初中數學幾何教學中“瓜豆原理”的應用

【摘要】近年來，初中數學幾何教學中的主從聯動問題備受關注，重在提高學生的幾何直觀能力和解決問題的能力.本文研究初中數學幾何教學中“瓜豆原理”的應用，旨在提供一種有效的教學方法和思路，并通過具體例題展示如何利用所得的軌跡解決點線、點圓的最值等問題.

【關鍵詞】初中數學；幾何教學；瓜豆原理

“瓜豆原理”，以一個點的位置移動引起另一個點位置變化的動態特性為核心，不僅在名校模考中頻繁出現，而且被越來越多的優秀教師作為教學的重點研究對象.其解題思路雖然簡單，但衍生的問題千變萬化，成為初中數學教學中的難點.解決此類問題首先應確定主動點的軌跡；其次要重點研究從動點與主動點之間的關系，尋找等角、等比等規律，進而確定從動點的運動軌跡類型；然后運用相似關系和其他數學方法，推導出從動點的具體軌跡；最后利用所得的軌跡解決點線、點圓的最值等問題.

1 點在直線上的瓜豆模型

點在直線上的瓜豆模型中，主要研究的是點在直線上的運動軌跡和相關性質，涉及點的坐標變換和距離計算等內容.在解決問題時，點在直線上的瓜豆模型常涉及點線關系，如點到直線的距離、點在線段上的投影等.

例1 如圖1所示，長方形ABCD中，AB=6，BC=152，E為BC上一點，且BE=32，F為AB邊上的一個動點，連接EF，將EF繞點E順時針旋轉45°到EG的位置，連接FG和CG，則CG的最小值為.

分析 如圖2所示，將線段BE繞點E順時針旋轉45°得到線段ET，連接DE交CG于J.首先證明∠ETG=90°，推出點G在射線TG上運動，進而推出當CG⊥TG時，CG的值最小.

解 因為四邊形ABCD是矩形，

所以AB=CD=6，∠B=∠BCD=90°，

因為∠BET=∠FEG=45°，

所以∠BEF=∠TEG，

又因為EB=ET，EF=EG，

得到△EBF≌△ETGSAS，

所以∠B=∠ETG=90°，故點G在射線TG上運動，當CG⊥TG時，CG的值最小.

又因為BC=152，BE=32，CD=6，

所以CE=CD=6，∠CED=∠BET=45°，

∠TEJ=90°=∠ETG=∠JGT=90°.

故四邊形ETGJ是矩形，

則DE∥GT，GJ=TE=BE=32，

所以CJ⊥DE，JE=JD，

得到CJ=12DE=32，

此時CG=CJ+GJ=32+32.

此題的解法需要運用多個幾何知識點，其中最為重要的是瓜豆原理的應用以及全等三角形的構造.在解題過程中，需要不斷觀察和分析題目中給出的條件，結合已有的幾何知識推導和證明結論.同時，添加常用的輔助線，構造全等三角形能夠幫助我們更好地理解問題，從而得出精確的結論.因此，在學習幾何知識時，學生需要注重培養幾何思維和創造性思考能力，靈活運用所學知識來解決實際問題.

2 點在圓上的瓜豆模型

點在圓上的瓜豆模型中，主要研究的是點在圓上的運動軌跡和相關性質，涉及圓的性質、相似關系和角度關系等內容.在解決問題時，點在圓上的瓜豆模型則涉及點到圓的距離、切線斜率等圓相關的特性.

例2 如圖3所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=16，BC=12，點P在以AB為直徑的半圓上運動，由點B運動到點A，連接CP，點M是CP的中點，則點M經過的路徑長為.

分析 由AB是直徑，得∠APB=90°，取BC，AC的中點E和F，連接ME，MF，EF，由三角形中位線定理知ME⊥MF，即∠EMF=90°，則點M在以EF為直徑的半圓上，即可得出答案.

解 因為∠ACB=90°，

AC=16，BC=12，

所以AB=AC2+BC2=162+122=20，

連接AP，BP，因為AB是直徑，所以∠APB=90°，即AP⊥BP，取BC，AC的中點E和F，連接ME，MF，EF，

在△BPC中，因為M，E為PC、BC的中點，

所以ME∥BP，ME=12BP，

在△APC中，因為點M、F為PC、AC的中點，

所以MF∥AP，MF=12AP，

所以ME⊥MF，即∠EMF=90°，

因此點M在以EF為直徑的半圓上，如圖4所示.

所以EF=12AB=10，點M的運動路徑長為12π×10=5π.

綜上所述，通過研究圓周角定理、三角形中位線定理以及定角對定弦的關系，可以確定點M的運動路徑.在解題過程中，需要靈活應用這些幾何知識，逐步推導和證明結論，從而得出準確的答案.這樣的解題過程不僅培養了學生的幾何思維和分析能力，還提供了實際應用背景，激發了學生的學習興趣和創造性思維.

3 結語

“瓜豆原理”作為初中數學幾何教學中的一個重要應用，具有廣泛的教育意義和實際價值.在教學過程中，教師應該注重培養學生的幾何直觀能力和分析思維能力，鼓勵他們探索問題本身的規律和特點，靈活運用數學知識和方法，從而更深入地理解幾何概念和解決相關問題.“瓜豆原理”只是初中數學幾何教學中的一個方面，還有很多其他的知識點和應用需要關注和研究.教師應該不斷提高自身的教學水平和能力，為學生的學習和成長提供更好的支持和幫助.

參考文獻：

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