高中數學開放性試題的解題策略例析

【摘要】 本文主要探討高中數學開放性試題的特點及解題策略，通過對典型例題的分析，闡述如何從不同角度思考問題和解答開放性試題，強調開放性試題對培養學生創新思維和綜合能力的重要意義，為高中數學教學提供有益的參考．

【關鍵詞】高中數學；開放性試題；解題策略

隨著教育改革的不斷深入，開放性試題在高中數學中所占的比重逐漸增大．這類試題具有條件不完備、答案不唯一、解題方法多樣等特點，對學生的思維能力和創新能力提出了更高的要求．深入研究開放性試題的解題策略，有助于提高學生的數學素養和解決問題的能力，適應新時代對人才培養的需求．

1 結論開放性試題的解題策略

例1 若點Psinθ，－cosθ與Qcosθ+π4，

sinθ+π4關于直線y=x對稱，寫出一個符合題意的θ值為 ．

解析 由題設，P，Q中點（sinθ+cos（θ+π4）2，

－cosθ+sin（θ+π4）2）在直線y=x上，且kPQ=－1，

所以sinθ+cos（θ+π4）2=

－cosθ+sin（θ+π4）2，

且sin（θ+π4）+cosθcos（θ+π4）－sinθ=－1，

即sinθ+cos（θ+π4）=－cosθ+sin（θ+π4），

且sin（θ+π4）+cosθ=sinθ－cos（θ+π4），

所以sinθ+22cosθ－22sinθ=－cosθ+

22cosθ+22sinθ，

且22sinθ+22cosθ+cosθ=sinθ－

22cosθ+22sinθ，

故2sinθ=sinθ+cosθ=2sin（θ+π4），

且2cosθ=sinθ－cosθ=－2cos（θ+π4），

所以sinθ=sin（θ+π4），且cosθ=－cos（θ+π4），

綜上，2θ+π4=（2k+1）π，k∈Z，

可得θ=（k+12）π－π8，k∈Z，顯然3π8滿足．

解題策略 由P，Q中點在直線y=x上且所成直線斜率為－1，并應用和角正余弦公式展開化簡，得sinθ=sin（θ+π4）且cosθ=－cosθ+π4，進而求θ值．根據題意解得θ=（k+12）π－π8，k∈Z，當k取不同值時，得到的答案是不唯一的．可見，求解這類結論開放性試題時，需要先根據題設條件進行推導，得到的結果與某一個可變參數有關，當參數取不同值時，得到的結果是不同的，按題目要求寫出一個結果即可．

2 條件開放性試題的解題策略

例2 在①A∪B=B；②“x∈A（A是非空集合）”是“x∈B”的充分不必要條件；③A∩B=這三個條件中任選一個，補充到第（2）問的橫線處，求解下列問題．

已知集合A={x|a－1≤x≤2a+1，a∈R}，B=x－1≤x≤3．

（1）當a=2時，求A∪B和A∩CRB；

（2）若，求實數a的取值范圍．

解析 （1）當a=2時，

集合A=x1≤x≤5，

B=x－1≤x≤3，

所以A∪B=x－1≤x≤5，

又因為CRB=xx<－1或x>3，

所以A∩CRB=x3<x≤5．

（2）若選擇①，A∪B=B，則AB，

當A=時，a－1>2a+1，解

得：a<－2，

當A≠時，

又AB，B=x－1≤x≤3，

所以a－1≤2a+1a－1≥－12a+1≤3，

得0≤a≤1，

所以實數a的取值范圍是（－∞，－2）∪［0，1］．

若選擇②，“x∈A“是“x∈B”的充分不必要條件，

則ABA≠且A≠B，

因為B=x－1≤x≤3，

a－1≤2a+1a－1≥－12a+1<3或a－1≤2a+1a－1>－12a+1≤3，

解得：0≤a≤1，

由于a－1=－12a+1=3無解，A=B不成立，

所以實數a的取值范圍是0，1．

若選擇③，A∩B=，

當A=時，a－1>2a+1，

解得：a<－2，

當A=時，又A∩B=，

則a－1≤2a+1a－1>3或a－1≤2a+1，2a+1<－1，

解得：－2≤a<－1或a>4，

所以實數a的取值范圍是（－∞，－1）∪（4，+∞）．

解題策略 本題第（1）問中，先求出集合A∪B，再求出CRB，進而可得集合A∩CRB；本題第（2）問是條件開放性問題，分情況處理，若選擇①，考慮AB的情形即可，要分A=和A≠兩種情況分析；若選擇②，考慮ABA≠且A≠B的情形即可；若選擇③，考慮A∩B=的情形即可，要分A=和A≠兩種情況分析．可見，這類條件開放性試題通常將一個問題賦予不同條件，讓學生在題目的“大”條件下選擇不同的“小”條件進行綜合解答，一般情況下，選擇了不同的“小”條件得到的結果不同，但解題的大致思路是一致的．

3 結語

高中數學開放性試題作為一種新型的試題形式，對學生的數學素養和綜合能力提出了更高的要求．通過對其解題策略的研究和實踐，可以幫助學生更好地應對這類試題，提高數學學習的效果．同時，教師在教學過程中應注重培養學生的創新思維和綜合運用能力，為學生的未來發展奠定堅實的基礎．

參考文獻：

[1]盧寒芳.高中數學開放性試題的命題實踐與思考[J].數學學習與研究，2020（06）：129+131.

[2]李云錦.核心素養導向下的高中數學開放性試題的命制研究[J].數理天地（高中版），2023（23）：34-35.

[3]張詩萍.核心素養視角下新高考數學試題分析[D].廈門：集美大學，2022.

[4]李倩蕓.高中開數學放性試題如何做到更加有效[J].語數外學習（數學教育），2013（08）：6.