換元法在初中幾何題解題中的有效運(yùn)用

【摘要】初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾何教學(xué)要求學(xué)生掌握具體的幾何知識(shí)和定理，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用這些知識(shí)解決問題的能力.換元法作為一種在數(shù)學(xué)解題中廣泛應(yīng)用的方法，可以通過引入新的元素或變量，改變解題角度或路徑，從而簡化問題，使得復(fù)雜的幾何問題變得易于理解和解決.本文通過列舉換元法在解決長度問題、面積問題和角度問題中的具體應(yīng)用，為初中幾何教學(xué)提供新的視角.

【關(guān)鍵詞】換元法；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

1 引言

數(shù)學(xué)學(xué)科作為激發(fā)創(chuàng)新思維和解決問題能力的重要平臺(tái)，承載著培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維和分析能力的任務(wù).數(shù)學(xué)學(xué)科中的幾何學(xué)，以其獨(dú)特的形象性和邏輯性，具有培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念、推理能力以及抽象思維能力的作用.初中階段作為學(xué)生學(xué)習(xí)的關(guān)鍵期，關(guān)系著學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，影響著學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力.解題方法的選擇和應(yīng)用作為提高幾何教學(xué)效果的關(guān)鍵，應(yīng)用換元法可以將復(fù)雜的幾何問題轉(zhuǎn)化為更易理解和解決的形式，從而提高學(xué)生解題的效率和準(zhǔn)確率[1].本文將深入探討換元法在初中幾何題解題中的有效運(yùn)用，以期為初中幾何教學(xué)提供實(shí)踐指導(dǎo).

2 換元法在初中幾何題解題中的有效運(yùn)用

2.1 長度問題

例題呈現(xiàn) 如圖1，菱形ABCD的面積為120cm2時(shí)，正方形AECF的面積為50cm2，則菱形的邊長為cm.

解題思路 菱形和正方形均為軸對(duì)稱圖形，且對(duì)稱軸互相垂直.可以求得對(duì)稱軸AC以及對(duì)稱軸BD的值，根據(jù)勾股定理，求得菱形的邊長.

解題過程 設(shè)AC=2x，BD=2y，則可以聯(lián)立方程組：

122x2=50 ①，

122x2y=120 ②，

由①②，解得x=5，y=12，

根據(jù)勾股定理，AB=52+122=13，即菱形的邊長為13cm.

2.2 面積問題

例題呈現(xiàn) 如圖2，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，D為垂足，BD=6，CD=4，求△ABC的面積.

解題思路 本題在于運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)，設(shè)置未知數(shù)，通過勾股定理列出方程進(jìn)行

求解，從而計(jì)算三角形面積.

解題過程 如圖3所示，分別作△ABD，△ACD關(guān)于AB，AC的對(duì)稱圖形△ABE，△ACF，延長EB，F(xiàn)C并相交于點(diǎn)G，由∠BAC=45°，AD為△ABC的高線，可知四邊形AEFG是邊長為AD的正方形.

設(shè)AE=AD=x ，在直角三角形BCG中，

BG=x－6，CG=x－4，BC=10，

于是x－62+x－42=100，

即x2－10x－24=0，

解得x=12（舍去負(fù)值），

因此，S△ABC=12×10×12=60

2.3 角度問題

問題呈現(xiàn) 如圖4，正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF，GH分割成四個(gè)矩形，EF，GH交點(diǎn)為P.若矩形PFCH的面積恰為矩形PEAG的面積的兩倍，試確定∠HAF的度數(shù).

解題思路 觀察圖形，猜想∠HAF=45°.正方形條件易實(shí)施旋轉(zhuǎn)變換，由此可獲求解途徑.

解題過程 將△ADH繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△ABQ，連接AQ，則AQ = AH，

設(shè)AG=a，BG=b，AE=x，ED=y，

則由條件可知，2ax=by式①，

又a+b=x+y，即a－x=y－b ，

兩邊平方得a2－2ax+x2=y2－2by+b2，將①代入，可得a+x2=y2+b2，

于是，a+x=y2－b2=FH，

即FQ = FH，

又AH=AQ，AF為公共邊，故△AFH≌△AFQ，∠HAF=∠QAF，由于∠HAQ=90°，

所以∠HAF=45°.

3 換元法在初中幾何題解題中的教學(xué)啟示

3.1 強(qiáng)化問題解決能力的培養(yǎng)

換元法強(qiáng)調(diào)觀察問題的多角度性，要求學(xué)生在解題時(shí)能夠靈活地從一個(gè)角度轉(zhuǎn)換到另一個(gè)角度看問題.學(xué)生在使用換元法時(shí)，可以對(duì)原有條件或者已知數(shù)學(xué)事實(shí)進(jìn)行重新組合或替換，發(fā)現(xiàn)問題的新的解決路徑，有助于學(xué)生形成更為靈活的思考模式，深入分析問題的本質(zhì)，從而在遇到復(fù)雜問題時(shí)，能夠快速地從多個(gè)角度分析問題，尋找解決方案.在幾何問題中進(jìn)行換元操作時(shí)，學(xué)生可以準(zhǔn)確判斷哪些元素可以進(jìn)行替換，以及替換后如何有效利用新的元素解決問題[2].這一過程鍛煉了學(xué)生的邏輯思維能力，提高了他們的空間想象力，幫助學(xué)生能夠嚴(yán)密地分析問題和驗(yàn)證解題步驟的正確性，為解決空間幾何問題提供了強(qiáng)大的支持.

3.2 提高數(shù)學(xué)思維的靈活性

換元法要求學(xué)生能夠靈活應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)，通過變換視角或轉(zhuǎn)換條件，發(fā)現(xiàn)并利用問題之間的內(nèi)在聯(lián)系.這一方法的應(yīng)用可以教會(huì)學(xué)生在看似沒有直接聯(lián)系的條件或知識(shí)點(diǎn)之間，通過創(chuàng)造性的思考建立聯(lián)系，找到解題的新路徑，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和解決問題的能力.在幾何模塊的學(xué)習(xí)中，學(xué)生可以利用換元法將問題轉(zhuǎn)化為更熟悉或更簡單的問題來解決[3].這一過程可以促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不斷地探索和嘗試，鼓勵(lì)他們不畏懼錯(cuò)誤，提升面對(duì)新問題時(shí)的自信心和解決問題的積極性，通過不斷地實(shí)踐和反思，逐步提高自己的數(shù)學(xué)思維能力，并進(jìn)一步培養(yǎng)思維的靈活性和創(chuàng)新能力.

3.3 促進(jìn)深層次學(xué)習(xí)

換元法要求學(xué)生徹底理解每一個(gè)數(shù)學(xué)概念和定理的本質(zhì)，以及它們之間的邏輯聯(lián)系，從而將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題或已知問題.這種方法改變了學(xué)生簡單的記憶和機(jī)械的學(xué)習(xí)方法，達(dá)到了對(duì)知識(shí)的深層次掌握和應(yīng)用.在尋找換元的過程中，學(xué)生需要自己去發(fā)現(xiàn)和構(gòu)建新的知識(shí)框架，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力，使他們?cè)趯W(xué)習(xí)中更加主動(dòng)和富有創(chuàng)造性.換元法的應(yīng)用教會(huì)了學(xué)生如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，如何通過努力探索未知事物，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)深層次的理解和欣賞，為學(xué)生的全面發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

3.4 增強(qiáng)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和自信心

通過掌握和應(yīng)用換元法，學(xué)生能夠主動(dòng)地從不同角度和層次去思考和解決問題.運(yùn)用換元法的成功體驗(yàn)可以提升學(xué)生的自信心，使他們更加相信自己的能力，促使學(xué)生愿意在學(xué)習(xí)中投入更多的主動(dòng)性和熱情.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中換元法的使用，促使學(xué)生逐漸建立起解決問題的自信，促進(jìn)了學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科的深入學(xué)習(xí)，也使得學(xué)生在面對(duì)生活中的各種挑戰(zhàn)和問題時(shí)，積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)態(tài)度和強(qiáng)烈的自我效能感促使其尋找解決方案，促進(jìn)學(xué)生的個(gè)人發(fā)展和未來學(xué)習(xí).

4 結(jié)語

換元法在初中幾何題解題中的運(yùn)用，可以解決長度、面積、角度等數(shù)學(xué)幾何問題，也可以影響學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解題能力.通過換元法的系統(tǒng)學(xué)習(xí)和實(shí)踐，可以培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力、思維的靈活性、深層次的學(xué)習(xí)理解以及學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和自信心.這有利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)，提升學(xué)生在面對(duì)未來復(fù)雜問題時(shí)的自我效能和靈活解決問題的能力，從而促進(jìn)學(xué)生全面而深入地發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

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[2]陳剛.換元法助力提升初中數(shù)學(xué)解題效率[J].數(shù)理天地（初中版），2023（23）：31-32.

[3]劉曉燕.發(fā)掘隱含條件，巧設(shè)輔助元素——初中代數(shù)中運(yùn)用換元法解題的思路與方法探索[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（22）：76-77.