巧用輔助元解答高中數學試題

【摘要】在高中數學解題訓練中，教師可引入輔助元的解題方法，就是把題目中的部分元素進行重新排列與組合，構造出新的變量即為輔助元.本文據此展開分析和探討，并羅列幾道例題.

【關鍵詞】輔助元；高中數學；解題技巧

在高中教育階段，隨著數學知識難度的提升，題目難度系數也隨之變大，不少問題采用常規方法很難求解，過程較為繁瑣，極易出現錯誤，部分題目甚至無法求出結果.這時高中數學教師可指導學生根據解題需求構造輔助元，使其通過合理構造輔助元，像函數、方程和圖形等，借此把陌生問題變得熟悉化，復雜題目變得簡單化，幫助他們巧妙解答數學題.

1 構造數列輔助元巧解答數學試題

在高中數學解題教學中構造輔助元是一種常規解題思路，指引學生借助點位于曲線之上順利構造出輔助性數列，如果相鄰2項或者3項存在著線性遞推規律，即可用到待定系數法將復雜化的數列轉變為等比數列，或者讓他們按照題設關系，構造出相應的等差或等比數列，優化解題思路.

例1 已知一個數列an，n∈N*，an+1=2an+2n+1+3n－1，而且a3=52，那么數列an的通項公式是什么？

分析 處理這一題目時，可根據題設中給出的已知條件an+1，2an，2n+1，3n之間“齊次式”的特點展開整體變形，結合式子特點通過聯想巧妙構造出新的數列輔助元，便于找到解題的突破口，隨后借助累加法即可求得數列an的通項公式.

詳解 將an+1=2an+2n+1+3n－1兩邊同時除以2n+1，

能夠得到an+12n+1－an2n=3n2n+1－12n+1+1，且（n∈N*），

然后用“累加法”進行求解，

可以得到an2n－a12=12［32+（32）2+…+（32）n－1］－12［12+（12）2+…+（12）n－1］+n－1，

因為a3=52，

an+1=2an+2n+1+3n－1，

所以求得a1=6，

故數列an的通項公式an=n·2n+3n+1，且（n∈N*）.

2 構造函數輔助元解答數學試題

在高中數學課程教學實踐中，函數既是重要知識點之一，還是屬于解題中比較常用的一個工具，在訓練中，教師可提示學生基于函數視角切入來分析題干內容，由此順利構造相應的輔助元函數，引領他們借助函數有關知識處理與解答題目，使其形成清晰的解題思路.為此，高中數學教師在日常教學中，應當借助有關練習融入構造函數輔助元的解題方法與思想，引導學生學會構建函數輔助元來進行解題，輔助他們快速解答導數、數列與方程等多類試題.

例2 已知（3tanα+cotβ）3+tan3α+4tanα+cotβ=0，且α≠kπ+π2，β≠k，k∈Z，請證明：4tanα+cotβ=0.

分析 審完題之后，從表面上來看是一道有關三角函數的題目，假如純粹f使用角代換、誘導公式等三角函數的方法來求解，很難求解，不過可以先認真研究題設特點，構造出相應的函數輔助元函數，再巧妙證明，即把4tanα+cotβ轉化成（3tanα+cotβ）+tanα，將3tanα+cotβ視為函數f（x）=x3+x上的一個零點，由此構造出一個新的函數f（x），隨后借助函數的單調性與奇偶性完成證明.

證明 將原式變形為（3tanα+cotβ）3+ tan3α+4tanα+cotβ

=（3tanα+cotβ）3+3（tanα+cotβ）+tan3α+tanα=0，

然后設函數f（x）=x3+x，

根據α≠kπ+π2，β≠k，k∈Z可知該函數為一個單調遞增函數，且還是一個奇函數，

所以f（3tanα+cotβ）=－f（tanα）=f（－tanα），

依據函數單調性的特點能夠得到3tanα+cotβ=－tanα，

也就是4tanα+cotβ=0.

3 構造圖形輔助元解答數學試題

眾所周知，數學知識主要包含代數與幾何這兩個板塊，數形結合思想也是高中學生在學習數學知識過程中應當掌握的數學思想方法之一，可實現代數與幾何之間的彼此轉化，能夠讓他們找到更為適當的解題思路.高中數學教師可引領學生根據題目構造圖形輔助元，包括輔助線、輔助多邊形或輔助圓等.通過對數形結合思想的有效應用，學會運用熟悉圖形的幾何性質分析與解答繁難題目，達到化難為易的效果，提升他們的解題自信.

例3 已知α，β和γ均屬于銳角，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，請問tanα·tanβ·tanγ的取值范圍是什么？

分析 讀完題干內容以后，發現這是一道典型的三角函數類題目，雖然題干信息不多，但是如果直接運用三角函數相關公式來求解的話，解題過程將會異常繁瑣，不僅容易陷入到困境當中，而且出錯概率較大，以至于很難證明結論.這時就要另辟蹊徑，突破固有解題思維的禁錮，借助構造輔助元的方法解答試題，具體而言是根據已知條件構造一個輔助長方體，依托數形結合思想的功效，把“數”和“形”巧妙結合到一起，最終結合長方體中的邊和角關系展開證明.

詳解 根據題意構造出一個輔助長方體ABCD－A1B1C1D1，如圖1所示，設假該長方體的長、寬、高是a，b，c，與頂點A相交的3條棱與對角線AC1所形成的夾角分別為α，β和γ，

因cos2α+cos2β+cos2γ=1成立，

所以tanα·tanβ·tanγ

=a2b2c×b2c2a×a2c2b

≥2ab＋2bc＋2acabc

=22，

所以說tanα·tanβ·tanγ的取值范圍是［22，+∞）.

4 結語

綜上所述，在高中數學解題教學活動中，由于知識點難度較大，題目綜合性較強，學生在解題過程中不能僅僅依靠已有的公式或者定理.當處理一部分難度系數較高的試題時，要注意聯系與類比，找出題干中已知條件與結論之間存在的關系，使其根據實際情況巧妙構造和使用適當的輔助元進行解題，盡可能把式子作簡化處理，最終讓他們高效地解答數學試題.

參考文獻：

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