解析幾何中定點定值問題的解題策略與技巧研究

【摘要】本文旨在深入研究解析幾何中定點定值問題的解題策略與技巧.通過對定點定值問題的典型例題進行分析，探討解題過程中的思維路徑和關鍵步驟，同時詳細闡述如何利用代數方法、幾何方法以及數形結合思想有效解決定點定值問題.

【關鍵詞】解析幾何；定點定值；解題技巧

1 引言

解析幾何作為數學的重要分支，其研究內容涵蓋了平面幾何與代數之間的緊密聯系.在解析幾何中，定點定值問題是一類常見且具有挑戰性的問題.這類問題通常涉及曲線的性質、方程的建立與求解等方面，需要綜合運用代數、幾何以及數形結合的思想進行解決.因此，研究解析幾何中定點定值問題的解題策略與技巧，對于提高解題能力、深化數學理解具有重要意義.

定點定值問題的精髓在于探尋在運動變化過程中始終保持穩定的元素，即不變性.因此，解決這類問題的關鍵在于深入剖析運動變化的內在機理，從而揭示這一變化是由哪些關鍵量的變動所主導的.為了實現這一目標，我們巧妙地引入參變量，并緊密結合題目描述，構建參變量與已知量之間的內在聯系.在此過程中，我們致力于確保定點定值能夠獨立于參變量的變化而保持恒定，從而揭示出問題的核心并解決之.

2 定點問題

例1 已知經過橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一點（x0，y0）的切線方程為x0xa2+y0yb2=1；橢圓E：x26+y2=1，P為直線x=3上的動點，過點P作橢圓E的兩條切線，切點分別為A，B，求證：直線AB過定點.

證明 設切點為A（x1，y2），B（x2，y2），

點P（3，t）.

由已知結論可得直線AP的方程：x1x6+y1y=1，直線BP的方程：x2x6+y2y=1，通過點P（3，t），

所以有x1·36+y1·t=1x2·36+y2·t=1，

所以點A，B滿足方程：x2+ty=1，

所以直線AB恒過點：x2－1=0y=0，即直線AB恒過點（2，0）.

例2 已知橢圓C：x22+y2=1，設直線l：y=kx+m與橢圓C交于不同的兩點M，N，點Q2，0，若直線MQ的斜率與直線NQ的斜率互為相反數，求證：直線l過定點.

證明 聯立y=kx+m，x22+y2=1，

得2k2+1x2+4kmx+2m2－2=0.

設Mx1，y1，Nx2，y2，

可得x1+x2=－4km2k2+1，x1x2=2m2－22k2+1，

由題知kMQ+kNQ=0，

即y1x1－2+y2x2－2=kx1+mx1－2+kx2+mx2－2=2kx1x2+m－2kx1+x2－4mx1－2x2－2=0，

即2kx1x2+m－2kx1+x2－4m=0，

解得k=－m，

所以直線l的方程為y=kx－1，故直線l恒過定點1，0.

3 定值問題

例3 設點P是雙曲線x24－y216=1右支上任意一點，過點P分別作兩條漸近線的垂線，垂足分別為E，F，則PE·PF的值為．

解析 漸近線方程為2x±y=0，

設Px0，y0，則x204－y2016=1，

所以4x20－y20=16．

由點到直線的距離公式有

PE=2x0+y05，PF=2x0－y05，

所以PE·PF=2x0+y05·2x0－y05=4x20－y205=165.

故答案為：165.

例4 如圖1，已知橢圓x24+y23=1， 與坐標軸不垂直的直線l交于M，N兩點，線段MN的中點為P，求證：kMN·kOP（O為坐標原點）為定值.

證明 由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，設直線l的方程為y=kx+mk≠0，

聯立y=kx+mx24+y23=1，

得3+4k2x2+8kmx+4m2－12=0.

Δ>0，即m2<4k2+3，

設Mx1，y1，Nx2，y2，

則x1+x2=－8km3+4k2，

y1+y2=kx1+x2+2m=6m3+4k2，

所以P－4km3+4k2，3m3+4k2，

所以kOP=3m3+4k2－4km3+4k2=－34k.

所以kMN·kOP=－34為定值.

解題策略 （1）設定合適的參數.參數的選擇應根據題目的具體條件和要求，以及所研究的圓錐曲線的幾何性質來進行.參數設定得恰當，可以大大簡化后續的計算過程.（2）充分利用圓錐曲線的幾何性質、已知條件、點在曲線上，聯立直線和圓錐曲線的方程，利用點差法等幫助我們建立方程或方程組，從而更準確地描述問題的數學本質.同時，可以進一步約束參數的取值范圍，使問題更加明確.（3）尋找不受參數影響的定量：①通過對方程進行變形或組合，可以發現某些項或表達式與參數無關.這通常涉及一些恒等式或等式性質的應用，如平方差公式、和差化積等.②圓錐曲線具有許多幾何性質，如對稱性、焦點性質等.這些性質可以幫助我們識別那些與參數無關的量.③通過對方程組進行設而不求、基本變換消元和整體構造代入操作，可以消去參數，從而得到只包含定點或定值坐標的方程.④利用題目的特殊條件：有時候，題目會給出一些特殊條件或提示，這些條件或提示可以幫助我們直接找到定點或定值.⑤通過舉例或特殊值法驗證.在找到可能的定點或定值后，可以通過舉例或取特殊值的方法進行驗證.

4 結語

本文通過系統的理論分析和案例實踐，揭示了參數設定、方程構建、消參處理以及結果驗證等關鍵步驟中的精妙之處.這些策略和技巧不僅有助于提高解題效率和準確性，更能培養讀者的邏輯思維能力和空間想象力.期待廣大讀者能夠從中受益，激發對解析幾何的興趣與熱情，共同推動數學學科的發展與進步.

參考文獻：

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