化歸思想在高中數學解題中的應用實踐

【摘要】本文以幾道高中數學習題為例進行分析，探討化歸思想在高中數學解題中的應用實踐.化歸思想在解題中較為常見，能夠將復雜問題簡單化，有助于學生更好地理解數學知識，提高解題能力.本文結合高中數學的具體例題，詳細闡述化歸思想在解題中的應用步驟，以對廣大師生有所啟示.

【關鍵詞】化歸思想；高中數學；解題技巧

高中數學知識具有較強的抽象性與復雜性，很多學生在解題過程中感到困難重重.教師為了促進學生更好地理解數學知識，提高解題能力，可引入化歸思想，提升學生解題效率.化歸思想將復雜問題簡單化，有助于學生在解題過程中找到問題的突破口，從而順利解決問題.化歸思想的基本內涵是將一個復雜的問題轉化為一個或多個相對簡單的問題，將一個未知的問題轉化為一個已知的問題，從而找到解題的突破口[1].化歸思想的核心在于轉化和簡化，要求學生能夠靈活運用所學的數學知識，在解題過程中能夠進行合理的轉化與簡化，將復雜問題變得簡單易懂，實現解題[2].

例1 （1）若已知函數α，β滿足α3－3α2+5α=1，β3－3β2+5β=5，求解α+β的數值；

（2）已知關于x的方程在0，π內有解，求α的取值范圍.

解析 （1）結合題意，構造函數.

f（x）=x3－3x2+5x=（x－1）3+2（x－1）+3，

得出f（α）=1，f（β）=5.

已知g（t）=t3+2t在R上為單調遞增的奇函數，同時滿足：

g（α－1）=f（α）－3=－2，

g（β－1）=f（β）－3=2，

得出g（α－1）=－g（β－1）=g（1－β）α－1=1－βα+β=2.

（2）該小題解題關鍵在于解三角方程，得出α的范圍，具有一定的難度，為此運用化歸思想，將解題過程轉化為分析α=cos2x－cosx－1= （cosx－12）2－54在x∈［0，π］的取值范圍，此時在簡單計算之后，即能夠得出α的取值范圍為－54，1.

解題思考 在解答該題目過程中，面對略微繁復的習題，引入化歸思想，構造函數進行解題，巧妙地構造輔助函數，在高中數學習題解答中被廣泛運用，能夠將題目中的問題轉化為輔助函數的性質，從而利用已有的知識內容進行解題，顯著提升了解題效率.

例2 若e是自然對數的底數，若對任意x∈1e，1，總有唯一的y∈－1，1，使得lnx－x+1+a=y2ey成立，則實數a的取值范圍（ ）

（A）1e，e. （B）2e，e.

（C）2e，+∞. （D）2e，e.

解析 結合題意，

設f（x）=lnx－x+1+a，

在x∈1e，1情況下，

得出f′（x）=1－xx>0，f（x）為增函數，

因為x∈1e，1時，

得出f（x）∈a－1e，a，

設g（y）=y2ey，那么對于任意的x∈1e，1，始終存在唯一的y∈－1，1，

能夠得出lnx－x+1+a=y2ey，

由于a－1e，a為g（y）的單值區間的子集，

那么在g′（y）=y（2+y）ey，

因此得出在y∈－1，0情況下，如果g（y）＜0，g（y）=y2ey為減函數.

如果y∈0，1，g（y）＞0，g（y）=y2ey為增函數.

由于g（－1）=1e<e=g（1），此時針對任意x∈1e，1，

始終存在唯一的y∈－1，1，

能夠滿足lnx－x+1+a=y2ey的等式成立，

因此得出a－1e，a1e，e，

所以a≤e，a－1e>1e，

得出a≤e，a>2e，即a∈2e，e.

因此該習題選（D）選項.

例3 如圖1所示，現有一塊鋼板，需將它制作成一個零件，該零件的上面為半圓形，下面為矩形，周長為P，那么需如何制作成的零件最大面積是多少？

分析 該習題屬于應用題，直接解答具有一定的難度，此時可以引入化歸思想.結合題目中的條件與要求，引入化歸思想，將題目中的條件轉化為一個函數的最值問題進行求解，能夠更為便捷地解題.

解析 結合題目條件，構造函數，在該情境之下，設該矩形的一邊長為x，則半圓的周長表示為πx2.

該矩形的另一邊長表示為：

AB=12（P－x－πx2）=2P－（π+2）x4，

S表示該零件的面積，則得出：S=12·π4x2+x·2P－（π+2）x4=－π+48x2+P2x，

由于a＜0，得出在x=－b2a=2Pπ+4情況下，S取得最大值，得出AB=Pπ+4.

因此，在矩形的兩鄰邊AB與BC之比為1∶2情況下，可得出Smax=P28+2π.

點評 思考該問題時，將實際問題轉化為數學問題，包括幾何圖形面積的計算、優化問題的求解.可將該問題轉化為一個函數問題，即尋找一個函數，該函數要能描述零件面積與半圓的半徑、矩形的長和寬之間的關系.利用數學工具求解該函數的最大值，根據點的坐標確定零件的最佳設計方案[4].解答該題目過程中，將數學結果解釋回實際問題中，根據計算得到的最佳設計方案制作零件，以保證面積達到最大值.在題目解答過程中，巧妙運用化歸思想，將實際問題轉化為數學問題，利用數學工具進行求解，可更加準確地找到問題的解決方案[5].

結語

化歸思想是一種重要的數學解題思想方法，在高中數學解題中具有廣泛的應用價值.在高中數學解題中運用化歸思想可以將復雜問題簡單化，未知問題已知化，從而找到解題的突破口.因此，教師在高中數學教學中應注重培養學生的化歸意識，促進學生利用化歸思想解決數學問題.

參考文獻：

[1]馬曉丹.核心素養視角下高中數學微專題教學策略與實踐——以“求解圓錐曲線的離心率”教學為例[J].數學教學通訊，2022（27）：29-30.

[2]劉灝.立足知識基礎，聚焦方法思想——2023年高考數學新課標全國二卷第18題[J].數理天地（高中版），2024（07）：63-65.

[3]劉大偉，李勇霞.探究高考試題中的數學思想——以2022年新高考Ⅰ卷為例[J].中小學數學（高中版），2022（09）：15-18.

[4]沈月紅.撥云見日終有時，化歸解題醉晴空——化歸思想在高中數學解題過程中的應用方法分析[J].數學學習與研究，2022（34）：17-19.

[5]林世平，王珠芳.立足轉化思想，培育核心素養——例談轉化思想在高中數學解題中的應用[J].數學之友，2022，36（20）：58-60.