導(dǎo)數(shù)思維在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用實(shí)踐

【摘要】在高中教育體系中，數(shù)學(xué)占據(jù)重要地位，學(xué)科知識點(diǎn)涉及內(nèi)容過多，難度相對較大，各個知識點(diǎn)之間有一定的關(guān)聯(lián)性.為了加深學(xué)生對導(dǎo)數(shù)知識的理解，需要為學(xué)生打下堅(jiān)實(shí)的導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)基礎(chǔ).在新課程改革大背景下，導(dǎo)數(shù)概念運(yùn)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，成為高考熱門話題，導(dǎo)致導(dǎo)數(shù)和數(shù)學(xué)解題關(guān)系愈發(fā)密切.在高中數(shù)學(xué)解題中，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)思維，可降低學(xué)生的解題難度，提高學(xué)生的解題效率，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力不斷提升.本文概括高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中導(dǎo)數(shù)思維的運(yùn)用方法，希望為高中數(shù)學(xué)教師提供教學(xué)新思路，提高學(xué)生的解題效率.

【關(guān)鍵詞】 導(dǎo)數(shù)思維；高中數(shù)學(xué)；解題應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，知識點(diǎn)抽象復(fù)雜，且對學(xué)生正確解答問題的影響因素眾多，為此教師要重視多元化教學(xué)方法的運(yùn)用.導(dǎo)數(shù)知識是高考必考重點(diǎn)內(nèi)容.培養(yǎng)學(xué)生導(dǎo)數(shù)思維，使其將導(dǎo)數(shù)知識靈活運(yùn)用到解題當(dāng)中，

能夠提高學(xué)生的解題效率，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.

1 導(dǎo)數(shù)思維在求解參數(shù)范圍中的運(yùn)用

在高中數(shù)學(xué)教育體系中，有關(guān)求解參數(shù)取值范圍的習(xí)題屬于常見類型，利用導(dǎo)數(shù)思維，解決此類問題，教師要培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真審題的良好習(xí)慣，以便讓學(xué)生進(jìn)一步判定求解問題是恒成立[1]，還是存在性問題.此外，解答求解參數(shù)范圍問題時，一般解題思路以分離參數(shù)為主，對于先分離參數(shù)，還是求導(dǎo)后分離參數(shù)的情況還要做到具體問題具體分析，以免學(xué)生形成思維定勢，影響做題效率.值得注意的是，對于先求導(dǎo)后分離參數(shù)的習(xí)題，可從問題入手，找到問題的關(guān)鍵點(diǎn)，以此根據(jù)自身所掌握的知識，克服解題難點(diǎn)，提高解題準(zhǔn)確率.

例1 假設(shè)曲線y=lnx+ɑx2，ɑ為常數(shù)，沒有斜率為負(fù)的切線存在，請問實(shí)數(shù)ɑ的取值范圍是（ ）

（A）－12，+∞.

（B）－12，+∞）.

（C）（0，+∞）.

（D）0，+∞）.

解析 對于高中學(xué)生而言，此類問題的解題難度比較低，側(cè)重于考查學(xué)生對于切線知識的理解，教師指導(dǎo)學(xué)生深入分析問題，并從問題中的“沒有斜率為負(fù)的切線存在”這一已知條件入手，將問題轉(zhuǎn)變成：在x＜0的情況下，曲線導(dǎo)數(shù)y≥0恒成立.此時指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)思維，對曲線方程求導(dǎo)，可得出y′=1x+2ax，把問題轉(zhuǎn)變成x∈（0，+∞）情況下，1x+2ax≥0恒成立，通過分離參數(shù)，得出a≥－12x2，學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)f（x）=－12x2在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，同時因f（x）＜0，已知條件中a≥0，得出ɑ的取值范圍是0，+∞），即（D）.

2 導(dǎo)數(shù)思維在比較數(shù)值大小中的運(yùn)用

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，導(dǎo)數(shù)思維運(yùn)用相對普遍，其中比較數(shù)值大小非標(biāo)準(zhǔn)習(xí)題，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)思維，便可將復(fù)雜多變的習(xí)題化繁為簡[2]，得出準(zhǔn)確的結(jié)果，提高學(xué)生的解題有效性.但是部分問題還需要二次求導(dǎo)，對原函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判定，使學(xué)生理清二次求導(dǎo)解題思路，找到解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)，克服解題難點(diǎn)，強(qiáng)化學(xué)生的解題能力.高中數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)中，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)思維，要重視例題的篩選與講授環(huán)節(jié)，使學(xué)生在比較數(shù)值大小時，找到解題的規(guī)律，提高學(xué)生的解題正確率.

例2 假設(shè)函數(shù)f（x）=sinxx，0＜x1＜x2＜π，如若a=f（x1），b=f（x2），請問ɑ與b的大小關(guān)系是（ ）

（A）ɑ＞b.（B）ɑ＜b.

（C）ɑ=b.（D）不確定.

解析 由于這一問題涉及函數(shù)知識點(diǎn)，對學(xué)生來講4Wbi3YUPEU1/xnwGCfFZOQ==解題難度比較大，難以判定其單調(diào)性，要對其進(jìn)行求導(dǎo)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)思維，對導(dǎo)數(shù)進(jìn)行分析，明確其單調(diào)性，如若無法判定，還要進(jìn)行二次求導(dǎo).因f（x）=sinxx，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)思維，求導(dǎo)得出f'（x）=xcosx－sinxx2，隨后教師要讓學(xué)生進(jìn)一步判定f'（x）在給定區(qū)間的正負(fù)性質(zhì).假設(shè)g（x）=xcosx-sinx，學(xué)生經(jīng)過分析，無法對其正負(fù)進(jìn)行判定，學(xué)生還要繼續(xù)求導(dǎo)，g′（x）=-xsinx+cosx-cosx=-xsinx，發(fā)現(xiàn)位于（0，π）中，g′（x）＜0，說明g（x）屬于減函數(shù)，也就是g（x）＜g（0）=0，轉(zhuǎn)變成f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，在已知條件中，0＜x1＜x2＜π，說明f（x1）>f（x2），表示ɑ＞b，選擇正確選項(xiàng)（A）.

3 導(dǎo)數(shù)思維在函數(shù)圖象判定中的應(yīng)用

在高中解題教學(xué)中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)圖象，屬于最基本的運(yùn)用方法，解決此類問題，需要學(xué)生深入理解導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性[3]，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)思維，依照導(dǎo)函數(shù)的取值正負(fù)范圍，對原函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行準(zhǔn)確判定.同時，依照導(dǎo)函數(shù)變化特點(diǎn)，對原函數(shù)斜率變化進(jìn)行判定，以此畫出原函數(shù)圖象.為讓學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)思維解決函數(shù)圖象判定問題[4]，教師要發(fā)揮引導(dǎo)促進(jìn)作用，幫助學(xué)生建立完整的導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)體系，使學(xué)生掌握有關(guān)解題方法，以此克服學(xué)習(xí)難點(diǎn)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

例3 觀察圖1，屬于函數(shù)y=f（x），y=g（x）的導(dǎo)函數(shù)圖象，請問y=f（x），y=g（x）的圖象可能是以下哪個選項(xiàng)？

（A） （B）

（C） （D）

解析 學(xué)生想要解決此類問題，教師要指導(dǎo)學(xué)生依照導(dǎo)函數(shù)對原函數(shù)圖象加以判定，這屬于導(dǎo)數(shù)靈活運(yùn)用的問題.利用導(dǎo)數(shù)思維，準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)的內(nèi)在關(guān)系.學(xué)生對圖一進(jìn)行觀察發(fā)現(xiàn)，y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)會隨著x值升高而下降，說明原函數(shù)隨著x的升高是斜率下降，圖象呈上凸特點(diǎn).y=g（x）函數(shù)隨著x的升高而變大，說明原函數(shù)隨著x的增大斜率增加，圖象呈下凹特點(diǎn).觀察以上四個選項(xiàng)，可以直接將選項(xiàng)（A）與選項(xiàng)（C）排除，進(jìn)一步分析題意，發(fā)現(xiàn)x=x0處于兩個導(dǎo)函數(shù)相交，也就是拐點(diǎn)處原函數(shù)有大小相一致的斜率，進(jìn)一步分析選項(xiàng)（B）與選項(xiàng)（D），發(fā)現(xiàn)正確答案為（D）.

4 結(jié)語

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，導(dǎo)數(shù)知識點(diǎn)占據(jù)重要地位，也是解決函數(shù)問題的有效手段.為了強(qiáng)化學(xué)生的導(dǎo)數(shù)解題能力，高中數(shù)學(xué)教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的導(dǎo)數(shù)思維，使學(xué)生根據(jù)相應(yīng)的問題，深入分析解題過程，形成良好的導(dǎo)數(shù)思想，讓學(xué)生快速找到解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)，提高學(xué)生的問題解決效率.與此同時，高中數(shù)學(xué)教師還要讓學(xué)生多訓(xùn)練、多反思、多總結(jié)，加深自身對導(dǎo)數(shù)知識的理解，達(dá)到舉一反三、融會貫通，有效解決實(shí)際問題，強(qiáng)化學(xué)生的問題解決能力.

參考文獻(xiàn)：

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[2]鄧家利.高中數(shù)學(xué)解題中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用分析——以“導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)”為例[J].數(shù)學(xué)之友，2022，36（24）：34-36.

[3]王學(xué)建.高中數(shù)學(xué)“學(xué)科育人”的五個維度——以“導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用”教學(xué)為例[J].中學(xué)教學(xué)參考，2022（20）：5-720.

[4]陳姍姍.數(shù)學(xué)解題中理解“符號表征“的策略探究——以一節(jié)“導(dǎo)數(shù)習(xí)題課”的教學(xué)為例[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2022（05）：3-5.