巧構輔助圓解答平面幾何問題

【摘要】“輔助圓”是解答初中數學平面幾何問題的一個重要工具，能夠將不同種類的幾何問題都轉化為與圓有關的問題，從而利用圓豐富的幾何性質求解.對于不同類型題目，構造輔助圓的方法和目的也有所不同，本文結合幾道典型例題探討如何巧構輔助圓解答平面幾何問題.

【關鍵詞】輔助圓；平面幾何；初中數學

輔助圓問題題型多樣，構思巧妙，是中考壓軸題的熱點，令許多學生望而卻步.為了解答這一類問題，本文提煉出了以下三種基本的解題模型，以供讀者參考.

1 利用輔助圓求解線段長度

例1 如圖1所示，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，AC=3，AC與BD交于點P，已知AB=BD，PC=0.6，試求四邊形ABCD的周長大小.

解 因為∠B=∠D=90°，結合圖1可知，

A、B、C、D四點在以AC為直徑的圓O上，過點B作BE⊥AD，

因為AB=BD，

所以點O在線段BE上.

因為CD⊥AD，

所以BE∥CD，則∠BOC=∠OCD.

所以△OPB∽△CPD，

則POCP=OBCD，代入數據得CD=1，

所以AD=22，OE=12.

則AB=22+（2）2=6，

BC=32－6=3.

則四邊形ABCD的周長為：

1+3+6+22.

評析 輔助圓在求解線段長度時的主要作用是實現線段的位置轉化或者構造相似或者全等三角形，從而根據比例關系或等量關系求解.

2 利用輔助圓求點的坐標

例2 在平面直角坐標系中，存在兩點A（4，0），B（－6，0），y軸上有一個動點C，當∠BCA=45°時，求點C的坐標.

解 設線段AB的中點為E，

因為點A（4，0），B（－6，0），

所以AB=10，E（－1，0）.

因為點C在y軸上，為了方便求解，分為y軸上半軸和下半軸來討論.

①當點C在y軸上半軸時，如圖2所示，

過點E作EP⊥BA，且EP=12AB=5.

所以△PBA是等腰直角三角形，

則PA=PB=52，

以點P為圓心，線段PA的長為半徑作圓P，其與y軸的交點即為C點.

因為∠BCA是圓P的圓周角，

所以∠BCA=12∠BPA=45°，則點C符合條件.

過點P作PF⊥y軸，垂足為F，

故OF=PE=5，PF=1，

在Rt△PFC中，PF=1，PC=52，則由勾股定理得CF=7.

所以OC=OF+CF=12，

則點C（0，12）.

②當點C在y軸下半軸時，如圖3所示，同理可得點C（0，－12）.

綜上所述，點C的坐標為（0，12）或（0，－12）.

評析 輔助圓適用于在線段相等條件下或者是角度相等條件下求解點的坐標的問題，作出相應的輔助圓后，與坐標軸或者是曲線、直線的交點就是題目所求點的坐標.

3 利用輔助圓求解角的大小

例3 如圖4所示，四邊形ABCD中，AE、AF分別是BC、CD的中垂線，其中∠EAF=80°，∠CBD=30°，求∠ABC和∠ADC的大小.

解 連接AC.因為AE、AF分別是BC、CD的中垂線，

所以AB=AC=AD，

則B、C、D三點在以點A為圓心，AB為半徑的圓A上.

因為∠EAF=80°，

所以∠ECF=100°，

則弧BCD所對應的圓心角為160°.

又因為∠CBD=30°，

所以弧CD所對應的圓心角為60°，

則弧BC所對應的圓心角為100°.

所以∠ADC=180°－60°2=60°，

∠ABC=180°－100°2=40°.

評析 在利用輔助圓求解角的大小時，要合理利用圓的圓周角和圓心角的性質實現等價轉化和角的位置轉移.

4 結語

總的來說，在利用輔助圓解答平面幾何問題時，要明確解題的方向，能夠靈活運用圓的相關性質來實現已知條件的合理轉化.同時，還要善于分解問題，轉換思路，將一些復雜的情況通過輔助圓轉變為簡單的圓問題，問題就能迎刃而解.