函數思想在高中數學解題訓練中的妙用

【摘要】函數思想在高中數學解題訓練中具有廣泛的應用，可以幫助學生更好地理解和解決問題.通過函數思想可以解決集合問題、方程問題、數列問題、不等式問題等數學問題，能夠提高學生的問題解決能力和思維的靈活性.

【關鍵詞】函數思想；高中數學；解題技巧

在高中數學學習中，函數是一個重要的概念和工具，不僅是數學理論的基礎，也是解決實際問題的強大工具[1].函數思想可以幫助學生將抽象的數學概念與實際問題相聯系，更好地理解和解決各種數學問題.

1 運用函數思想解決集合問題

在解決集合問題時，可以將集合看作一個函數的定義域，然后通過分析函數的性質和圖像來解決集合的交、并、差等問題[2].

例1 若集合A=x，yy－1x－2=1，B=x，yy=x2－2x+1，求A∩B.

解析 對于集合A，由y－1x－2=1，

得到y－1=x－2，

即y=x－1x≠2，

A表示直線y=x－1x≠2上的點，

對于集合B，y=x2－2x+1，B表示y=x2－2x+1上的點，

由y=x－1y=x2－2x+1，

得到x－1=x2－2x+1，

解得x2－3x+2=0，

即x－1x－2=0，

求得x1=1，x2=2（舍去），

y=x－1=0，

最終得到A∩B=1，0.

2 運用函數思想解決方程問題

在解決方程問題時，可以將方程看作函數的零點問題.通過建立函數模型，將方程轉化為函數的形式，然后利用函數的性質進行分析和求解[3].

例2 解方程x+82021+x2021+2x+8=0.

解析 方程中的2x+8=x+x+8，

所以方程轉化為x+82021+x+8+x2021+x=0，

設f（t）=t2021+t，

方程轉化為f（x+8）+f（x）=0，

所以f（x+8）=－f（x），

f（t）=t2021+t為奇函數，且為增函數，

所以f（x+8）=f（－x），

x+8=－x，求得x=－4，

所以方程x+82021+x2021+2x+8=0的解為x=－4.

3 運用函數思想解決數列問題

在解決數列問題時，可以將數列看作函數的值域.通過建立數列的通項公式，將數列轉化為函數的形式，然后利用函數的性質進行分析和求解[4].

例3 Sn是等差數列an的前n項和，4S3=S2+S6，a2=2，數列bn滿足bn=an1an，當bn最大時，求n的值.

解析 等差數列an的前幾項和為

Sn=na1+nn－12d，

由4S3=S2+S6得到

43a1+3×22d=2a1+2×12d+6a1+6×52d，

即12a1+12d=8a1+16d，

得到a1=d，

又因為a2=2，即a1+d=2，

所以a1=d=1，

所以an=n，

所以bn=an1an=n1n，

所以lnbn=lnn1n=lnnn，

設f（x）=lnxxx>0，

則f′（x）=1－lnxx2，

當0<x<e時，f′（x）>0，f（x）單調遞增，

當x>e時，f′（x）<0，f（x）單調遞減，

所以f（x）max=f（e），

由題意可知n為正整數.

因為2<e<3，

所以當n=2時，lnnn=ln22；

當n=3時，lnnn=ln33，

因為ln22－ln33=3ln2－2ln36=ln8－ln96<0，

所以ln22<ln33，

所以n=3時，bn取得最大值.

4 運用函數思想解決不等式問題

在解決不等式問題時，可以通過建立函數模型，將其轉化為函數形式，然后利用函數的性質進行分析和求解.將不等式問題看作函數的取值范圍問題.

例4 已知不等式kx2+kx+6x2+x+2>2，對任意x∈R恒成立，求k的取值范圍.

解析 首先對不等式的分母x2+x+2進行正負判斷，

x2+x+2=x+122+74>0，

將不等式轉化為kx2+kx+6>2x2+2x+4，

進而得到k－2x2+k－2x+2>0，

①當k－2=0時，即k=2，上式2>0，結論顯然成立.

②當k－2≠0時，即k≠2，

令y=k－2x2+k－2x+2，

因為對任意x∈R，k－2x2+k－2x+2>0恒成立，所以該函數同時滿足

k－2>0，Δ=k－22－4×k－2×2<0，

解得2<k<10，

結合①和②，得到k的取值范圍為2，10.

5 結語

通過運用函數思想，學生可以更好地理解和解決各種數學問題，培養邏輯思維能力，提高解決問題的能力和思維的靈活性，為今后的數學學習打下良好基礎.

參考文獻：

[1]朱琳.構造函數法在高中數學解題中的應用策略[J].數理天地（高中版），2023（17）：30-31.

[2]馮有勝.函數思想在高中數學解題中的有效應用[J].數理天地（高中版），2023（17）：44-46.

[3]張麗英.函數思想在高中數學解題教學中的應用策略[J].數學學習與研究，2023（18）：111-113.

[4]朱坤密.基于函數思想的高中數學解題探究[J].數學學習與研究，2023（18）：108-110.