“趙爽弦圖”應用再探究

趙爽弦圖作為中國古代數學的重要貢獻，其不僅直觀地證明了勾股定理，還為后世的數學研究提供了豐富的啟示.現對趙爽弦圖在初中數學中的應用進行探究，旨在讓同學們開闊眼界、提升能力.

探究1：對弦圖引申

例1 數學實驗室：制作4張全等的直角三角形紙片（如圖1），把這4張紙片拼成以弦長[c]為邊長的正方形構成“弦圖”（如圖2），古代數學家利用“弦圖”驗證了勾股定理．

探索研究：

（1）小明將“弦圖”中的2個三角形進行了旋轉，得到圖3，請利用圖3證明勾股定理.

數學思考：

（2）小芳認為用其他方法改變“弦圖”中某些三角形的位置，也可以證明勾股定理. 請你想一種方法支持她的觀點（先補全圖形，再予以證明）．

分析：（1）利用圖形面積的兩種計算方法，即可得出結果；

（2）利用大正方形面積的兩種計算方法，即可得出結果．

解：（1）如圖4所示.

[∵]圖形的面積可表示為[a2+b2+2×12ab=a2+b2+ab]，

也可表示為[c2+2×12ab=c2+ab]，

[∴a2+b2+ab=c2+ab]，

[∴a2+b2=c2].

即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．

（2）如圖5所示，

[∵]大正方形的面積可表示為[（a+b）2]，

也可表示為[c2+4×12ab]，

[∴（a+b）2=c2+4×12ab]，[∴][a2+b2+2ab=c2+2ab]，

[∴a2+b2=c2].

即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．

點評：“趙爽弦圖”是一種驗證勾股定理的圖形.本題通過對弦圖的拓展，考查同學們對圖形的直觀感知. 正確利用兩種不同的方法計算同一圖形的面積是解題的關鍵.

探究2：對弦圖變式

例2 如圖6是由弦圖變化得到的，它由8個全等的直角三角形拼接而成.記圖中正方形[ABCD]、正方形[EFGH]、正方形[MNKT]的面積分別為[S1]，[S2]，[S3]，若[S1+S2+S3=10]，求[S2]的值．

分析：設每個直角三角形的面積為[S]，根據圖形的特征得出[S1-S2=4S]，[S2-S3=4S]，兩者相減得到[S1+S3=2S2]，再代入[S1+S2+S3=10]即可求解．

解：設每個直角三角形的面積為[S]，

則[S1-S2=4S] ①，[S2-S3=4S]②，由① - ②得[S1+S3=2S2].

∵[S1+S2+S3=10]，

∴[2S2+S2=10]，∴[S2=103]．

點評：解題的關鍵是“數形結合”，正確聯立關系式，并進行適當變形便可解題.

探索3：對弦圖遷移

例3 用三張含[60°]的全等三角形紙片，能否拼成一個特殊圖形呢？

帶著這個疑問，小麗拼出如圖7的等邊三角形，你能否仿照勾股定理的驗證，發現含[60°]角的三角形三邊[a]，[b]，[c]之間的關系？寫出此等量關系式及其推導過程．（知識補充：如圖8，含[60°]的直角三角形中，對邊[y]∶斜邊[x=]定值[k]．）

分析：根據大正三角形面積[=] 3個全等三角形面積[+]小正三角形面積，構建關系式即可．

解：結論為[a2+b2-ab=c2]．

由題意，得大正三角形面積 [=] 3個全等三角形面積[+]小正三角形面積，

[∴][12（a+b）×k（a+b）=3×12×b×ka+12×c×ck]，

[∴（a+b）2=3ab+c2]，

[∴a2+b2-ab=c2]．

點評：本題將弦圖遷移到等邊三角形進行考查，需要同學們將正方形弦圖中利用面積法證明的經驗遷移到等邊三角形進行研究.

綜上，趙爽弦圖不僅展示了中國古代數學的智慧和成就，同時也為后世的數學研究提供了寶貴的資料和啟示.希望同學們刻苦學習、努力探索，讓更多的人了解和欣賞這一中國古代數學的瑰寶.

（作者單位：江蘇省興化市安豐鎮初級中學）