離心率取值范圍的破解策略

【摘要】圓錐曲線中的離心率的取值、最值或取值范圍等問題是高考命題的一個(gè)重要方向．本文結(jié)合實(shí)例，就幾何法、函數(shù)法、不等式法等剖析破解離心率的取值范圍問題的幾種常見技巧策略，總結(jié)解題方式，拓展解題思維，歸納解題規(guī)律，指導(dǎo)師生的數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)以及解題研究．

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；離心率；橢圓；雙曲線

離心率是一個(gè)反映圓錐曲線形狀的幾何量，是圓錐曲線統(tǒng)一定義的橋梁與紐帶．圓錐曲線中橢圓（或雙曲線）的離心率的取值范圍的求解問題，一直是圓錐曲線模塊知識(shí)考查的熱點(diǎn)問題，常考常新，方式多變，綜合性強(qiáng)，難度較大．本文就對(duì)解離心率的取值范圍問題的一些常見解題技巧策略加以總結(jié)與歸納，結(jié)合實(shí)例加以剖析與應(yīng)用，以幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)和瓶頸，拋磚引玉．

1 幾何法

根據(jù)題設(shè)條件中曲線所對(duì)應(yīng)圖形的幾何性質(zhì)，結(jié)合平面幾何中的相關(guān)知識(shí)合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的不等式，進(jìn)而得以確定橢圓或雙曲線中參數(shù)a，b，c之間的不等式關(guān)系，結(jié)合離心率的定義得到對(duì)應(yīng)的不等式及其取值范圍．

例1 已知P是以F1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)的橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0上一點(diǎn)，若∠F1PF2=120°，則該橢圓的離心率的取值范圍是．

分析 抓住橢圓所對(duì)應(yīng)曲線圖形的幾何性質(zhì)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)處沿橢圓弧向短軸端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，P對(duì)兩個(gè)焦點(diǎn)的張角∠F1PF2逐漸增大，當(dāng)P點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)P0處時(shí)，∠F1PF2最大，通過平面幾何思維來切入，利用直角三角形所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)定義來確定離心率的取值范圍．

解 根據(jù)橢圓圖形的幾何性質(zhì)，可知當(dāng)點(diǎn)P為橢圓的短軸頂點(diǎn)（不妨設(shè)上頂點(diǎn)為A）時(shí)∠F1PF2最大，由于存在點(diǎn)P為橢圓上的一點(diǎn)，使得∠F1PF2=120°，

所以在△AF1F2中，∠F1AF2≥120°，

那么在Rt△AOF2中，∠OAF2≥60°，

結(jié)合三角函數(shù)的定義有：

e=ca=sin∠OAF2≥sin60°=32，

又0<e<1，則有32≤e<1，

即該橢圓的離心率的取值范圍是32，1，

故填答案：32，1．

2 函數(shù)法

根據(jù)題設(shè)條件中相關(guān)參數(shù)的取值范圍或隱含相關(guān)變量的取值范圍，合理構(gòu)建離心率與對(duì)應(yīng)參數(shù)（或變量）間的函數(shù)關(guān)系式，通過函數(shù)思維與方法，利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)與方程、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等方法來求出離心率的取值范圍．

例2 ［2023屆湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)高三上學(xué)期月考（四）（2022年12月）數(shù)學(xué)試題］設(shè)F1，F(xiàn)2同時(shí)為橢圓C1：x2a2+y2b2=1a>b>0與雙曲線C2：x2a21-y2b21=1a1>0，b1>0的左、右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓C1與雙曲線C2在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)M，橢圓C1與雙曲線C2的離心率分別為e1，e2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若F1F2=4MF2，則e1e2的取值范圍是．

分析 根據(jù)圓錐曲線的定義構(gòu)建相關(guān)參數(shù)的關(guān)系式或不等式，結(jié)合參數(shù)間的關(guān)系，將兩離心率的乘積表示成對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，利用消參轉(zhuǎn)化為單參函數(shù)問題，以函數(shù)思維來解決對(duì)應(yīng)的取值范圍問題．

解 因?yàn)镕1F2=4MF2，

即2c=4MF2，則有MF2=12c，

由橢圓的定義可得：

MF1=2a－MF2=2a－12c，

由雙曲線的定義可知0<2a1=MF1－MF2=2a－－12c－12c=2a－c<2c（三角形的基本性質(zhì)：三角形兩邊之差小于第三邊），

則有2a<3c，所以e1=ca>23，

即e1∈23，1，亦即1e1∈1，32，

又e2=2c2a1=2c2a－c=2e12－e1，

所以e1e2=2e212－e1=22e21－1e1=

221e1－142－18∈23，2，

故填答案：23，2．

3 不等式法

根據(jù)題設(shè)條件中的參數(shù)a，b，c之間的不等關(guān)系式的構(gòu)建，或其他已知相關(guān)參數(shù)得到涉及離心率的不等式等，進(jìn)而通過不等式的基本性質(zhì)、不等式（組）的求解等方法來求出離心率的取值范圍．

例3 過橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左頂點(diǎn)A且斜率為k的直線交橢圓C于另一點(diǎn)B ，且點(diǎn)B在x軸上的射影恰好為右焦點(diǎn)F，若16<k<13，則橢圓C的離心率的取值范圍是．

分析 直接“翻譯”題設(shè)條件，通過點(diǎn)的坐標(biāo)的確定，并利用直線的斜率公式構(gòu)建參數(shù)k的關(guān)系式，通過題設(shè)中不等式條件來分析與求解，得以確定離心率的取值范圍．

解 依題可得左頂點(diǎn)A－a，0，右焦點(diǎn)Fc，0，將x=c代入橢圓的方程，

可得c2a2+y2b2=1，

解得y=±b2a，可得點(diǎn)Bc，±b2a，

結(jié)合直線的斜率公式，可得直線AB的斜率為

k=±b2ac+a=±b2aa+c=±a2－c2aa+c

=±a－ca=±1－e，

而16<k<13，0<e<1，

則有16<1－e<13，

解得23<e<56，所以橢圓C的離心率的取值范圍是23，56，

故填答案：23，56．

4 結(jié)語

破解離心率的取值范圍問題，關(guān)鍵就是充分分析與理解題目，從圓錐曲線的定義入手，結(jié)合曲線圖形的直觀，通過參數(shù)的函數(shù)、不等式的構(gòu)建等方式，利用函數(shù)思維或不等式思維，以及其他相關(guān)知識(shí)來綜合應(yīng)用．在實(shí)際破解此類問題時(shí)，有時(shí)一種解題技巧策略獨(dú)領(lǐng)風(fēng)騷，有時(shí)多種技巧策略齊心協(xié)力，共同協(xié)作，綜合應(yīng)用，從而實(shí)現(xiàn)問題的化歸與轉(zhuǎn)化，有效化陌生為熟悉，得以有效破解離心率的取值范圍問題．