圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)解題中的妙用

【摘要】本文針對圓錐曲線參數(shù)方程如何在高中數(shù)學(xué)解題中妙用進(jìn)行研究，同時列出一些列解題實例.

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線；參數(shù)方程；高中數(shù)學(xué)

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，隨著試題難度的增加，教師在平常解題訓(xùn)練中需指導(dǎo)學(xué)生借助圓錐曲線參數(shù)方程進(jìn)行解題，使其通過巧妙使用有效簡化解題流程，提升他們解答數(shù)學(xué)試題的效率.

1 妙用參數(shù)方程解答圓類試題

通常情況下，參數(shù)方程的使用形式是將x與y列成一個方程組，分別表示變量t的函數(shù)，即為給定一個確定的t值，能夠求出對應(yīng)的唯一的x與y的值，但是x與y不一定具有函數(shù)關(guān)系.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，一直以來，圓都是一大難點，在解題環(huán)節(jié)，教師可指導(dǎo)學(xué)生妙用參數(shù)方程處理有關(guān)圓的問題，促使他們把解題過程變得直觀化，降低解題難度[1].

例1 已知圓的方程是x2+y2=1，現(xiàn)在圓上各點橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)則擴大2倍，得到一個曲線C.

（1）曲線C的參數(shù)方程是什么？

（2）設(shè)直線l：2x+y－2=0與這條曲線C相交于P1，P2兩點，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求經(jīng)過線段P1P2中點且與直線l垂直的直線的極坐標(biāo)方程.

解 （1）設(shè)圓上的點的坐標(biāo)是（x1，y1），變換后設(shè)曲線C上面的點的坐標(biāo)是（x，y），

因為橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)則擴大2倍，

所以x=x1，y=2y1，

x12+y22=x2+（y2）2=1，

則曲線C的方程是x2+y24=1，

所以曲線C的參數(shù)方程是x=cost，

y=2sint（t是參數(shù)）.

（2）將曲線C的方程x2+y24=1與直線l：2x+y－2=0聯(lián)立得到一個方程組，

該方程組的解即為P1，P2兩點的坐標(biāo)，

解之得x=1，y=0，或者x=0，y=2.

設(shè)P1（1，0），P2（0，2），

則線段P1P2的中點坐標(biāo)是（12，1），

那么所求直線的斜率k=12，

方程是y－1=12（x－12），

轉(zhuǎn)變成極坐標(biāo)方程是2ρcosθ－4ρsinθ=－3，

所以ρ=34sinθ—2cosθ.

2 妙用參數(shù)方程解答橢圓試題

在高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，參數(shù)方程在橢圓問題中也有著廣泛運用，通常用來求解代數(shù)式或函數(shù)的最值.基本求解步驟是先寫出橢圓的參數(shù)方程，再利用橢圓中的參數(shù)表示成已知的代數(shù)式或者函數(shù)，然后結(jié)合三角函數(shù)的相關(guān)公式求最值.同時，高中數(shù)學(xué)教師還可引領(lǐng)學(xué)生妙用參數(shù)方程求橢圓軌跡，主要是利用θ的作用表示坐標(biāo)，再結(jié)合公式消除參數(shù)即可[2].

例2 已知P是橢圓x=4cosα，y=23sinα（α是參數(shù)）上的一點，且位于第一象限內(nèi)，OP（O是原點）的傾斜角是π3，那么點P的坐標(biāo)是（ ）

（A）（2，3）. （B）（4，3）.

（C）（23，3）. （D）（455，4155）.

解 因為x=4cosα，

y=23sinα，

所以轉(zhuǎn)變成普通方程樣式，即為x216+y212=1，

又因為P位于第一象限，OP傾斜角是π3，

所以直線OP的斜率是k=tanπ3=3，

則得到直線OP的方程是y=3x，且x>0，

把橢圓與直線的方程聯(lián)立起來建立一個方程組，

這里需要舍去負(fù)值，

解之得x=455，y=4155，

所以得出點P的坐標(biāo)是（455，4155），

故正確答案是（D）.

3 妙用參數(shù)方程解答直線試題

在高中數(shù)學(xué)知識體系中，直線方程作為解析幾何中的基礎(chǔ)性知識，也是各類考查測試中的重要內(nèi)容.因此，高中數(shù)學(xué)教師既要講授教材中涉及的直線方程相關(guān)知識，還需注重對直線參數(shù)方程運用的講解，引導(dǎo)學(xué)生妙用直線參數(shù)方程解決求線段長度、動點軌跡等方面的問題，將解題步驟由復(fù)雜變得簡化，讓他們擁有明確的解答思路，使其突破難題的困境[3].

例3 已知直線l的傾角是π3，且過點P（1，5），其與圓x2+y2=16相X0nK8dZnpNhRALmGuSF1RA==交于A，B兩點，求A，B兩點到定點P的距離和|AB|的值.

解 根據(jù)題意可設(shè)直線的參數(shù)方程是x=1+12t①，

y=5+32t②，t是參數(shù)，

然后與圓的方程x2+y2=16聯(lián)立起來，

化簡后得到t2+（53+1）t+10=0，

根據(jù)韋達(dá)定理可得tA+tB=－（53+1），

tAtB=10，

則|tA+tB|=－tA－tB=53+1，

所以|tA－tB|（tA＋tB）2—4tAtB

=36+103，

也就是說A，B兩點到定點P的距離和是53+1，|AB|=36+103.

4 妙用參數(shù)方程結(jié)合綜合試題

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，由于涉及的知識點較為廣泛，題目類型也較多，除單一考查某一知識要點的題目，還有不少題目具有綜合性，考查多個知識，解題難度也更大.特別是在圓錐曲線類的試題中，極少會出現(xiàn)單一性的題目，大多都是綜合類.高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生妙用參數(shù)方程解題，使其不再拘泥于一種形式，讓他們找到更為恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑.（例題略）

5 結(jié)語

總而言之，在高中數(shù)學(xué)圓錐曲線解題訓(xùn)練實踐中，教師需高度重視解題方法的講解與傳授，深刻意識到參數(shù)方程在解題中的作用和功效，為學(xué)生將來的學(xué)習(xí)與發(fā)展奠定堅實基礎(chǔ)，使其通過巧妙使用參數(shù)方程對題目中的條件與信息進(jìn)行分析，找準(zhǔn)彼此之間的關(guān)系，以此降低解題難度，讓學(xué)生找到更為簡潔與便利的解題方法，進(jìn)而不斷提高個人數(shù)學(xué)解題水平.

參考文獻(xiàn)：

[1]周花香.圓錐曲線參數(shù)方程在數(shù)學(xué)解題中的使用[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（教研版），2022（11）：10-12.

[2]單燦.圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)解題中的使用[J].數(shù)理天地（高中版），2022（14）：31-32.

[3]權(quán)正清.高中數(shù)學(xué)解題中圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究，2022（19）：35-37.