到整數解.讓學生自主作答，小組討論.教師巡視，學生思路受阻時，教師給予一定的引導.學生經過自主思考得到答案.該不等式組的解集為2≤x<a，整數解分別為2，3，4.即x<a的最大整數解為4.

解析 由①得x<a，由②得x≥2.有三個整數解，所以該不等式組的解集為2≤x<a，且整數解為2，3，4.故x<a的最大整數解為4，得4<a≤5.

達成目標 該題目只給出了特殊解的個數或特殊解，要求學生根據特殊解求解集.這與以往學習經驗是互逆的，很大程度上增加了問題的難度.要求學生有扎實的求解特殊解的基礎，且具有善于觀察歸納總結的能力.通過觀察結果總結出規律：若x<a的最大整數解為4，則4<a≤5.

2.3 與二元一次方程組融合的一元一次不等式組求參數取值范圍

例3 若關于x，y的方程組4x+y=k+1①x+4y=3②的解滿足0<x+y<1，則k的取值范圍是.

教學示范 先讓學生試著去解決問題，發現學生將①變形為k=4x+y－1.而題目中只給出了x+y的取值范圍，得不到4x+y的取值范圍.提出以下問題對學生進行引導：觀察方程組能不能用含x+y的式子表示k.發現①+②會得到5x+y=k+4，再根據0<x+y<1，可得到k的取值范圍.

讓學生再次閱讀題目并找到與例1之間存在的聯系.發現這兩道題

目都是直接給出解集，求參數的值.在例2中給出方程組解集滿足的條件，求參數取值范圍.類比以上解題思路，引導學生先求出方程組的解.即用含k的式子表示x，y.接下來，根據x，y的表達式和滿足的條件得到一個不等式組，求得k的取值范圍.

解法1 將①+②得k=5（x+y）－4，

根據0<x+y<1，得－4<k<1.

解法2 利用加減消元法解方程組得x=4k+115y=11－k15，

即 0<4k+115+11－k15<1.

解該不等式組得－4<k<1.

達成目標 學生根據以往的學習經驗，可能會用含x，y的式子表示k.但題目中只給出了x+y的取值范圍，所以只有用含x+y的式子表示k才能求出其范圍.需要學生去觀察方程組挖掘其與x+y的聯系.對于方程組與給出的x+y沒有明顯關系時，先用含k的式子表示x，y后，根據0<x+y<1得到只含有k的不等式組，最后求得k的取值范圍.對于含有參數的方程組且給出了解滿足的條件，都可以用此方法解決.該方法具有典型性和直接性.

3 設計說明

3.1 滲透類比思想，熟練掌握方法

含參數的二元一次方程組和一元一次不等式組是學生學習的難點，在解題過程

中，學生常

不能很好地區分表示常數的字母和表示未知數的字母.對于該類型題目進行整理并類比學習，可以培養學生的類比思想.在不等式和不等式組中求參數的值或取值范圍，要找到問題的本質和相通的解法.在學習過程中滲透類比思想，能夠讓學生感悟同類問題的共性和解題思路，進一步熟練掌握解決問題的方法.

3.2 拓展思維，多角度思考問題

為了實現讓學習真實的發生，要給學生足夠的時間去思考和對題目進行比較，以便去解決問題，培養學生獨立審題，自主思考的能力.將二元一次方程組和一元一次不等式組融合考查時，學生已經有了一定的解題思路和方法，可以采用自主探究及小組合作的方式.根據學生已獲得的學習經驗，從多角度思考問題，發生思維碰撞.