整體思想在高中數學解題中的應用

【摘要】 高中數學中涉及不少思想，整體思想即為其中之一，其有著比較廣泛的運用空間，用來解題可以有效減少計算步驟、降低運算的復雜程度，提升學生的解題效率，使學生通過整體思想的應用掌握解答數學試題的竅門，幫助他們樹立學習好數學的自信心.本文主要對整體思想在高中數學解題中如何應用進行分析與探討，并分享部分解題實例.

【關鍵詞】整體思想；高中數學；解題技巧

整體思想，從本質視角來說，就是基于問題的整體性質切入，對問題的整體結構進行分析與改造，找到問題的整體結構特征，將一些圖形或者式子視為一個整體，確定好這些信息之間存在的內在聯系，有意識、有目的地進行整體處理.在高中數學解題訓練中，教師可指導學生靈活應用整體思想，使其通過化簡和整理把問題本質揭示出來，從而輕松解題.

1 應用整體思想解決向量類試題

在高中數學課程教學中，向量是一類比較特殊的題目，比較常見的是求某個向量的最值，處理此類試題時，教師不僅要提醒學生關注通解通法，即為結合向量的坐標運算和幾何性質來解答，還應當讓學生學會擺脫固有思維定式的影響，直接分析題干中提供的所有條件，使其根據所學知識對這些條件展開整體處理，最終做到簡化計算步驟，順暢地完成試題解答[1].

例1 已知有兩個平面向量a與b，且滿足1≤|a|≤2，1≤|a+b|≤3，1≤a·b≤2，求b的最大值.

分析 本道題目較為特殊，如果運用常規方面很難順利完成解題，而采用整體思想進行處理的話，能夠有效簡化計算流程，減少錯誤現象的出現.

詳解 因為1≤|a|≤2，

所以兩邊平方后能夠得到1≤|a|2≤4，

即為－4≤－|a|2≤－1①，

因為1≤|a+b|≤3，

所以兩邊平方后能夠得到1≤|a+b|2≤9②，

因為1≤a·b≤2，

所以兩邊同時乘以－2能夠得到－4≤－2a·b≤－2③，

通過對這三個不等式的觀察發現不等號的方向一樣，將它們進行整體相加能夠得到0≤|b|2≤6，則|b|≤6，所以b的最大值是6.

2 應用整體思想解決不等式試題

在高中數學不等式解題教學中，這類題目同初中時期的相比難度明顯增加，有的試題還較為復雜，有時學生很難快速找到解題的切入點與思路，這時需先對已知條件展開適當處理或變形，再找到共同部分，然后把某個部分視為一個整體，通過一個字母來代替，清晰明了地把參數關系給呈現出來，但還需關注整體部分的具體取值范圍，由此確定最終結果[2].

例2 已知x，y，z均為正實數，且滿足（x+2y）（y+z）=4yz，其中z≤3x，求w=3x2+2y23xy的取值范圍.

分析 通過分析與整理所求的表達式w，發現里面含有xy與yx，可以將這兩個部分均視為整體，然后再根據所學習的函數知識就能夠完成解題.

詳解 結合題意可知

w=3x2+2y23xy=xy+23×yx，

這時可把xy視作一個整體，利用字母t來表示，那么w=t+23t，然后要求的便是t的具體取值范圍，

因為（x+2y）（y+z）=4yz，

所以xy+xz+2y2=2yz，

即為xy+2y2=z（2y－x），

又因為z≤3x，

所以xy+2y2≤3x（2y－x）①，

因為x、y、z均為正實數，所以xy+2y2>0，2y－x>0②，將②式兩邊都除以y，可以得到2－xy>0，則t<2，

將①式整理后可以得到3x2－5xy+2y2≤0，

也就是3t2－5t+2≤0，據此求得23≤t≤1，

根據對勾函數的性質能夠判斷出w的取值范圍是263，53，

所以w=3x2+2y23xy的取值范圍是263，53.

3 應用整體思想解決數列類試題

針對高中數學數列試題來說，常規考查對象是等差數列與等比數列這兩個方面的內容，不過很多時候都會同函數知識結合到一起，所求的是數列通項公式，這就導致此類試題難度有所增大，學生不僅需關注對整體思想的應用，還應靈活采用數列和函數的性質等知識，同時結合具體題干情境，借助求數列通項公式的具體方法順暢完成解題[3].

例3 已知函數g（x）=fx+12－1是R上的一個奇函數，an=f（0）+f1n+…+fn－1n+f（1），n∈N*，求數列an的通項公式.

分析 這是一道綜合性較強的試題，是函數同數列的結合題，難度相對較大，處理本道題目的關鍵之處是把x+12視為一個整體，利用整體思想能夠在運算過程中少走一些彎路，且提高結果的準確度.

詳解 因為函數g（x）=f（x+12）－1是R上的一個奇函數，

所以g（－x）=－g（x），

那么當把x+12視為一個整體時，

有fx+12+f12－x=2，則函數f（x）的圖象關于點12，1對稱，然后將12－x也視為一個整體，且利用字母t來表示，

由此能夠得到x+12=1－t，

那么f（t）+f（1－t）=2，

又因為an=f（0）+f1n+…+fn－1n+f（1），

所以an=f（1）+fn－1n+…+f1n+f（0），

將兩個式子相加能夠得到2an=2+2+…+2=2（n+1），則an=n+1，

所以數列an的通項公式是an=n+1.

4 結語

綜上所述，在高中數學解題教學活動中，教師應切實意識到整體思想的特殊作用和功能，通過對一些具有代表性的經典試題的深度剖析，讓學生明白這類試題所考查的側重點到底是什么，使其知道在什么時機、如何采用整體思想，不斷總結與歸納題型特征及解題規律，引領他們在整體思想助力下順利解答數學試題，且做好總結和反思工作，為高考做準備.

參考文獻：

[1]黃火根.借助整體思想 走出數學解題困境[J].數理化解題研究，2023（06）：14-16.

[2]梁衛祥.例談整體思想在高中數學解題中的應用研究[J].高中數理化，2021（S1）：21.

[3]王立嘉.整體思想在高中數學解題中的應用[J].中學數學教學參考，2021（09）：37-39.