高中數學中三角函數的解題方法探析

【摘要】基于新課標的高中數學教學中，針對三角函數的教學，教師明確三角函數題目的形式多樣、內容豐富，涉及諸多的三角函數公式，解題方法靈活運用，也存在一定的規律.本文基于以往三角函數的解題方法教學的問題，通過運用實踐探究法，提出三角函數的解題方法：利用角之間關系的湊角法，基于高次三角式的降冪法，有效轉換式結構的換元法，涉及含參與正負的討論法，根據已知的數據的猜想法.教師指導學生運用這些解題方法，能提高學生解題能力，培養學生數學思維方法，發展學生數學核心素養，提高三角函數的教學效果.

【關鍵詞】高中數學；三角函數；解題方法

1 引言

三角函數是高中數學課程中非常重要的一部分，通過深讀近年來的全國高考數學真題，很多大題直接或者間接融入了三角函數的解題方法.三角函數也是高中數學的難點知識，涉及非常多的公式定理、解題原理、解題方法，對學生的數學思維和運算能力等提出了較高要求.因此，在新課標與新高考背景下，高中數學教學中，教師要重點指導學生三角函數的解題方法，加強解題方法的訓練，幫助學生快速、準確、科學解答各類三角函數題目[1].

2 高中數學中三角函數的解題方法

2.1 利用角之間關系的湊角法

在高中數學三角函數題目中，求值問題非常常見.一些求值問題能通過觀察角之間的關系，并全面運用這種角之間關系湊出特殊角，以此快速解題.

例1 求tan20°+4sin20°的值.

教師先帶領學生回顧三角求值方法，重點是消除函數名稱、式子結構、角度之間差異，再觀察本題特點，明確要消除特殊角和非特殊角間的差異.所以教師先讓學生自主試著解答，再指導解析.

原式

=sin20°+2sin40°cos20°=sin20°+2sin（60°－20°）cos20°

=sin20°+2（sin60°cos20°-cos60°sin20°）cos20°

=3，

教師引領學生利用角之間的關系，分析三角函數的題目結構，運用湊角法變化式子結構，逐步地解決問題，以此發揮湊角法的重要價值.教師還要引入更多相似類型的題目，要求學生通過觀察三角函數式子結構，利用湊角法進行解答.

2.2 基于高次三角式的降冪法

在三角函數的題目中，通常還有一些涉及高次三角式的求值題.對于這類題，教師指導學生運用降冪法解題，是根據已知和sin2α+cos2α+1，或者是降冪公式sin2α=1－cos2α2，cos2=1+cos2α2等降冪對策進行解答.

例2 若cosα+cos2α=1，求sin2α+sin6α+1的值.

教師先讓學生認真分析原式，思考解題策略，有的學生說求出cosα的值后代入，教師提醒學生這樣導致運算量很大，降低解題效率，要學會降冪.

教師引領學生運用降冪法解答，最后得出結果是：35－52.

教師還要引入更多高次三角式的求值類型的題目，要求學生基于

所學三角式的基礎知識，運用降冪法進行解答，以此讓學生在解

題中更好熟悉降冪法，最后進行總結，以此有效提高這類題的解

題能力.

2.3 有效轉換式結構的換元法

換元法是常用的解題方法，在給值求值問題中，題目所給是單角的某一三角函數值，用換元法能將原式轉化為熟悉的已知單角的三角函數值求值問題.

例3 sinα+75°+cosα+45°－3α+15°的值.

對于這個題目，教師要指導學生根據三部分式子用換元法解答.

令α+15°=β，

原式=sin（β+60°）+cos（β+30°）-3cosβ=（sinβcos60°+cosβsin60°）+（cosβcos30°-sinβsin30°）-3cosβ=0.

教師還要引入類似題目，教師還要引入類似題目，比如已知

教師指導學生注重聯系已學知識，基于換元法進行解答。教師還可以通過設問的方式進行提

示，比如“設t等于什么進行換元”，以此可以更好讓學生掌握換元法，解答涉及較多數值

的三角函數題，提高學生解題能力.

2.4 涉及含參與正負的討論法

在三角函數題中，還有一些涉及含有參數或者正負數情境的題目，學生解題過程中容易出現問題，教師要指導學生運用討論法進行分析和解題[2].

例4 已知△ABC中，sinA=513，cosB=45，求cosC.

教師先讓學生審讀本題，明確分類討論法要基于問題化整為零、化難為易、化簡為繁，

根據本題先求出cosA，通過驗證明確cosA=1213，符合題意，

最后求得cosC=－3365.

2.5 根據已知的數據的猜想法

猜想法也是數學解題中非常重要的思想方法，針對三角函數問題，需要根據已知數據的特點進行合理猜想，這樣可以更好解決求值問題.

例5 已知sinα+cosα=1-32，且α是第二象限角，那么sinα= .

教師指導學生根據原題合理猜想，最后求得sinα=12.

3 結語

綜上所述，基于新課標的課程理念，結合高中數學三角函數教學的情況，本文提出了5種解題方法，教師要根據學生的數學基礎和認知情況，指導學生合理運用這些解題方法，讓學生明確其中的原理，探究蘊含的數學思想，這樣能更好提高學生思維能力和解題能力，更好地提升三角函數的教學效果.

參考文獻：

[1]李雨軒.高中數學三角函數解題方法的總結與思考[J].高考，2019（03）：174-175.

[2]徐麗.高中數學三角函數的解題技巧之我見[J].求知導刊，2019（38）：82-83.