高中數(shù)學(xué)常見的恒成立問(wèn)題的一般解法

【摘要】本文通過(guò)對(duì)恒成立的數(shù)學(xué)問(wèn)題的特點(diǎn)和解題方法進(jìn)行分析，總結(jié)了常見的解題策略.這些解題策略在解決一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)具有重要的指導(dǎo)意義.通過(guò)具體案例的分析，展示了這些策略在實(shí)際問(wèn)題解決中的應(yīng)用.希望本文能為讀者提供解決恒成立問(wèn)題與存在性問(wèn)題的有效途徑，提高解題的能力和水平.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；恒成立問(wèn)題；解題策略

恒成立問(wèn)題是數(shù)學(xué)中常見的兩類問(wèn)題，解決這類問(wèn)題需要靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和技巧，總結(jié)一些常見的解題方法，幫助讀者能夠更好地掌握解決這兩類問(wèn)題的技巧，具體研究如下：

1 區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值含參的恒成立問(wèn)題中的應(yīng)用

例1 若函數(shù)f（x）=x－13sin2x+asinx在（－∞，+∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）

（A）［－1，1］. （B）－1，13.

（C）－13，13.（D）－1，－13.

解 因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x－13sin2x+asinx在（－∞，+∞）上單調(diào)遞增，

所以f′（x）=1－23cos2x+acosx=－43cos2x+acosx+53≥0在（－∞，+∞）上恒成立，

令k=cosx，則g（k）=－43k2+ak+53≥0在［－1，1］上恒成立，

因?yàn)槎魏瘮?shù)g（k）=－43k2+ak+53的圖象是開口向下的，

所以g（－1）=－43－a+53≥0g（1）=－43－a+53≥0，解得－13≤a≤13.故選（C）.

本題是關(guān)于二次函數(shù)恒成立求參數(shù)的恒成立問(wèn)題，只有滿足a>0，且f（x）≤0在區(qū)間［m，n］上恒成立（a<0，且f（x）≥0在區(qū)間［m，n］上恒成立）時(shí)才適用，否則不可套用此法.

2 確定主元，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性解題

例2 對(duì)于滿足a≤2的所有實(shí)數(shù)a，求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范圍.

解 將原不等式轉(zhuǎn)化為x2+（a－1）x－2a+1>0在a≤2時(shí)恒成立，

設(shè)f（x）=x2+（a－1）x－2a+1，則f（a）在［－2，2］上恒大于0，故有f（－2）>0，f（2）>0，即x2－4x+3>0，x2－1>0，解得x>3或x<1，x>1或x<－1，所以x<－1或x>3. 即x∈（－∞，－1）∪（3，+∞）.

本題構(gòu)造新函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求出參數(shù)取值范圍.

舉一反三 例3 若對(duì)于任意a∈（－1，1］，函數(shù)f（x）=x2+（a－4）x+4－2a的值恒大于0，求x的取值范圍.

解 設(shè)g（a）=（x－2）a+x2－4x+4，將其看成關(guān)于a的直線，

可知，直線恒在橫軸上方

所以g（－1）≥0，g（1）>0，

解得x<1或x=2或x≥3.

3 區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值為零，一階導(dǎo)函數(shù)單調(diào)且含參的恒成立問(wèn)題中的應(yīng)用

例4 設(shè)函數(shù)f（x）=（1－x2）ex，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤ax+1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解 設(shè)h（x）=ax+1－f（x）=（x2－1）ex+ax+1，故當(dāng)x≥0時(shí)h（x）≥0恒成立，

因?yàn)閔（0）=0，h′（x）=（x2+2x－1）ex+a，

h（x）=（x2+4x+1）ex，x≥0時(shí)，則h（x）>0，

于是h′（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞增，h′（x）≥h′（0）=a－1.

①證必要性：當(dāng)a<1時(shí)，h′（0）=a－1<0，由于h′（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞增，故x0∈（0，+∞），使得當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，h′（x）>0，此時(shí)h（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，于是h（x）<h（0）=0，不符合題意.

②證充分性：當(dāng)a≥1時(shí)，h′（0）=a－1≥0，由于h′（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞增，所以h′（x）≥h′（0）≥0，此時(shí)h（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞增，于是h（x）≥h（0）=0，符合題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍［1，+∞）.

本題由于一階導(dǎo)函數(shù)含參且在定義域上單調(diào)遞增，易利用區(qū)間端點(diǎn)迅速解決問(wèn)題.

舉一反三 例5 （2023全國(guó)甲卷21題節(jié)選）已知函數(shù)f（x）=ax－sinxcos3x，x∈0，π2.若f（x）<sin2x，求a的取值范圍.

解 由f（x）<sin2x，

得ax－sinxcos3x－sin2x<0，

令g（x）=ax－sinxcos3x－sin2x，x∈0，π2，g（0）=0，

則g′（x）=a－3－2cos2xcos4x－2cos2x=a－3cos4x+2cos2x－4cos2x+2，

當(dāng)x∈0，π2時(shí)，令t=1cos2x，t∈（1，+∞），且t=1cos2x在0，π2上單調(diào)遞增.

則g′（x）=m（t）=a－3t2+2t－4t+2，t∈（1，+∞），

m′（t）=－6t+2+4t2，易知y=m′（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，

所以m′（t）<m′（1）=－6+2+4=0，故m（t）=a－3t2+2t－4t+2在（1，+∞）上單調(diào)遞減，

從而m（t）<m（1）=a－3+2－4+2=a－3，

令m（1）≤0，得a≤3（問(wèn)題成立的必要條件）.

易得g（0）=0，g′（1）=a－3，且g（0）<0恒成立，一階導(dǎo)函數(shù)在端點(diǎn)處值含參，若一階導(dǎo)函數(shù)g′（x）是單調(diào)遞減函數(shù)，利用端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題迎刃而解.故有必要討論一階導(dǎo)函數(shù)g′（x）的單調(diào)性.令t=1cos2x進(jìn)行換元后，轉(zhuǎn)化為討論m（t）=a－3t2+2t－4t+2在（1，+∞）上的單調(diào)性，大大減少了計(jì)算量.

4 結(jié)語(yǔ)

在解題過(guò)程中要靈活運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，善用各種解題策略，并鼓勵(lì)培養(yǎng)創(chuàng)造性思維，勇于嘗試不同的方法來(lái)解決問(wèn)題.解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程不僅僅是得出答案，更重要的是提高自己的邏輯推理能力和問(wèn)題解決能力.希望本文所介紹的解題策略能夠幫助讀者更好地應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果，激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)的興趣.

【廣西教育科學(xué)規(guī)劃2021年度課題“核心素養(yǎng)下高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)方法初探”編號(hào)：2021C676階段性成果.】

參考文獻(xiàn)：

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