高中數學不等式解題的方法和技巧

【摘要】“不等式”是高中階段數學教學的一個重要知識點，也是學科考試的一個必考知識點.因具有內容復雜繁多、變化靈活等特點，該知識點也是學科教學的一個難點，是考試中學生容易出錯的題型.為幫助學生有效突破該重難點知識，提升學生解答此類題型的能力，避免其在此類題型上失分，本文先簡要闡述高中階段“不等式”問題的解題方法，然后結合典型例題對“分離常數”“整體代換”“辨析模式”“換元法”四種不等式解題技巧進行講解，以供參考和學習.

【關鍵詞】高中數學；不等式；解題技巧

“不等式”是高中數學考試的必考內容，因此，準確解答此類題型是高中學生必須具備的應試能力.作為高中數學教師，在實際教學中，應對“不等式”相關的題型進行分類、歸納，總結各類題型的形式特征和解題思路，在此基礎上傳授學生相關解題方法和技巧，以此完善學生的知識結構，全面提升其解答“不等式”問題的能力.

1 高中數學不等式解題的主要方法

1.1 比較法

此方法可細分為“作差比較”和“作商比較”兩種形式.其中，前者的理論依據為：a＞ba-b＞0；a＜ba-b＜0.而后者的理論依據為：b＞0，ab＞1a＞b；b＜0，ab＞1a＜b.可見，“比較法”的實質是將兩個式子或數字的大小判斷問題轉化為一個式子（或數字）與0（或1）的大小關系判斷.

具體的解題思路為：通過作差或作商，將已知的兩個式子或數字進行變形，然后判斷所得變形式與“0”或“1”的大小關系，由此確定這兩個式子或數字之間的大小關系.

例如 “比較（x+1）（x+2）和（x－3）（x+6）的大小”一題，便可運用作差比較法進行解答.即：因為x+1x+2-x－3x+6=（x2+3x+2）－（x2+3x－18）=20＞0，所以x+1x+2＞x－3x+6.

1.2 分析法與綜合法

分析法指的是，以需要證明的結論為著手點，逐步分析、尋找能夠使其成立的充分條件，直至找到的條件為已知條件或明顯成立的客觀事實（已證明的定理、性質或公理、定義），以此證明結論的正確性.其解題思路為“執果索因”.

綜合法指的是，從已知條件出發，通過一系列基于客觀事實（已證明的定理、性質或公理、定義）的變形和推斷，得出欲證明的結論，從而證明命題成立，結論準確.其解題思路為“由因導果”.

通過上述定義不難看出，分析法和綜合法之間具有緊密的內在聯系，二者在邏輯思維上存在互逆性.實際解題過程中，通常將兩種方法整合運用，先通過分析法尋找解題切入點，梳理證明思路，然后利用綜合法進行證明過程的敘述和表達.

例如 以“求證：2+7＜3+6”一題為例.解題時，可先用分析法梳理思路：即欲證明該不等式成立，只需證2+72＜3+62，即證明9+214＜9+218，證明14＜18，證明14＜18.而“14＜18”是客觀事實，由此推斷出命題成立.基于“分析法”獲得的解題思路，可通過“因為14＜18，所以14＜18，即9+214＜9+218，即2+72＜3+62，所以2+7＜3+6”數學語言完成解題.

1.3 縮放法

該方法指的是在證明不等式的過程中，將某些部分的值放大或縮小，以此使不等式得到簡化，使式中的大小關系或邏輯關系得到凸顯，從而完成命題的論證.此方法的應用要點在于分析證明式的形式特點，明確縮放思路.

例如 以“若a＞b＞c，求證1a-b+1b-c+4c-a≥0”一題為例.通過對證明式的觀察分析，可以看出：不等式左邊前兩項均為正值，第三項為負值且沒有“b”這一元.所以解題時可以“縮掉b”作為切入點.即：因為1a-b+1b-c≥21a－bb－c，a－bb－c≤a－b+b－c22=a-c22 ，所以1a-b+1b-c≥4a-c，故證明1a-b+1b-c+4c-a≥0.

2 高中數學不等式解題技巧

2.1 分離常數解決問題

在解答“求代數式最值”類題目時，若代數式中含有分式且分子的最高次數高于分母的最高次數，便可利用“分離常數”這一解題技巧快速解答.核心思路為：將分子轉化為分母的倍數，通過轉化變形，將代數式簡化并分離出常數，使得代數式的積為定值，然后利用不等式的基本定理完成求解.

例如 以“若x＞0，y＞0，x+2y=4，求代數式x+12y+1xy的最小值”一題為例.可按照以下思路運用“分離常數”的技巧進行求解：因為x+2y=4；所以x+2y+1=5.故x+12y+1xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy.根據不等式基本定理“a+b≥2ab”可知：x+2y≥22xy，即4≥22xy，當且僅當x=2y=2時取等號.由此可知，0≤xy≤2，則5xy≥52，即x+12y+1xy≥2+52，由此得出代數式的最小值應為92.

2.2 整體代換解決問題

在解答不等式題目時，應細致審題，在仔細觀察已知條件和代數式形式特征的基礎上，分析、探尋二者之間的內在聯系，以內在關系為切入點，將已知條件整體代入到題目中，替換掉某個常數或代數式，以此將題目簡化變形為可以套用不等式基本定理的式子，從而完成題目的求解.通常題目中包含“a+λb=1”這類已知條件時，應優先嘗試利用整體代換這一技巧進行解題.

例如 以“已知m+2n=1且m、n均為正數，求1m+1n的最小值”為例.看到題目中存在“a+λb=1”類型的已知條件，且求解代數式中也包含“1”，解題時便可利用“整體代換”的方式對1m+1n進行轉化變形，即：1m+1n=m+2nm+m+2nn=1+2nm+mn+2=3+2nm+mn.根據不等式基本定理“a+b≥2ab”可知：2nm+mn≥22，則1m+1n≥3+22.當且僅當2nm=mn時取等號，故本題答案為3+22.

2.3 換元解決問題

在不等式解題過程中，換元法與整體代換方法均是“轉化思維”的一種應用形式，但二者具有明顯的區別.整體代換法通常是將已知條件整體代入到題目中，替換對象通常為某個常數，而換元法則是創造一個單一變量，利用其替代題目中的某個較為復雜的表達式.在經過對此變量的運算后，再將原表達式代入式子中進行計算求解，通過這種解題技巧能夠快速找到題目中蘊含的邏輯關系，創造能夠運用不等式基本定理的條件并簡化運算，從而實現題目的快速、準確解答.（例題略）