視場角限制下的攻擊時間和角度三維矢量制導律設計

摘 要：為了提高導彈精確打擊目標的能力， 控制攻擊時間和攻擊角度三維制導問題在實際應用中具有重要的意義。 針對這一問題， 本文基于三維矢量制導模型提出了一種視場角約束下的攻擊時間和攻擊角度控制律。 首先， 通過將平面矢量制導律擴展至三維空間， 提出了一種三維矢量攻擊角度約束制導律； 其次， 在上述制導指令的攔截分量中引入剩余時間偏置項， 設計了一種在視場角約束下的三維矢量制導律， 并進行了穩定性分析。 保證導彈能在視場角約束的條件下， 以期望的攻擊時間和角度擊中目標， 并且誤差均小于0.01； 最后， 通過數值模擬驗證了所設計制導律的正確性和有效性。

關鍵詞：導彈； 矢量制導律； 視場角限制； 攻擊時間約束； 攻擊角度約束； 耦合非線性

中圖分類號：TJ760； V249.1

文獻標識碼： A

文章編號：1673-5048（2024）04-0049-08

DOI： 10.12132/ISSN.1673-5048.2023.0228

0 引 言

隨著現代防御技術的快速發展， 傳統比例導引律的有效性有所降低。 面對這一挑戰， 越來越多的約束條件被引入到導引律的設計當中， 例如約束攻擊角度和攻擊時間。 攻擊角度約束可以通過攻擊弱點來增加對目標的破壞力， 而攻擊時間約束可以通過齊射攻擊來提高對反導系統的生存能力。 近年來， 隨著捷聯式導引頭的廣泛應用， 由于導引頭探測視野有限， 在制導過程中還需要考慮到視場角的約束問題。 在過去幾十年里， 針對多約束情況下的末端制導律展開了廣泛的研究活動。

在這項研究的背景下， 文獻中提出的解決攻擊方向控制問題的方法可以分為兩個類別， 即二維和三維方法。 二維方法的目標是實現特定的攻擊角度， 而三維方法的目標是在空間中獲得特定的攻擊矢量。 攻擊角約束制導律IACG（Impact Angle Constrained Guidance）的開創性工作可以追溯到文獻［1］為再入飛行器設計了一種角度控制導引律。 在文獻［2］中， 為了滿足攻擊角度的約束， 在傳統比例導引的基礎上， 設計了一種帶有偏置項的制導方法。 文獻［3-4］通過解決以控制能量的積分除以時間剩余的冪函數為代價函數的最優控制問題， 設計了時間加權的最優角度控制方法。 文獻［5-6］通過將期望值與估計值之間的攻擊角誤差的反饋指令添加到比例導引指令中， 提出了兩種不同的角度控制方法， 其形式為偏置比例導引。 孫勝等［7］在考慮駕駛儀動態特性的前提下采用終端滑模控制提出了一種約束攻擊角度的方法。 在文獻［8-9］中， 通過利用最優誤差動態開發了一個通用的角度控制方法， 并針對模型進行非線性擴展， 以攻擊機動目標。 文獻［10-11］提出了在視場角約束下的帶有制導律切換的偏置比例導引法， 用以攻擊具有攻擊角和目標加速度約束的機動目標。 魯嬌嬌等［12］提出了一種考慮導引頭耦合作用的帶落角約束制導律。

攻擊時間約束制導律首次在文獻［13］中被討論， 旨在實現多枚反艦導彈的齊射攻擊。 隨后， 文獻［14］在線性化假設的基礎上， 提出了一種非線性的導彈剩余飛行時間估計方法。 文獻［15］使用滑模控制來約束攻擊時間， 且制導指令沒有奇異性。 在文獻［16］中， 高計委提出了一種基于自適應滑模控制的約束攻擊時間的制導律。 陳升富等［17］通過設定攻擊時間， 提出一種帶視場角約束和時間約束的制導律。 文獻［18］提出了一種通過將視角曲線作為時間多項式來構造新的攻擊時間控制方法。 在文獻［19］中， 通過構建一個時間變化的瞄準線曲線， 并應用終端滑模控制， 設計了一種針對各種機動目標的攻擊時間約束制導律。 在最優誤差動態框架下， 文獻［20］設計了一個包括比例導引和攻擊時間誤差反饋回路的攻擊時間約束制導律。 文獻［21］開發了一個具有精確的時間估計的變增益比例導引法， 以實現在不同制導場景下的精確攻擊時間控制。 Jeon等［22］提出了一種新型的比例導引方法， 通過使用時變的自適應制導增益， 調整多枚導彈的攔截時間間隔。 針對多彈協同攻擊問題， 受限于導彈速度的不可控， 張振林等［23］提出了一種新型導彈協同制導律。 該制導律基于領彈-從彈策略在導彈速度不可控的前提下， 成功實現了角度約束下的時間協同。 陳亞東等［24］在視場角受限的條件下提出了一種三維攻擊角度控制導引律。 馬萌晨等［25］提出了一種攔截機動目標的三維協同制導律。

現有的三維導引律中多采用對導引律解耦為俯仰方向和偏航方向進行單獨設計， 但由于在三維空間中的制導模型存在非線性， 俯仰通道和偏航通道之間存在交叉耦合關系， 導引指令的設計過于復雜， 缺乏直觀性。 為解決這一問題， 本文引入了三維矢量制導模型， 將最優平面的約束角度控制律擴展到三維， 并引入約束視場角及攻擊時間的偏置項， 提出了一種在視場角限制的條件下約束攻擊時間和攻擊角度的三維矢量制導律。

1 約束攻擊時間和角度的三維導彈運動模型

1.1 三維制導模型

考慮在三維空間中導彈M攻擊靜止目標T， 其制導的幾何模型如圖1所示。 其中， XvYvZv為速度坐標系， 原點O代表導彈的質心， XYZ為慣性坐標系的方向。 假設導彈在末制導階段的速度大小保持不變， 用矢量Vm表示， R表示導彈和目標的相對位置矢量， 定義為

R=Pt－Pm（1）

式中： Pm和Pt分別為導彈和目標的位置矢量。

矢量ac表示導彈的加速度， 與速度Vm垂直。 在實際應用中， 通常將加速度ac沿俯仰和偏航兩個方向進行分解， 即速度坐標系下MYv軸的ay和MZv軸的az， 加速度ac可表示為

ac=ay+az（2）

ΩR為彈目視線的旋轉角速度矢量， Ωv為導彈速度矢量Vm的旋轉角速度矢量， 可分別表示為

ΩR=－Vm×RR2

Ωv=－Vm×acVm2（3）

式中： ×為兩個矢量的外積； ·為矢量的二階范數。

1.2 約束攻擊角度的三維矢量運動模型

如圖2所示， 其中XYZ為導彈的慣性坐標系， 為了方便制導律設計， 引入了一些單位矢量和角度。 其中Vm為導彈的速度矢量， Vm為導彈速度矢量的二階范數， 其單位向量為vm， 三者之間的關系可以表示為

Vm=Vm

vm=Vm/Vm（4）

R為導彈和目標的相對位置矢量， 其二階范數為r， 其單位向量為vR， 三者之間關系可表示為

r=R

vR=R/r （5）

Vd為期望的攻擊速度矢量， 其單位向量為vd， 二者之間關系可表示為vd=Vd/Vd。 在假設攻角和側滑角很小的條件下， 速度軸與導引頭主軸會在同一直線上， 由此可將導彈視場角σ定義為導彈的速度方向Vm和導彈與目標的連線R之間形成的空間夾角， 同時， 視場角σ也可以被視為導彈和目標之間的航向誤差， 將期望的攻擊速度矢量Vd與彈目連線矢量R之間的夾角定義為δ， 此時σ和δ可表示為

σ=arccosvm·vRvmvR σ∈［0， π］

δ=arccosvd·vRvdvR δ∈［0， π］ （6）

因此， 考慮重力情況下的導彈動力學方程可以描述為［26］

R·=－Vm（7）

V·m=ac+（g·vm）vm（8）

r·=－Vmcosσ（9）

σ·=Vmsinσr－ac·vRVmsinσ（10）

δ·=－Vmrsinδvd·vm－VmcosσrsinδvR·vd（11）

因此， 在三維矢量制導模型中， 視場角限制的條件下， 攻擊時間和攻擊角度的約束律可表示為

R→0

t→td

Vm→Vd

0≤σ≤σmax （12）

式中： t為導彈的飛行時間； td為導彈期望的攻擊時間； σmax表示導彈的最大視場角。

三維制導模型和歐拉角制導模型是為解決同樣問題而采用的不同模型構建方法。 因此， 在三維矢量模型中， 期望的速度矢量vd與歐拉角制導模型中的期望俯仰角θd和方向角φd之間存在如下的轉換關系：

vd=cosθdcosφd

cosθdsinφd

sinθd（13）

2 具有攻擊約束的三維矢量制導律設計

2.1 約束攻擊角度的三維矢量制導律

在三維空間中， 比例導引指令為

aPNG=NΩR×Vm（14）

式中： N為比例導引系數； ΩR為彈目視線的旋轉角速度矢量。

受到文獻［27］的啟發， 可以將約束角度的三維矢量制導律設計為

aIACG=NΩR×Vm+2（N－1）V2mδcosσn vd×vRvd×vR×vm （15）

將式（3）代入式（15）， 具有角度約束的三維矢量制導律aIACG為

aIACG=－NV2msinσrvm×vRvm×vR×vm+

2（N－1）V2mδcosσrvd×vRvd×vR×vm（16）

根據式（16）可得， 約束角度的三維矢量制導律包括兩個部分： 一個是在vm×vRvm×vR×vm方向上的攔截部分， 用于減小航向誤差； 另一個是在vd×vRvd×vR×vm方向上的轉向部分， 用于實現期望的沖擊角度。

在初始條件下， 當σ0≤π2時， 通過式（15）的制導律使導彈能夠以期望的速度方向Vd擊中目標， 也就是在三維空間中實現了期望的沖擊角度。

證明： 將式（9）與式（4）～（5）聯立可得vR的時間導數為

v·R=－Vmrvm+VmcosσrvR（17）

由于設計的制導律方向始終垂直于速度方向vm， 因此vm的時間導數為

v·m=aIACGVm=－NVmsinσrvm×vRvm×vR×vm+2（N－1）Vmδcosσrvd×vRvd×vR×vm（18）

由式（6）可得σ的時間導數為

σ·=－1sinσ（v·R·vm+vR·v·m）（19）

聯立式（16）～（18）可得

σ·=－（N－1）Vmsinσr+2（N－1）Vmδcosσrvm×vRvm×vR·vd×vRvd×vR （20）

δ對時間的導數為

δ·=－1sinδ（v·R·vd+vR·v·d）=

－Vmsinσrvm×vRvm×vR·vd×vRvd×vR （21）

通過式（19）可知

σ·|σ=π2=－（N－1）Vmr<0（22）

對于所有t>0， A=σ|0≤σ<π2都是一個正不變集， 因此， 在初始條件σ0≤π2下， 對于所有t>0， 始終滿足0≤σ<π2。 由于r·=－Vmcosσ， 導彈與目標之間的相對距離單調遞減至零。

令ε=arccosvm×vRvm×vR·vd×vRvd×vR， 構造函數

T=sinσsinδsinε≥0， 對函數T求導可得

T·=σ·cosσsinδsinε+δ·sinσcosδsinε+

ε·sinσsinδcosε（23）

T·=－（N－1）Vmsinσcosσsinδsinεr－2Vmcos2σsinδsinεr≤－（N－1）VmcosσrT（24）

由于r·=－Vmcosσ， 則

dTdt=r·（N－1）Tr （25）

轉化為T對r的導數， 即

dTdr≥（N－1）Tr（26）

通過微分式（26）可得0≤T≤rr0N－1， 其中， r0表示r的初始值， 因此， 當r趨近于 0 時， limr→0（sinσsinδsinε）=0。 此時矢量Vm， Vd和R處于同一平面上。 可見， 在制導律式（14）的作用下， 隨著導彈接近目標， 三維空間制導問題將轉化為文獻［9］中的二維平面制導問題。 根據文獻［9］的結論， 即可證明該制導律可以使導彈在三維空間實現對攻擊角度的約束。

2.2 視場角約束下的攻擊時間和角度三維矢量制導律

由式（15）可知， 約束角度的三維矢量制導律包含用于減小航向誤差的攔截部分和用于實現期望的沖擊角度轉向部分。 為了實現所期望的攻擊時間， 可以通過將式（15）的攔截部分與一個時間偏置項atime相結合， 則具有約束攻擊時間和角度的三維矢量制導律aITAG設計為

aITAG=－NV2msinσr+atimevm×vRvm×vR×vm+

2（N－1）V2mδcosσrvd×vRvd×vR×vm（27）

此時， σ對時間的導數為

σ·=－（N－1）Vmsinσr+2（N－1）Vmδcosσcosεr－atimeVm（28）

假設ε值很小， 結合式（21）和（28）可得

σ·=－（N－1）Vmsinσr+2（N－1）Vmδcosσr－atimeVm（29）

δ·=－Vmsinσr（30）

將剩余時間誤差定義為Δ=td－t－tgo， 其中， td為期望的攻擊時間， tgo為剩余飛行時間。 剩余飛行時間可以被設計為［8］

tgo=rVm1+sin2σ2（2N－1）（31）

結合式（31）， 假設σ為小角度， 則誤差Δ對于時間的導數為

Δ·=－rsin2σ2（2N－1）V2matime（32）

將最優誤差動力學方程設計為

Δ·+K·PσσmaxtgoΔ=0（33）

式中的K為設計參數， 在文獻［8］中已經證明了在誤差動力學方程（33）下， 時間誤差Δ能夠在有限時間內收斂到0， 因此視場角限制下的時間偏置項atime可以設計為

atime=（2N－1）V2mcosσPσσmaxrtgosin2σαΔ（34）

式中： α為增益系數。

限制視場角的函數為

P（x）=cosπx22 （35）

將式（34）代入式（28）可得

σ·=－（N－1）Vmsinσr+2（N－1）Vmδcosσcosεr-

（2N－1）VmcosσPσσmaxrtgosin2σαΔ （36）

在σ=π/2的情況下有

σ·|σ=π2=－（N－1）Vmr<0（37）

類似式（22）的證明方法， 式（37）可以得出基于式（27）的制導律。 在初始條件0≤σ<π/2的情況下， 導彈可以在三維空間中以期望的攻擊角度和時間擊中目標。

注意到， 在偏置項atime中， 當σ→0時， 可能會出現奇異性。 為了防止這種情況出現， 令κ=sin2σ， 構造輔助函數ζ， 代入式（34）， 此時改進后的制導律為

atime=（2N－1）V2mcosσPσσmaxrtgo ζ（κ）καΔ（38）

其中函數ζ為

ζ=κl2－1≤κ≤1

1else（39）

式中： l為設計參數。

根據洛必達法則limκ→0ζ（κ）κ=2·κ·κ′a2κ′=0， 因此可以避免偏置項atime中奇異點的出現。

將式（35）和（38）代入式（27）， 視場角限制下的約束攻擊時間和角度的三維制導律為

ac=－NV2msinσr+（2N－1）V2mcosσrtgo·

cosπσσmax22 ζ（κ）καΔvm×vRvm×vR×vm+

2（N－1）V2mδcosσrvd×vRvd×vR×vm（40）

在實際過程中， 制導指令ac將沿著速度坐標系分解為俯仰加速度ay和偏航加速度az， 基于文獻［28］， 考慮重力補償的導彈三維多約束末制導律可表示為

ay=j·ac

az=k·ac+gcosω （41）

式中： ω為導彈的彈道傾角。

令Vi， Vj， Vk分別為導彈的速度方向vm在慣性坐標系中沿著X軸、 Y軸、 Z軸的投影， 因此， ω可表示為ω=arctanVkV2i+V2j。 矢量j為速度坐標系下Y軸的單位向量， k為速度坐標系下Z軸的單位向量， j， k可表示為

jk=－sinφmcosφm0

－sinθmcosφm－sinθmsinφmcosθm （42）

式中： θm為導彈的俯仰角； φm為導彈的偏航角。

3 數值仿真

仿真中提供了三種場景， 以驗證所提出的制導律在不同場景下的有效性。 在所有仿真過程中均使用相同的參數， 即N=3， K=1， l=0.01， α=12， 導彈在俯仰和偏航方向的最大加速度均為10g。

此外， 為了更好地可視化導彈的速度方向， 導彈的速度方向vm使用俯仰角θm和偏航角φm來表示， 如圖2所示。 其轉化關系可以表示為

vm=cosθmcosφmcosθmsinφmsinθm（43）

導彈的俯仰角和方位角范圍分別為［－90°， 90°］和［0°， 360°）， 并且導彈期望的速度方向Vd也通過俯仰角和偏航角θd和φd來描述， 其轉換關系可以由式（13）得到。 為了更直觀地判斷制導律對于角度約束的有效性， 將攻擊角度誤差定義為當前速度方向與期望速度方向的夾角， 表示為

error=arccosVm·VdVmVd（44）

場景一： 約束時間和攻擊角度的三維矢量制導律

為驗證所提制導算法在期望角度下的攻擊時間約束能力， 將3枚導彈的初始位置均設定在（10 000， 10 000， 10 000） m， 目標位置設定在（0， 0， 0） m， 導彈初始速度設定為（0， －300， 0） m/s， 目標的初始速度設定為（0， －40， 0） m/s。

導彈的期望攻擊時間分別為70 s， 80 s， 90 s， 期望的俯仰角為θd=－60°， 偏航角為φd=90°。 仿真結果如圖3～8所示。

根據圖3和圖5所示， 本文提出的約束攻擊時間和攻擊角度三維矢量制導律可以使導彈成功擊中目標， 并且導彈的視場角均能收斂至零。 從圖4和圖6可以看出， 導彈目標距離和導彈期望速度方向與導彈實際速度方向的誤差均能在期望的時間收斂至零， 從而實現在不同的時間以相同的角度擊中目標。 圖7和圖8分別為導彈的俯仰和偏航方向過載， 且兩個方向的加速度大小均被限制在10g以內。

場景二： 視場角限制下約束時間和攻擊角度的三維矢量制導律

為驗證所提制導算法的視場角約束能力， 導彈的最大視場角為σmax=55°， 導彈的期望攻擊時間分別為70 s， 75 s， 80 s， 其他條件均和場景一相同。 仿真結果如圖9～14所示。

由圖9～12可以看出， 3枚導彈均能以期望的攻擊時間和角度擊中目標， 導彈的視場角、 導彈速度方向和期望速度方向的誤差能收斂至零。 從圖11可得， 與場景一相比， 導彈的視場角在制導過程中均能保證角度約束，

且最大視場角被限制在55°以內。 圖13和圖14分別為導彈的俯仰和偏航方向過載， 且兩個方向的加速度大小均被限制在10g以內。 對比場景一的仿真結果， 本文提出的制導律能夠在視場角約束的情況下， 實現以不同的期望攻擊時間和角度擊中目標。

場景三： 不同攻擊角度約束下的多導彈齊射攻擊

為驗證所提制導算法在期望時間下的攻擊角度的約束能力， 將5枚導彈的初始位置均設定在（10 000， 10 000， 10 000） m， 目標位置設定在（0， 0， 0） m， 導彈初始速度設定為（0， －300， 0） m/s， 目標的初始速度設定為（0， －30， 0） m/s。 導彈的最大視場角為σmax=55°， 導彈的期望攻擊時間為80 s， 不同的攻擊角度約束如表1所示， 仿真結果如圖15～20所示。

從圖15和圖17可以觀察到， 通過本文設計的制導律， 導彈能夠成功地以不同的期望攻擊角度在三維空間中攻擊目標。 此外， 圖16和圖17顯示出在導彈的飛行過程中， 最大視場角始終被限制在55°， 并且所有導彈均能以期望的角度在期望的攻擊時間擊中目標。 圖19和圖20分別代表導彈的俯仰和偏航方向過載， 且兩個方向的加速度大小均被限制在10g以內。

4 結 論

針對三維空間中視場角限制下導彈的攻擊時間和攻擊角度控制問題， 本文提出了一種基于偏置比例導引的矢量制導方法， 能夠使導彈在視場角限制的條件下實現對攻擊時間和攻擊角度的約束。 與其他制導律相比， 本文設計的制導指令不需要進行制導律的切換以及模型的解耦， 參數選擇相對便捷。 通過多個場景的數值仿真驗證了該制導律能夠使導彈在多種約束條件下精確地擊中目標， 驗證了該方法的有效性。

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Design of Three-Dimensional Vector Guidance Law for Attack

Time and Angle under Field of View Angle Constraints

Xiong Tianhao1， Wang Changyuan1， Zhang Ke2*， Su Yu2， Guo Zhengyu3

（1.School of Armament Science and Technology， Xi’an Technological University， Xi’an 710021， China；

2. School of Astronautics， Northwestern Polytechnical University， Xi’an 710072， China;

3. China Airborne Missile Academy， Luoyang 471009， China）

Abstract： In order to enhance the precision of missile strikes on targets， controlling the three-dimensional gui-dance problem involving attack time and attack angle is of significant importance in practical applications. For addressing this problem， this paper proposes a control law for attack time and attack angle under field-of-view constraints based on the three-dimensional vector guidance model. Firstly， by extending the planar vector guidance law to three-dimensional space， it introduces a three-dimensional vector attack angle constrained guidance law. Secondly， incorporating a residual time bias term into the interception component of the above guidance command， it designs a three-dimensional vector guidance law under field-of-view constraints， and performs the stability analysis. This design ensures that the missile can hit the target with the desired attack time and attack angle within the constraints of the field of view， with errors less than 0.01. Finally， the correctness and effectiveness of the designed guidance law are validated through numerical simulations.

Key words： missile； vector guidance law； field of view constraint； attack time constraint； attack angle constraint； coupled nonlinearity