數形結合與一般觀念視角下的解題教學思考

【摘要】數形結合思想是重要的數學思想之一，而一般觀念則是形成良好認知結構的關鍵要素.兩者的結合能讓學生在解決陌生復雜的解析幾何問題時擁有更為清晰的路徑與方向.本文以2024年高考題為例，對數形結合以及一般觀念在解題中的重要性進行剖析，旨在給以上兩種數學思想方法的培養提供參考.

【關鍵詞】數形結合；高中數學；解題方法

1 真題再現

（2024年新高考I卷第11題）圖1中的造型可以做成美麗的絲帶，將其看作曲線C的一部分.已知C過坐標原點O，且C上的點滿足橫坐標大于－2，到F（2，0）的距離與到定直線x=aa<0的距離之積為4，則（ ）

（A）a=－2.

（B）點22，0在C上.

（C）C在第一象限的點的縱坐標的最大值為1.

（D）當點x0，y0在C上時，y0≤4x0+2.

2 試題解答

選項（A）：原點O在曲線C上且OF=2，根據曲線的定義知O到直線x=a的距離也應該為2，再結合a<0得a=－2，正確；

選項（B）：根據曲線的定義寫出曲線C的方程x+2x－22+y2=4.將22，0代入發現等號成立，正確；

選項（C）：從曲線C中解出y2=16x+22－x－22，不妨將左邊看作fx，令y=1可得x=2，并且f′（2）=－0.5<0，錯誤；

選項（D）：因為y2=16x+22－x－22≤16x+22，故 y0≤4x0+2，正確.

綜上，答案為（A）（B）（D）.

3 試題評價

本題位于新高考I卷的第11題，是多選題的壓軸題.該題以數學文化與數學美為背景，涉及了解析幾何中曲線與方程的相關內容，構造了一條新定義的曲線，并研究了這條曲線的方程、橫縱坐標的最值以及橫縱坐標的約束關系.

3.1 用幾何眼光觀察，用代數方法解決

對于選項（A），從圖形中觀察到原點O在曲線上再結合曲線的定義即能在不求出曲線方程的情況下將定直線x=a中的參數a確定下來.這剛好是用“幾何眼光觀察，用代數方法解決”的數形結合思想的具體體現.類似地，想要快速判斷選項（C）正誤的一個方法是觀察出縱坐標為1的點所對應的橫坐標剛好為2，對應的x軸上的點剛好是定點F（2，0）.如果能得到這個事實，那么后面不論是直接用圖象判斷出曲線上x=2的點所對應的縱坐標并不是最大的，還是說通過導函數判斷該點的導函數不為0，從而確定其不是最大值，都能使得整個題目的求解變得開闊.事實上，想要求得曲線縱坐標的最大值并非易事，但這也是數形結合的妙處所在.通過幾何觀察猜想，輔以代數確認，就能四兩撥千斤地化難為易.

3.2 把握研究曲線方程類問題的一般觀念

由于學生已學習過利用圓錐曲線的第一定義對曲線的一般方程進行推導，故選項（B）和（D）也要求學生利用定義寫出曲線方程并判斷點是否在曲線上及橫縱坐標之間的約束關系.這在考查類比與遷移能力的同時，也對教師在平時教學中對學生一般觀念甚至是一般方法的培養提出了要求.首先，學生必須清楚認識曲線與方程的充要關系，即“曲線上點的坐標都滿足方程”，“以方程的解為坐標的點都在曲線上”，因為這是理解曲線、方程與函數之間的重要橋梁.其次，有必要讓學生在學習后自主歸納總結出求曲線方程的一般步驟以及求曲線方程的相關方法，畢竟這是正確書寫曲線方程并進行應用的關鍵.最后，學習過程中強調“曲線的幾何特征—曲線的標準方程—通過方程研究曲線的性質—應用”的研究過程也十分重要，以避免學生在面對這類新的陌生的問題時沒有頭緒.

總的來說，該題目不僅考查了學生的數學運算、直觀想象和邏輯推理等素養，還通過新定義的曲線，考查了學生在新情境中解決數學問題的能力，對學生數形結合思想、一般觀念的水平提出了要求，體現了題目的創新性和挑戰性.

4 類題賞析

對于這一類以數學美為背景考查新定義的曲線，并結合方程、函數、不等式等研究該曲線性質的題型，在高考史上并非首次出現.北京卷在2019年第8題就已經考查了類似的問題，試題如下：

（2019年北京卷第8題）數學中有許多形狀優美、寓意美好的曲線，曲線C：x2+y2=1+|x|y就是其中之一，下列三個結論：

①曲線C恰好經過6個整點；

②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過2；

③曲線C所圍成的“心形”區域的面積小于3.

其中，所有正確結論的序號是（ ）

（A）①②. （B）①③.

（C）②③. （D）①②③.

試題直接告知曲線方程，并要求曲線經過的整點個數、曲線上的點距離原點的最大值以及封閉區域圖形的面積，本質上還是考查曲線與方程相關的數形結合思想與一般觀念、一般方法.

對于①整點個數的研究，先考慮x≥0時，轉化成方程根的問題進行求解，再通過幾何觀察得出對稱性性質處理x<0的情況，再加上邊界的2個情況最后得到6個整點.上述2024年高考題也能命制成類似問題，結合之前的分析， 封閉部分曲線恰好經過3個整點（2，1），（2，－1）與（0，0）.

對于②曲線上的點距離原點的最大值的研究，除了結合①的觀察找特殊點，也可考慮借助代數方法如基本不等式：x2+y2=1+xy≤1+x2+y22，可得：x2+y2≤2，即曲線C上任意一點到原點的距離都不超過2.該設問本質上與2024年高考題相同，其選項（B），選項（C）研究的都是邊界取值情況.對于上述2024年高考題的曲線，由于其特殊性，封閉部分曲線上的一點到原點距離的最大值剛好就是某個橫坐標的最值.

對于③，主要借助的是割補法進行近似求解即可，使用的還是數形結合思想，較為簡單.

本題答案選（A）選項.

總的來說，兩題看似考查的知識點大不相同，但本質考查的還是曲線方程的零點、最值或者是對稱性這些性質等.這其實也正是函數、曲線、方程等一般觀念之間的內在聯系的體現.另外，“先用幾何的眼光觀察，再用坐標法解決”的數形結合思想也在貫徹始終.

5 結語

在研究曲線與方程一類問題時，數形結合思想是統領性的存在.中學階段，我們通常都是給出某條曲線的幾何定義后，再通過數形結合的代數方法來進行討論.事實上，一些細小的幾何觀察再配合代數與推理便能得到十分有趣的結論.另外，盡管圓錐曲線是考查學生能力素養的關鍵模塊，但也是機械套用泛濫的板塊.所謂的“二級結論”“秒殺大招”在不斷侵蝕學生的數學認知結構，而學生在面對新問題時卻無所適從，這體現的正是一般觀念的重要性，也只有擁有了一般觀念與方法，學生才有可能在新問題中自信自主地解決問題.因此，教師有必要在該板塊教學中滲透、明確、強調這類數學思想方法，以提升學生素養與能力.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.