高超聲速飛行器軌跡凸優(yōu)化與跟蹤制導(dǎo)方法

摘 要：為了提升高超聲速飛行器無(wú)動(dòng)力下滑段在制導(dǎo)探測(cè)信息不完整或探測(cè)設(shè)備被干擾情況下的突防生存性能， 建立了下滑段高超聲速飛行器的動(dòng)力學(xué)模型。 采用序列凸優(yōu)化方法對(duì)彈道進(jìn)行優(yōu)化， 在滿足終端約束的前提下具有更優(yōu)的控制能量消耗， 同時(shí)保證了末端加速度收斂以及良好的計(jì)算性能。 軌跡跟蹤部分采用線性LQR控制器設(shè)計(jì)， 穩(wěn)定跟蹤規(guī)劃彈道。 相比與傳統(tǒng)最優(yōu)控制的角度約束的制導(dǎo)律， 下滑段采用軌跡規(guī)劃-軌跡跟蹤的方法， 無(wú)需線視線角度信息， 可在下滑段結(jié)束后再引入目標(biāo)相對(duì)角度信息， 在復(fù)雜電磁情況下具有更強(qiáng)的生存能力。

關(guān)鍵詞：高超聲速飛行器； 下滑段； 序列凸優(yōu)化； LQR控制器； 末制導(dǎo)

中圖分類號(hào)：TJ765； V249

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

文章編號(hào)：1673-5048（2024）04-0057-07

DOI： 10.12132/ISSN.1673-5048.2024.0026

0 引 言

高超聲速飛行器一般是指飛行速度超過(guò)馬赫數(shù)5的有翼或無(wú)翼飛行器。 兼具航天器和航空器的優(yōu)點(diǎn)， 飛行速度快、 航程遠(yuǎn)［1］。

按照提供動(dòng)力的不同方式將高超聲速飛行器分為火箭動(dòng)力彈道飛行器、 吸氣式巡航飛行器和無(wú)動(dòng)力滑翔飛行器三類［2］。 傳統(tǒng)火箭彈道式飛行器發(fā)展較早， 技術(shù)較為成熟。 滑翔式高超聲速飛行器采用升力體結(jié)構(gòu)， 可在大氣層內(nèi)做彈道機(jī)動(dòng)飛行。 吸氣式高超聲速飛行器（AHV）由于能夠充分利用大氣層內(nèi)的氧， 降低推進(jìn)劑的攜帶量， 可以大幅提升推進(jìn)系統(tǒng)的性能， 與火箭推進(jìn)技術(shù)相比具有顯著的優(yōu)勢(shì)［3］。

文獻(xiàn)［4］研究了高超聲速飛行器三維末端無(wú)動(dòng)力模型并提出一種非線性參數(shù)自適應(yīng)制導(dǎo)律， 該制導(dǎo)律在滿足碰撞點(diǎn)約束的同時(shí)滿足終端角度約束。 文獻(xiàn)［5］研究了高超聲速飛行器末端碰撞時(shí)間約束的問(wèn)題， 提出一種碰撞時(shí)間約束制導(dǎo)律， 該制導(dǎo)律在縱向平面采用碰撞時(shí)間控制， 在側(cè)向平面采用典型的比例導(dǎo)引。 文獻(xiàn)［6］同時(shí)研究了高超聲速飛行器末端碰撞時(shí)間與末端碰撞角度約束問(wèn)題， 將三維模型分解到兩個(gè)二維平面然后通過(guò)制導(dǎo)律參數(shù)實(shí)時(shí)更新保證了同時(shí)滿足末端碰撞時(shí)間與碰撞角度約束。 文獻(xiàn)［7］針對(duì)高超聲速飛行器末端突防制導(dǎo)問(wèn)題， 提出一種基于虛擬滑動(dòng)目標(biāo)的自適應(yīng)比例導(dǎo)引律， 可以引導(dǎo)飛行器在末端實(shí)現(xiàn)螺旋俯沖機(jī)動(dòng)彈道。 文獻(xiàn)［8］研究了吸氣式高超聲速飛行器對(duì)未知攔截者的躲避制導(dǎo)策略， 采用梯度下降法對(duì)攔截者的動(dòng)力學(xué)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)， 同時(shí)考慮了躲避過(guò)程中的能量?jī)?yōu)化問(wèn)題。 文獻(xiàn)［9］研究了高超聲速飛行器在遇到兩個(gè)攔截彈的突防軌跡優(yōu)化問(wèn)題， 將非凸最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問(wèn)題， 提出一種只需要攔截器初始視角信息的突防策略， 以及一種具有可變信賴域的連續(xù)SOCP方法。 文獻(xiàn)［10］針對(duì)具有多重約束和不確定擾動(dòng)的高超聲速飛行器大機(jī)動(dòng)突防問(wèn)題， 采用滑模控制制導(dǎo)律， 結(jié)合自適應(yīng)干擾估計(jì)方法， 提出一種末端蛇形機(jī)動(dòng)制導(dǎo)律。 凸優(yōu)化方法具有高效計(jì)算性能， 在航空航天制導(dǎo)領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景［11］。 其典型應(yīng)用有動(dòng)力下降、 垂直火箭回收、 合作航天器交會(huì)對(duì)接等［12-14］。 基于凸優(yōu)化的計(jì)算制導(dǎo)方法的關(guān)鍵在于凸優(yōu)化模型的建立， 復(fù)雜的非凸約束則需要進(jìn)行凸化處理， 松弛技術(shù)可將非凸約束轉(zhuǎn)化為凸約束， 松弛問(wèn)題的最優(yōu)解對(duì)于原問(wèn)題是最優(yōu)的［15］。

通常高超聲速巡航飛行器在巡航段結(jié)束后直接進(jìn)入俯沖模式， 此時(shí)飛行器抵近目標(biāo)附近空域。 伴隨著電子戰(zhàn)等復(fù)雜戰(zhàn)場(chǎng)狀況， 探測(cè)設(shè)備由于受到末端防御武器干擾無(wú)法準(zhǔn)確獲取目標(biāo)信息［16］。 而紅外導(dǎo)引頭側(cè)窗探測(cè)模式下， 非對(duì)稱視場(chǎng)約束會(huì)造成末制導(dǎo)階段目標(biāo)易丟失［17］。

俯沖段制導(dǎo)的最終目的是對(duì)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)精確攻擊， 即盡量降低機(jī)動(dòng)飛行對(duì)制導(dǎo)精度的影響， 這就要求機(jī)動(dòng)飛行與尋的制導(dǎo)能夠很好地配合。 一種做法是將二者分開設(shè)計(jì)并串行疊加： 俯沖攻擊前端進(jìn)行機(jī)動(dòng)以達(dá)到突防的目的， 距離目標(biāo)足夠近時(shí)不考慮機(jī)動(dòng)直接導(dǎo)向目標(biāo)。 另一種做法是將機(jī)動(dòng)和制導(dǎo)綜合設(shè)計(jì)， 在進(jìn)行機(jī)動(dòng)的同時(shí)也把AHV導(dǎo)向目標(biāo)， 即機(jī)動(dòng)控制信號(hào)及攻擊目標(biāo)的導(dǎo)引信號(hào)共同作用于飛行器， 通過(guò)加權(quán)形成復(fù)合制導(dǎo)信號(hào)［18］。

針對(duì)上述問(wèn)題， 文章采用機(jī)動(dòng)彈道與尋的彈道分別設(shè)計(jì)的方法， 即將末端彈道分為下滑段與俯沖段： （1）下滑段通過(guò)軌跡規(guī)劃與軌跡跟蹤方式實(shí)現(xiàn)末端突防機(jī)動(dòng)彈道， 以獲得較好的機(jī)動(dòng)突防能力， 并為進(jìn)入測(cè)量末制導(dǎo)階段創(chuàng)造條件， 此階段所需的信息可通過(guò)慣性導(dǎo)航設(shè)備獲取。 （2）當(dāng)飛行器下降到預(yù)定高度后或獲得可靠目標(biāo)測(cè)量信息后， 進(jìn)入俯沖段， 實(shí)施基于目標(biāo)測(cè)量信息的末端制導(dǎo)， 以實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的高精度打擊。

為了提升高超聲速飛行器的末端生存性能， 首先， 采用序列凸優(yōu)化方法研究了三維空間高超聲速飛行器機(jī)動(dòng)下滑的軌跡規(guī)劃方法， 可以在有限時(shí)間內(nèi)給出滿足角度約束的下滑段機(jī)動(dòng)彈道， 具有良好的控制收斂性能， 同時(shí)具有機(jī)載運(yùn)算潛力。 其次， 基于線性化的三維動(dòng)力學(xué)模型， 設(shè)計(jì)了線性LQR軌跡跟蹤器， 能準(zhǔn)確地跟蹤下滑段彈道， 滿足機(jī)載運(yùn)算的要求。 規(guī)劃彈道和軌跡跟蹤相結(jié)合， 可提高飛行器的突防能力和彈道機(jī)動(dòng)能力， 提升高超聲速飛行器下滑段的生存能力。 最后， 在獲得穩(wěn)定的目標(biāo)測(cè)量信息后， 轉(zhuǎn)入具有末端碰撞角度約束的測(cè)量末制導(dǎo)， 實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的精確打擊。 如果無(wú)法獲得穩(wěn)定的目標(biāo)測(cè)量信息， 則基于LQR軌跡跟蹤彈道飛行到遇靶或滿足彈道結(jié)束條件。

1 高超聲速飛行器下滑段模型

本文的研究基于以下假設(shè)：

（1） AHV采用BTT控制， 研究對(duì)象處于下滑段。

（2） AHV發(fā)動(dòng)機(jī)已關(guān)閉， 為無(wú)動(dòng)力下滑的飛行方式。 因而在制導(dǎo)模型中不考慮發(fā)動(dòng)機(jī)推力與變質(zhì)量問(wèn)題。

所設(shè)計(jì)彈道與制導(dǎo)模型相對(duì)幾何關(guān)系如圖1所示。

圖中， O為坐標(biāo)原點(diǎn)， 與目標(biāo)點(diǎn)重合； V為速度； M為飛行器下滑段彈道起始點(diǎn)； θ為視線方位角； 為視線高低角； ψ為航跡偏角； γ為航跡傾角； S-M段為軌跡跟蹤制導(dǎo)段； M-O為末端信息反饋制導(dǎo)段。

基于東北天坐標(biāo)系建立三維空間內(nèi)高超聲速飛行器無(wú)動(dòng)力下滑段運(yùn)動(dòng)方程。 在計(jì)算階段運(yùn)動(dòng)方程中的升力在縱向與側(cè)向的分量和阻力分別表示為加速度形式， 優(yōu)化求解出加速度后， 得出最優(yōu)攻角和傾側(cè)角及阻力。 三自由度運(yùn)動(dòng)方程如下：

X·=x·

y·

z·

V·

γ·

ψ·=

Vcosγsinψ

Vcosγcosψ

Vsinγ

－Dm－gsinγ

－az－gcosγV

ayVcosγ （1）

速度與升力和傾側(cè)角關(guān)系為

az=－Lcosσmay=Lsinσm （2）

升力和阻力表示為

D=12ρV2SCLL=12ρV2SCD （3）

式中： x， y， z為飛行器的三維位置； m為質(zhì)量； V為速度； γ， ψ分別為航跡角和航向角； L， D分別為升力和阻力; 升力系數(shù)與阻力系數(shù)為攻角和馬赫數(shù)的函數(shù)CL（α， Ma）， CD（α， Ma）； ρ為大氣密度； S為飛行器參考面積。

飛行器氣動(dòng)參數(shù)模型如下［8］：

CL（α， Ma）=0.417 2+19.41α+10.17α2－

Ma（0.100 4+0.753 6α）;

CD（α， Ma）=0.304 2+0.029 88C2L（α， Ma）。

2 模型線性化與離散化

2.1 參考軌跡線性化

從高超聲速飛行器的運(yùn)動(dòng)方程可以看出模型為非線性微分方程組， 而凸優(yōu)化問(wèn)題中的等式約束則需要為線性函數(shù)， 因而需要將其進(jìn)行線性化處理。 本文采用逐次線性化的方法： 首先， 給出一條參考軌跡和參考控制序列， 基于泰勒展開， 忽略高階項(xiàng)， 只保留一次項(xiàng)。 其次， 在參考軌跡附近對(duì)模型進(jìn)行線性化處理， 此時(shí)動(dòng)力學(xué)約束可轉(zhuǎn)化為線性約束， 由于是在參考軌跡附近進(jìn)行的線性化處理， 通過(guò)信賴域約束了線性化的誤差范圍， 保證了整體線性化的可靠性。 對(duì)于逐次線性化方法， 若系統(tǒng)方程可以改寫為仿射形式， 可只對(duì)仿射部分進(jìn)行線性化化處理［19］。 最后， 進(jìn)行凸優(yōu)化求解。 將求解完成后的狀態(tài)軌跡和控制序列作為下一次迭代的參考軌跡和參考控制序列， 反復(fù)迭代， 直到臨近迭代控制指標(biāo)滿足誤差二范數(shù)， 則問(wèn)題最終收斂。

系統(tǒng)狀態(tài)方程在參考軌跡附近展開為如下形式：

X·=F（X（k）， U（k）， t）+FX（X（k）， U（k）， t）（X－X（k））+FU（X（k）， U（k）， t）（U－U（k））（4）

式中： X為第k+1次狀態(tài)變量； U為k+1次待求解控制變量； X（k）為第k次迭代的參考狀態(tài)變量； U（k）為第k次迭代的參考控制變量。

令FX為A， FU為B， F（X（k）， U（k）， t）為Fref， （X－X（k））為ΔX， （U－U（k））為ΔU， 改寫式（4）為如下形式：

X·=Fref+AΔX+BΔU（5）

系統(tǒng)對(duì)于狀態(tài)變量及控制變量的雅克比矩陣為

A=FkXk=FkxkFkykFkzkFkVkFkγkFkψk=

000A14A15A16000A24A25A26000A34A350000A44A450000A54A550000A64A650（6）

B=FkUk=000000000－1V（k）001V（k）cosγ（k）（7）

其中：

A14=cosγ（k）sinψ（k）;

A15=－V（k）sinγ（k）sinψ（k）;

A16=V（k）cosγ（k）cosψ（k）;

A24=cosγ（k）cosψ（k）;

A25=－V（k）sinγ（k）cosψ（k）;

A26=－V（k）cosγ（k）sinψ（k）;

A34=sinγ（k）;

A35=V（k）cosγ（k） ;

A44=－ρ（k）SCDV（k）m;

A45=－gcosγ（k）;

A54=az（k）+gcosγ（k）V2（k）; A55=gsinγ（k）V（k）;

A64=－ay（k）V2（k）cosγ（k）;

A65=ay（k）sinγ（k）V（k）cos2γ（k）。

雖然經(jīng)上述離散化過(guò)程將非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為參考軌跡附近的線性系統(tǒng)， 但線性化是建立在參考軌跡附近， 為了保證線性化的效果還需要添加信賴域約束：

X－X（k）≤δX

U－U（k）≤δU（8）

式中： δX， δU為定義的信賴極值。

信賴域的建立約束了狀態(tài)變量與控制變量的尋優(yōu)范圍， 但在逐次線性化過(guò)程中參考軌跡是不斷迭代的， 因而狀態(tài)變量與控制變量最終都能游走達(dá)到最優(yōu)收斂效果。

2.2 歐拉離散化

經(jīng)上述線性化處理后， 需要離散化才能應(yīng)用直接法將其轉(zhuǎn)換為原問(wèn)題離散后的序列凸優(yōu)化問(wèn)題， 獲得離散后的最優(yōu)控制序列。 對(duì)于動(dòng)力學(xué)方程的離散化方法有很多， 例如： 歐拉法、 龍格庫(kù)塔法、 HermiteSimpson配點(diǎn)法、 偽譜法等。 其中配點(diǎn)法與偽譜法一般用于采用直接法求解的非線性最優(yōu)問(wèn)題離散化處理。 本文采用歐拉法進(jìn)行離散化處理， 歐拉離散化忽略了模型的二階以上的高階項(xiàng)， 但這完全滿足實(shí)際應(yīng)用要求。

設(shè)初始時(shí)刻為t0， 終端時(shí)間為tf， 將時(shí)間劃分為N個(gè)等份， 則離散化后的每段時(shí)間步長(zhǎng)為如下形式：

tf－t0N=h（9）

則離散化后第k+1個(gè)狀態(tài)變量可以表示為

Xk+1=Xk+（Fref+AΔX+BΔU）h （10）

3 序列凸優(yōu)化下滑段軌跡規(guī)劃

運(yùn)動(dòng)方程經(jīng)過(guò)離散化與線性化處理后可直接應(yīng)用凸優(yōu)化算法求解。

常見(jiàn)的控制性能指標(biāo)為

min：J=12∑Ni=0UTRU（11）

式中： R為正定權(quán)重矩陣。

此時(shí)控制代價(jià)函數(shù)為整體性能指標(biāo)最小。 通常在制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)中為了保證末端具有較大的機(jī)動(dòng)能力， 要求末端需用過(guò)載較小， 即末端彈道平直。 因此考慮如下性能指標(biāo)函數(shù)：

min：J=12∑Ni=0UT（w·R）U（12）

式中： w為權(quán)重矩陣系數(shù)， w=1N－i。

從權(quán)重矩陣系數(shù)可以看出， 性能指標(biāo)在初始階段較小， 保證了飛行器具有較高的機(jī)動(dòng)裕度， 能夠調(diào)整彈道接近終端角度約束。 隨著剩余時(shí)間的不斷減小， 性能指標(biāo)越來(lái)越大， 加速度限制越來(lái)越大， 彈道愈漸平直， 從而保證了末端實(shí)際跟蹤時(shí)的需要過(guò)載較小。

凸優(yōu)化約束條件為如下形式：

X0=X0

Xk+1=Xk+（Fref+AΔX+BΔU）h

where： ΔX=X－X（k）

ΔU=U－U（k）

X－X（k）≤δX

U－U（k）≤δU

Umin≤U≤Umax （13）

約束終端為

YN=xN， yN， zN， γN， ψNT （14）

式中： N代表第N個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)系統(tǒng)輸出。

由于只考慮了位置約束與角度約束， 故終端約束為

YN=HXN（15）

式中： H為輸出控制矩陣，

H=100000010000001000000010000001。

應(yīng)用式（12）～（15）利用凸優(yōu)化算法可以得出最優(yōu)軌跡與參考控制序列。 但此時(shí)的控制序列為加速度形式， 需要進(jìn)行分解得出需用升力指令， 進(jìn)而得到攻角和傾側(cè)角指令。

由指令加速度與升力及傾側(cè)角的關(guān)系可以得到需用升力：

Ld=ma2z+a2y（16）

傾側(cè)角可以通過(guò)矢量關(guān)系合成：

σ=－arctanayaz（17）

根據(jù)需用升力指令與當(dāng)前升力關(guān)系， 通過(guò)尋優(yōu)得到最優(yōu)攻角指令［14］：

min： J=Ld－L

s.t. L=12ρV2SCL（α， Ma） αmin≤α≤αmax（18）

得到攻角指令后， 還需計(jì)算出實(shí)際的升力與阻力， 代入動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行運(yùn)算。

4 LQR下滑段軌跡跟蹤

由第3節(jié)得出的最優(yōu)軌跡， 結(jié)合所推導(dǎo)的線性化與離散化的系統(tǒng)方程， 可以得出離散化的線性二次最優(yōu)控制方法。 首先定義如下性能指標(biāo)函數(shù)：

J（U）=XTNQXN+∑N-1i=0（XTiQXTi+UTiRUi）（19）

式中： U為控制序列； Q為半正定矩陣； R為正定權(quán)重矩陣。

由最優(yōu)控制理論可以得到連續(xù)狀態(tài)下的最優(yōu)控制反饋為

U=－（R－1BTP） （20）

式中： P為黎卡提方程的解。

Ui=－KiXi（21）

離散形式的最優(yōu)反饋控制律為

Ki=（R+BTPi+1B）－1BTPi+1A（22）

其中， 離散時(shí)間的黎卡提方程的解P可依據(jù)初值PN=Q迭代求解：

Pi－1=Q+ATPiA－ATPiB（R+BTPi+1B）－1BTPiA（23）

5 末端碰撞角度約束最優(yōu)制導(dǎo)律

在測(cè)量末制導(dǎo)階段， 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖2所示， 構(gòu)建具有末端碰撞角度約束的末制導(dǎo)律模型［20］。

三軸彈目相對(duì)位置為

xr=xt－xyr=yt－yzr=zt－z （24）

三軸彈目接近速度為

dxr=－vcosγsinψ

dyr=－vcosγcosψ

dzr=－vsinγ （25）

視線距離與視線接近速度為

r=（xr）2+（yr）2+（zr）2

dr=xr·dxr+yr·dyr+zr·dzrr （26）

視線角速度為

q·z=A1r2（xr）2+（yr）2q·y=B1（xr）2+（yr）2 （27）

式中： A1=dzr·［（xr）2+（yr）2］－zr·（xr·dxr+yr·dyr）; B1=xr·dyr－yr·dxr。

基于剩余時(shí)間估計(jì)的最優(yōu)角度約束制導(dǎo)律為

tgo=r dr

γ·=－12q·z+6tgo（γ－γf）

ψ·=－12q·z+6tgo（ψ－ψf） （28）

制導(dǎo)律指令過(guò)載為

az=Vγ·+gcosγay=－ψ·Vcosγ （29）

在得到指令過(guò)載后， 代入式（16）～（18）即可獲得制導(dǎo)指令攻角和指令傾側(cè)角。

6 算法流程與仿真

算法整體包含軌跡規(guī)劃與軌跡跟蹤兩部分內(nèi)容， 軌跡規(guī)劃使用序列凸優(yōu)化方法， 軌跡跟蹤使用LQR控制。

序列凸優(yōu)化方法需要一條參考軌跡序列。 首先， 采用第5節(jié)帶落角約束的最優(yōu)制導(dǎo)律來(lái)生成一條參考軌跡， 根據(jù)設(shè)定的初始點(diǎn)與終端點(diǎn)的落點(diǎn)及落角約束， 由制導(dǎo)律生成一條參考軌跡。 之后， 根據(jù)參考軌跡計(jì)算參考點(diǎn)位置的雅可比矩陣， 構(gòu)建線性化約束， 引入其他約束條件及目標(biāo)函數(shù)后通過(guò)序列凸優(yōu)化算法得到一條優(yōu)化軌跡。 最后， 重復(fù)進(jìn)行上述步驟， 直到最終的控制序列滿足誤差限。 此時(shí)， 軌跡規(guī)劃部分完成。

軌跡跟蹤則首先依據(jù)序列凸優(yōu)化算法得到的參考軌跡， 選擇臨近點(diǎn)作為跟蹤點(diǎn)， 計(jì)算跟蹤點(diǎn)的線性化及離散化后的雅可比矩陣。 接著， 將參考軌跡點(diǎn)帶入LQR算法計(jì)算黎卡提方程的解， 得到最優(yōu)反饋控制律， 通過(guò)數(shù)值積分方法獲得下一個(gè)點(diǎn)的狀態(tài)。 最后， 重復(fù)上述跟蹤策略， 直到完成整條優(yōu)化軌跡。

算法流程圖如圖2所示。

本文所采用的飛行器基本參數(shù)設(shè)置如下［5］： m=1 600 kg； Sr=0.502 6 m2。

飛行器采用BTT控制， 下滑段優(yōu)化初始條件與約束條件如表1～2所示。 其中， 加速度約束為600 m/s2； 最終控制收斂二范數(shù)為100。

由表1～2可以看出， 飛行器從30 km高度開始進(jìn)入下滑段， 下滑到15 km處結(jié)束下滑段。 從角度約束可以看出， 飛行器分別在縱向平面和側(cè)向平面進(jìn)行了機(jī)動(dòng)飛行。 實(shí)際應(yīng)用中通過(guò)設(shè)置不同的初始條件和終端約束可實(shí)現(xiàn)各種機(jī)動(dòng)彈道軌跡。 序列凸優(yōu)化算法需要給定一條參考軌跡以便于在初始迭代中進(jìn)行線性化動(dòng)力學(xué)約束。

該制導(dǎo)律推導(dǎo)過(guò)程中假定速度為常值， 未引入飛行器氣動(dòng)特性， 而高超聲速飛行器速度變化范圍較大， 受氣動(dòng)特性影響較大， 因而在末端會(huì)出現(xiàn)一些抖動(dòng)， 但這并不影響其作為序列凸優(yōu)化算法的參考軌跡。

6.1 下滑段序列凸優(yōu)化迭代結(jié)果

序列凸優(yōu)化迭代軌跡曲線如圖3所示。 可以看出， 經(jīng)過(guò)了5次序列凸優(yōu)化得到了最優(yōu)軌跡曲線， 而每一次迭代軌跡都是參考軌跡附近的最優(yōu)解， 從而將其帶入下一次優(yōu)化過(guò)程， 直到相鄰軌跡與控制序列滿足收斂約束即獲得最優(yōu)解。 序列凸優(yōu)化迭代輸出控制序列如圖4所示。 可以看出， 每次獲得的迭代結(jié)果在不斷逼近最優(yōu)解。

文獻(xiàn)［20］給出一種末端碰撞角度約束的末制導(dǎo)律， 該制導(dǎo)律在推導(dǎo)過(guò)程中假定末端速度恒定， 這一假設(shè)在戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈設(shè)計(jì)中較為常見(jiàn)。 但高超聲速飛行器下滑段飛行速度較高， 進(jìn)行機(jī)動(dòng)后其速度時(shí)變性較大， 且受到攻角與傾側(cè)角的限制無(wú)法保證過(guò)載的及時(shí)響應(yīng)， 無(wú)法保證其最優(yōu)性能。 進(jìn)入俯沖末制導(dǎo)階段后由于速度變化范圍較小， 機(jī)動(dòng)要求減弱因而可以直接應(yīng)用。 從圖4可以看出， 應(yīng)用序列凸優(yōu)化算法在優(yōu)化過(guò)程中控制輸出逐漸收斂， 而從參考軌跡附近可以看出， 相比文獻(xiàn)［20］給出的末端碰撞角度約束制導(dǎo)律， 采用序列凸優(yōu)化獲得的控制序列在末端具有更好的收斂效果， 保證了飛行器在末端具有更好的機(jī)動(dòng)裕度。 同時(shí)， 采用序列凸優(yōu)化輸出的控制序列， 具有更平穩(wěn)的飛行軌跡， 末端彈道較為平直。

6.2 下滑段LQR軌跡跟蹤結(jié)果

為了驗(yàn)證LQR軌跡跟蹤算法對(duì)于凸優(yōu)化獲得的軌跡跟蹤性能， 在6.1節(jié)得到最優(yōu)軌跡之后采用拉偏初始角度測(cè)試LQR軌跡跟蹤的魯棒性。 將初始航跡角進(jìn)行拉偏處理， 將表1中航跡角ψ拉偏20°， 由-120°變?yōu)?100°。 仿真結(jié)果如圖5所示。

從圖5可以看出， 無(wú)論是在縱向彈道平面還是橫向彈道平面， 采用LQR軌跡跟蹤方式都可以獲得較為理想的跟蹤效果。 在航跡角初始拉偏情況下， 并未影響后期的軌跡跟蹤效果， 只是在彈道軌跡跟蹤初期產(chǎn)生了一定的偏差， 飛行約2 km后就回到了原始優(yōu)化彈道上來(lái)。 但是， 由于LQR跟蹤彈道是基于參考軌跡的最優(yōu)跟蹤軌跡的迭代解， 并不能完全再現(xiàn)參考軌跡， 也不能修正由于導(dǎo)航誤差導(dǎo)致的制導(dǎo)誤差， 故而在獲得有效的測(cè)量信息后， 轉(zhuǎn)入測(cè)量末制導(dǎo)能有效地提高對(duì)目標(biāo)的制導(dǎo)精度。

6.3 具有碰撞角度約束的末制導(dǎo)結(jié)果

末制導(dǎo)段同樣采用文獻(xiàn)［20］提到的碰撞角度約束制導(dǎo)律， 初始狀態(tài)為下滑段結(jié)束狀態(tài)， 不失一般性， 選擇了3組典型參數(shù)進(jìn)行仿真， 目標(biāo)方位與末端碰撞角約束參數(shù)如表3所示。

仿真步長(zhǎng)為0.01 s， 采用四階龍格庫(kù)塔積分， 彈道軌跡如圖6所示。

末制導(dǎo)段采用文獻(xiàn)［20］的最優(yōu)角度約束制導(dǎo)律， 最終脫靶量都控制在了1 m范圍內(nèi)， 且滿足了末端最終碰撞角約束條件。 該制導(dǎo)律無(wú)論是在垂直俯沖模式還是大角度方位角碰撞模式下都能表現(xiàn)出良好的制導(dǎo)效果， 具有較高的魯棒性。

7 結(jié) 論

本文提出一種針對(duì)無(wú)動(dòng)力高超聲速飛行器下滑段軌跡優(yōu)化的序列凸優(yōu)化方法， 采用LQR控制器的軌跡跟蹤制導(dǎo)。 首先建立了高超聲速飛行器三維下滑段模型， 在此基礎(chǔ)上為了應(yīng)用凸優(yōu)化方法求解推導(dǎo)了相關(guān)線性化與離散化模型， 之后介紹了序列凸優(yōu)化算法的軌跡規(guī)劃模型以及LQR跟蹤制導(dǎo)方法， 最后在末制導(dǎo)段應(yīng)用了三維碰撞角約束的末制導(dǎo)律實(shí)現(xiàn)了測(cè)量反饋精確末制導(dǎo)。

通過(guò)實(shí)際仿真分析得到以下結(jié)論： （1）針對(duì)靜止目標(biāo)或低速移動(dòng)目標(biāo)， 采用本文所提出的序列凸優(yōu)化方法能夠獲得高超聲速飛行器下滑段最優(yōu)角度約束的機(jī)動(dòng)彈道。 相比傳統(tǒng)基于速度恒定假設(shè)、 未考慮過(guò)程約束的最優(yōu)反饋制導(dǎo)方法， 加速度收斂效果較好， 通過(guò)設(shè)置不同約束條件可規(guī)劃不同機(jī)動(dòng)彈道， 在線跟蹤時(shí)僅需自身慣導(dǎo)設(shè)備信息。 （2）采用線性化的三維模型及LQR軌跡跟蹤器， 可以對(duì)優(yōu)化后的彈道取得較為穩(wěn)定和理想的軌跡跟蹤效果。 （3）采用雙階段制導(dǎo)策略， 下滑段使用規(guī)劃-跟蹤彈道提高機(jī)動(dòng)突防能力， 俯沖段使用目標(biāo)測(cè)量末制導(dǎo)， 獲得更好的制導(dǎo)精度。 從而提高超聲速飛行器在戰(zhàn)場(chǎng)條件下的生存能力， 以及復(fù)雜電磁情況下的抗干擾性能。

參考文獻(xiàn)：

［1］ Ding Y B， Yue X K， Chen G S， et al. Review of Control and Gui-dance Technology on Hypersonic Vehicle［J］. Chinese Journal of Aeronautics， 2022， 35（7）： 1-18.

［2］ 劉星. 高超聲速巡航飛行器軌跡優(yōu)化與制導(dǎo)方法研究［D］. 武漢： 華中科技大學(xué)， 2017.

Liu Xing. Research on Trajectory Optimization and Guidance for Hypersonic Cruise Vehicles［D］.Wuhan： Huazhong University of Science and Technology， 2017. （in Chinese）

［3］ 趙吉松， 李暢， 王晨曦， 等. 吸氣式高超聲速飛行器助推-巡航軌跡優(yōu)化［J］. 宇航學(xué)報(bào)， 2021， 42（7）： 820-829.

Zhao Jisong， Li Chang， Wang Chenxi， et al. Boost-Cruise Trajectory Optimization of Air Breathing Hypersonic Vehicles［J］. Journal of Astronautics， 2021， 42（7）： 820-829.（in Chinese）

［4］ Lu P， Doman D B， Schierman J D. Adaptive Terminal Guidance for Hypervelocity Impact in Specified Direction［J］. Journal of Guidance， Control， and Dynamics， 2006， 29（2）： 269-278.

［5］ Wang J W， Zhang R. Terminal Guidance for a Hypersonic Vehicle with Impact Time Control［J］. Journal of Guidance， Control， and Dynamics， 2018， 41（8）： 1790-1798.

［6］ Li Z T， Zhang H B. Terminal Guidance with Attack Time and Impact Angle Constraints for Hypersonic Vehicle in Dive Phase［J］. International Journal of Aerospace Engineering， 2018， 2018（3）： 9237109.

［7］ 何磊， 閆曉東， 唐碩. 螺旋俯沖機(jī)動(dòng)突防的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)［J］. 航空學(xué)報(bào)， 2019， 40（5）： 322457.

He Lei， Yan Xiaodong， Tang Shuo. Guidance Law Design for Spiral-Diving Maneuver Penetration［J］. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica， 2019， 40（5）： 322457.（in Chinese）

［8］ Yan T， Cai Y L， Xu B. Evasion Guidance Algorithms for Air-Breathing Hypersonic Vehicles in Three-Player Pursuit-Evasion Games［J］. Chinese Journal of Aeronautics， 2020， 33（12）： 3423-3436.

［9］ Shen Z P， Yu J L， Dong X W， et al. Penetration Trajectory Optimization for the Hypersonic Gliding Vehicle Encountering Two Interceptors［J］. Aerospace Science and Technology， 2022， 121： 107363.

［10］ Yu X J， Luo S B， Liu H Q. Integrated Design of Multi-Constrained Snake Maneuver Surge Guidance Control for Hypersonic Vehicles in the Dive Segment［J］. Aerospace， 2023， 10（9）： 765.

［11］ Liu X F， Lu P， Pan B F. Survey of Convex Optimization for Aerospace Applications［J］. Astrodynamics， 2017， 1（1）： 23-40.

［12］ Akme瘙塂e B， Ploen S R. Convex Programming Approach to Powered Descent Guidance for Mars Landing［J］. Journal of Gui-dance， Control， and Dynamics， 2007， 30（5）： 1353-1366.

［13］ Akme瘙塂e B， Carson J M， Blackmore L. Lossless Convexification of Nonconvex Control Bound and Pointing Constraints of the Soft Landing Optimal Control Problem［J］. IEEE Transactions on Control Systems Technology， 2013， 21（6）： 2104-2113.

［14］ Oumer A M， Kim D K. Real-Time Fuel Optimization and Gui-dance for Spacecraft Rendezvous and Docking［J］. Aerospace， 2022， 9（5）： 276.

［15］ Kunhippurayil S A. Exact and Approximate Relaxation Techniques for Computational Guidance［D］. Logan： Utah State University， 2021.

［16］ 雷震爍， 劉松濤， 溫鎮(zhèn)銘， 等. 復(fù)雜電磁環(huán)境下末制導(dǎo)雷達(dá)工作狀態(tài)實(shí)時(shí)判別方法［J］. 兵工學(xué)報(bào)， 2021， 42（1）： 83-90.

Lei Zhenshuo， Liu Songtao， Wen Zhenming， et al. A Real-Time Discrimination Method for Operating State of Terminal Guidance Radar in Complex Electromagnetic Environment［J］. Acta Armamentarii， 2021， 42（1）： 83-90.（in Chinese）

［17］ 權(quán)申明， 晁濤， 張登輝， 等. 考慮側(cè)窗約束的模型預(yù)測(cè)靜態(tài)規(guī)劃末制導(dǎo)方法［J］. 宇航學(xué)報(bào)， 2022， 43（10）： 1322-1332.

Quan Shenming， Chao Tao， Zhang Denghui， et al. Model Predictive Static Programming Terminal Guidance Method Considering Side-Window Constraints［J］. Journal of Astronautics， 2022， 43（10）： 1322-1332.（in Chinese）

［18］ 包為民， 朱建文， 張洪波， 等. 高超聲速飛行器全程制導(dǎo)方法［M］. 北京： 科學(xué)出版社， 2021.

Bao Weimin， Zhu Jianwen， Zhang Hongbo， et al. Full-Course Guidance Method for Hypersonic Vehicle［M］. Beijing： Science Press， 2021.（in Chinese）

［19］ 李炯， 張錦林， 邵雷， 等. 基于序列凸規(guī)劃的攔截彈中制導(dǎo)軌跡優(yōu)化［J］. 航空兵器， 2023， 30（1）： 37-43.

Li Jiong， Zhang Jinlin， Shao Lei， et al. Midcourse Guidance Tra-jectory Optimization of Interceptor Missile Based on Sequential Convex Programming［J］. Aero Weaponry， 2023， 30（1）： 37-43.（in Chinese）

［20］ 張友安， 黃詰， 劉京茂， 等. 一種實(shí)用的三維多約束末制導(dǎo)律與仿真分析［J］. 戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈技術(shù)， 2019（6）： 91-98.

Zhang You’an， Huang Jie， Liu Jingmao， et al. A Practical Three-Dimensional Multi-Constraints Terminal Guidance Law and Simulation Analysis［J］. Tactical Missile Technology， 2019（6）： 91-98.（in Chinese）

Trajectory Convex Optimization and Tracking

Guidance for Hypersonic Vehicle

Wang Jirui， Xia Fengling*

（Faculty of Civil Aviation and Aeronautics， Kunming University of Science and Technology， Kunming 650500， China）

Abstract： In order to improve the penetration and survival performance of hypersonic vehicles in the unpowered glide section under incomplete guidance and detection information or interference of detection equipment， this paper establishes a dynamic model of hypersonic vehicles in the glide section. The trajectory is optimized using sequential convex optimization method， which has better control energy consumption while satisfying terminal constraints， as well as ensuring terminal acceleration convergence and good computational performance. The trajectory tracking part adopts a linear LQR controller design to stably track and plan the trajectory. Compared with the traditional optimal control gui-dance law with angle constraints， the sliding phase adopts a trajectory planning-trajectory tracking method without the need for line of sight angle information. The relative angle information of the target can be introduced after the sliding phase ends， which has stronger survival performance in complex electromagnetic situations

Key words： hypersonic vehicle; downward section; sequential convex optimization; LQR controller; terminal guidance