導數在求解三次函數問題中的謬用

【摘要】三次函數是高中階段體現求導工具型特征的基礎性模型，教材中非常重視基于三次函數實現導數在研究函數中的工具價值.用導數求導討論三次函數單調性、極值點、對稱性、拐點、零點等性質并解決三次函數中的某些問題，但要注意用導數在求解三次函數問題中的謬用.

【關鍵詞】三次函數；零點；用導數

高中教材中多次用到三次函數這個模型，通過對三次函數的研究，引導學生積累利用求導來研究函數性質及三次函數.三次函數的相關問題在數學競賽及高考中也是高頻考點.充分利用三次函數單調性、極值點、對稱性、拐點、零點等性質可以更好地解決三次函數中的某些問題，但要注意導數在求解三次函數中的謬用.

對三次函數進行一般化的研究， 能更好地把握三次函數模型，體會導數作為工具在解題中的價值，實現從“解題”到“解決問題”的轉化，提升數學核心素養.

對三次函數模型的考查，主要是基于以上三次函數的相關性質的分析，借助三次函數這個模型考查導數在研究函數性質中的應用.

1 真題解析

已知實數a，b滿足a3+3a2+6a=2，b3+3b2+6b=－10，則a+b=.

分析 本題是以三次函數作為研究對象，考查三次函數的零點的一個問題，其考查的是三次函數fx=x3+3x2+6x+k（k為常數）的零點變化規律，由高等數學[2]REF_Ref10741＼r＼h中導數在函數的單調性與曲線的凹凸性中的應用可知，函數fx=x3+3x2+6x+k是一只有一個零點及一個拐點，單調遞增的中心對稱圖形.

性質 三次函數總可以通過坐標軸的平移成為對稱中心在原點的奇函數.

證明 設三次函數fx=ax3+bx2+cx+d（a≠0），

令x=x′－b3a，y=y′+am3+bm2+cm+d，

得y′=a（x′）3+（3am2+2bm+c）x′.

顯然在新坐標系下三次函數為對稱中心在新坐標原點的奇函數.

因此函數fx=x3+3x2+6x+k，在通過橫向平移x=x′－1可以消去平方項，從而使得該函數圖象的對稱中心落在y軸上，可利用這一性質特征，得如下解法.

2 真題求解

解法1 由f（a）=a3+3a2+6a－2=0，

令a=u－1，

得0=f（u－1）=u3+3u－6=2①，

由f（b）=b3+3b2+6b+10=0，

令b=v－1，

得0=f（v－1）=v3+3v+6②，

①+②得u3+v3+3（u+v）=0，

即（u+v）（u2－uv+v2+3）=0，

對于函數u2－uv+v2+3，

因a≠－1，b≠－1，

故u≠0，v≠0，

故對u2－uv+v2+3簡單變形為

v2uv2－uv+1+3v2.

若－1≤uv≤1，則1－uv≥0，

從而u2－uv+v2+3>0；

若uv≥1或uv≤－1，則uv2－uv>0，

從而u2－uv+v2+3也>0.

總之u2－uv+v2+3>0，

從而u+v=0，

故a+b=（u－1）+（v－1）=u+v－2=－2.

解法2 對 a3+3a2+6a－2，

求導得3a2+6a+6=0，

再求導得6a+6=0①，

對b3+7f896e0da788c7921f0c6ed4a243f32c3b2+6b+10，

求導得3b2+6b+6=0，

再求導得6b+6=0②，

①+②得a+b=－2.

3 真題點評

從上述過程來看，顯然解法2的過程非常簡潔并且也同樣得出了a+b=－2這一結果.那么解法2中所采用的方法真的是正確的嗎？

解法2中所采用的方法是基于默認了下面的一個結果，即若a是多項式f（x）的一個根，則a也是f′（x）的根.但這一結果顯然是錯誤的.在高等代數課程中我們有下列結果[3]REF_Ref10741＼r＼h.

定理 如果不可約多項式p（x）是多項式f（x）的一個k（k≥1）重因式，那么p（x）是微商f′（x）的k－1重因式.

注意 定理的逆定理不成立.如f（x）=x3－3x2+3x+3，f′（x）=3x2－6x+3=3（x－1）2.

x－1是f′（x）的2重因式，但根本不是f（x）是因式，當然更不是三重因式.

推論 若a是多項式f（x）的k（大于等于1）重根，則a是多項式f′（x）的k－1重根；a是多項式f（2）（x）的k－2重根；a是多項式f（k－1）（x）的單根；而a不再是f（k）（x）的根.

利用這一定理，顯然三次函數fx=x3+3x2+6x+k為單調遞增且只有一個根（單根），故a滿足 f（a）=a3+3a2+6a－2=0，但a不再是f（x）的導函數f′（x）=3x2+6x+6 的根，從而3a2+6a+6≠0.由此可知上述解法2是錯誤的.

另一方對函數fx=x3+3x2+6x+k（k為常數）求導，所得的導函數為f′（x）=3x2+6x+6，而k的變化即意味著函數的圖象進行上下移動，這時它與x軸的交點的橫坐標（即相應函數的根）也在相應變化.但上述方法所得結果與常數項k的取值無關，顯然這是錯誤的.而所得的a+b也等于-2，純粹是一個巧合.

4 結語

通過上述分析，圍繞三次函數的命題可以借助于三次函數的單調性、極值、零點、拐點、中心對稱等性質結合圖象來考慮，也可結合運用求導的手段進行適當的應用，但不可犯類似于解法2中的方法錯誤.

參考文獻：

[1]吳志峰.三次函數的圖像與性質探密[J].廣東教育（高中版），2022（10）：33-35.

[2]同濟大學數學科學學院.高等數學 第八版 上冊[M].北京：高等教育出版社，2023.

[3]北京大學數學系前代數小組.高等代數 第五版[M].北京：高等教育出版社，2019.