巧用構造法解答高中數學試題

【摘要】解題訓練在理科學科教學中占據著重要地位，不僅能夠幫助學生練習運用所學知識解題，還可以讓他們在解題實踐中發現個人薄弱之處，使其有針對性地加強訓練.在高中數學解題訓練中，教師除介紹一些常用解題方法，還需指引學生巧用構造法，增強他們的解題能力.

【關鍵詞】構造法；高中數學；解題技巧

構造法就是當處理部分數學試題時，采用定向思路與常規方法遇到障礙，可以結合題干中出現的已知條件與所求結論從新視角展開研究，根據這些信息之間存在的內在關聯構造出滿足已知條件與所求結論的數學對象，由此降低原題難度.高中數學教師在平常的解題訓練中可指導學生巧用構造法，使其通過構造出新的數學對象找到簡便方法，順利解答試題.

1 巧用構造法解答方程試題

構造方程法即通過方程知識解答試題.在高中數學解題訓練中，當試題中出現顯著的數量關系或者結構特征時，教師可引導學生巧用構造方程的方法得到等量關系，借助未知數將抽象部分轉化為新的數學形式，從而把原題變得簡單，讓學生結合新式子的相關特征及知識順利解答試題.

例1 已知方程（u－i）2－4（i－x）2（x－u）=0，請證明：u，i，x能夠組成一個等差數列.

分析 在本試題中，能夠直接運用構造法展開分析和解題，認真觀察題干中給出的方程式，根據等量關系構造出新式子，通過觀察看到原方程與已經學過的二次函數中Δ=b2－4ac比較類似，故可據此確定解題方案與思路，結合函數及方程相關知識來解答試題.

證明 如果方程（i－x）t2+4（u－i）t+（x－u）=0，

則Δ=（u－i）2－4（i－x）（x－u），

又因為方程（u－i）2－4（i－x）2（x－u）=0成立，

所以Δ=0，

由此說明方程（i－x）t2+4（u－i）t+（x－u）=0只存在一個實數根，

則t=1，

根據韋達定理可以得到：

x1+x2=－u－ii－x=12，

所以i+x=2u，

從而證明u，i，x能夠組成一個等差數列.

2 巧用構造法解答函數試題

不少高中數學試題都涉及函數知識，教師應引導學生巧妙采用構造法處理函數類試題，使其借助構造法優化解題思路，將復雜化的試題轉變為簡單形式，找到簡便算法，有效降低解題難度，最終順暢解答試題.

例2 已知（x+2y）5+x5+2x+2y=0，那么x+y的值是什么？

分析 解答本題可采用構造函數的方法，因為在原式中出現兩類未知數x與y，且是高次冪，直接求解的話難度較大，需對該式子進行仔細分析，找到存在的函數關系，構建等式，完成解題.

詳解 原式可移項變形為：

（x+2y）5+（x+2y）=－（x5+x），

設函數f（t）=t5+t，該函數為一個奇函數，

所以f（x+2y）=－f（x）=f（－x），

由此得到x+2y=－x，

則2x+2y=0，

所x+y的值是x+y=0.

3 巧用構造法解答數列試題

在高中數學課程教學中，數列也是一類較為重要的內容，以常見的等差和等比這兩種數列為主，也是高考中必考點之一.數列呈現出的規律比較特殊，題干中往往能夠清晰展示題目特點.在高中數學數列解題訓練中，教師可指導學生結合實際問題特征巧用構造法，將遞進公式展開變形，使學生根據概念確定數列具體類型，順暢解題.而且教師應提示學生根據具體問題構造等差或者等比數列，讓他們能夠結合數列的實際性質輕松解答試題.

例3 已知數列an中，a1=5，a2=2，a3=2an－1+3an－2，且（n≥3），那么數列an的通項公式是什么？

分析 這是一類比較常見的數列題目類型，題干中提供一些項的值和等量關系，要求的則是數列通項公式，如果使用直接求解法的話極易出錯，不過可以巧用構造法，結合題干中提供信息和條件展開適當變化和構造，繼而找到清晰、簡便的解題方案.

詳解 因為a3=2an－1+3an－2，

所以an+an－1=3（an－1+an－2），

又因為a1+a2=5+2=7，

所以{an+an－1}就是一個以7為首項，3為公比的等比數列，

即為an+an－1=7×3n－1①，

因為an－3an－1=－（an－3an－2），

a2－3a1=2－3×5=2－15=－13，

所以{an－3an－1}就是一個以－13為首項，－1為公比的等比數列，

即為an－3an－1=（－13）（－1）n－1②，

然后令①×3＋②能夠得到：

4an=7×3n－1+13（－1）n－1，

所以an=74×3n－1+134（－1）n－1.

4 巧用構造法解答圖形試題

在高中數學解題教學中，處理解析幾何或者立體幾何類的問題時，教師可以引導學生把構造法同數形結合思想有機整合在一起，按照題目中的數量關系對圖形展開構造，使學生結合直觀化的圖形分析抽象化的數學問題，由此降低解題難度，輔助學生準確、快速地求得問題答案.

例4 已知α，β，γ都是銳角，且滿足cos2α+cos2β+cos2γ=1，請證明：tanα·tanβ·tanγ≥22.

分析 由于α，β，γ均為銳角，故可以構造一個長方體，將這三個角視為一條對角線（長為1）與相鄰3個面的夾角，用長方體的一頂點上3條棱a，b，c來表示tanα，tanβ，tanγ，再采用均值不等式a2+b2≥2ab完成證明.

證明 通過觀察與聯想根據題意可構造一個長方體ABCD－A1B1C1D1，如圖1所示，把α，β，γ視為一條對角線（長為1）與相鄰3個面的夾角，將該頂點的三條棱設為a，b，c，則在該長方體中，a2+b2+c2=12，

所以（a1）2+（b1）2+（c1）2=1，

因為α，β，γ均為銳角，

且cos2α+cos2β+cos2γ=1，

令a1=cosα，b1=cosβ，c1=cosγ，

則tanα=b2+c2a≥2bca，

tanβ=a2+c2b≥2acb，

tanγ=a2+b2c≥2abc，

所以tanα·tanβ·tanγ≥22.

5 結語

總的來說，在高中數學解題活動中，教師應深刻了解構造法的功效，帶領學生以理解構造法的內涵為前提展開解題練習，使其根據不同試題特征靈活使用構造法，結合題設中的條件與結論構造出符合解題需求的數學對象，讓學生高效完成試題的解答，為高考作準備.

參考文獻：

[1]代建廣.構造法在高中數學解題訓練中的應用技巧[J].數理天地（高中版），2023（15）：43-44.

[2]張宏敏.應用構造法在高中數學中的解題策略[J].數理天地（高中版），2022（18）：49-51.