數(shù)列極限各類解法探究

摘要：數(shù)列極限在分析和研究數(shù)學(xué)問題方面有著重要的作用。本文針對數(shù)列極限的求法介紹了若干種方法，列舉了利用數(shù)列極限定義、迫斂性等幾種求數(shù)列極限的最常見的方法。根據(jù)數(shù)列極限與函數(shù)極限、級數(shù)、積分之間的聯(lián)系說明了幾種數(shù)列極限的求法。最后介紹了兩種特殊的方法，即利用Stolz定理、Abel變換求數(shù)列的極限。

關(guān)鍵詞：數(shù)列極限；單調(diào)有界定理；柯西收斂準(zhǔn)則；Stolz定理；Abel變換

中圖分類號：O13

極限的思想是高等數(shù)學(xué)中的基本思想，它是用極限的概念來分析問題和解決問題的思想。高等數(shù)學(xué)中很多重要的概念都是用極限來定義的，如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)和定積分等，并且在一些實(shí)際問題中極限也有重要作用。追溯到古代，數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”就蘊(yùn)含了豐富的極限思想。利用極限思想解決問題的基本思路是：對于問題提出的未知量，先用初等數(shù)學(xué)的方法，求出未知量的近似值，再通過“無限接近”的手段推導(dǎo)出精確值。這個(gè)“無限接近”的過程就是極限的思想。

1數(shù)列極限的定義

定義［1］（ε－N定義）：設(shè)an為數(shù)列，a為定數(shù)，若對任給的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時(shí)有an－a＜ε，則稱數(shù)列an收斂于a，定數(shù)a稱為數(shù)列an的極限，并記作limn→∞an=a或an→a（n→∞）。

關(guān)于數(shù)列極限定義的幾點(diǎn)說明。

（1）ε具有任意性與確定性，即ε是任意的正數(shù)，但一旦給出，就暫時(shí)被確定下來，從而依靠它求出N。

（2）N具有相對性，即N的取值與ε有關(guān)，N一般隨ε的變小而變大，由此常把N寫作N（ε）來強(qiáng)調(diào)N是依賴于ε，但N不是由ε所唯一確定的。

2求數(shù)列極限的一般方法

2.1利用數(shù)列極限的定義求極限

在利用定義（即ε－N方法）證明數(shù)列an有極限時(shí)，通常有一條主線，它是應(yīng)用初等數(shù)學(xué)的技巧將an－a不斷適當(dāng)放大，直到能從中解出自然數(shù)N。

例1：設(shè)xn＞0，n∈N，limn→∞nxn=a＜1，證明limn→∞xn=0。

證明：因limn→∞nxn=a＜1令ε0=1－a2＞0，則存在N0∈N，使得當(dāng)n＞N0時(shí)，有nxn－a＜1－a2，所以0＜nxn＜1+a2，則0＜xn＜1+a2n，記1+a2=q（0＜q＜1）。因limn→∞qn=0，故對任意ε＞0，存在N1＞N，當(dāng)n＞N1時(shí)，有0＜qn＜ε，取N=max（N0，N1），則當(dāng)n＞N時(shí)，有xn＜qn＜ε，即limn→∞xn=0。

2.2利用極限的四則運(yùn)算法則求極限

極限的四則運(yùn)算法則，只適用于有限項(xiàng)，而對于無限項(xiàng)則不能直接套用。如下例：

例2：求limn→∞12+22+…+n2n3

解：limn→∞12+22+…+n2n3=limn→∞16n（n+1）（2n+1）n3

=limn→∞161+1n2+1n=13

注：若用四則運(yùn)算法則，求得：

limn→∞12+22+…+n2n3=limn→∞12n3+22n3+…n2n3=0

結(jié)果錯(cuò)誤。

2.3利用迫斂性定理求極限

利用迫斂性定理求數(shù)列cn的極限，關(guān)鍵在于能找到兩個(gè)極限相同的數(shù)列an，bn，（記limn→∞an=limn→∞bn=a），使anbncn，那么limn→∞cn=c。

例3：求limn→∞12·34…2n－12n

解：∵1234…2n－12n2=12·12·34·34…2n－12n·2n－12n≤12·23·34·45…2n－12n·2n2n+1=12n+1

∴0≤12·34…2n－12n≤12n+1，而limn→∞12n+1=0

故由迫斂性定理得limn→∞12·34…2n－12n=0

2.4利用柯西（Cauchy）收斂準(zhǔn)則求極限

定理：數(shù)列an收斂的充要條件是：對任給ε＞０，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n，m＞N時(shí)，有an－am＜ε。

例4：設(shè)an=1+122+132+…+1n2，證明an收斂。

證明：對任意ε＞０，取N=［1ε］+1，當(dāng)n＞N時(shí)，對任意p∈N+有an+p－an=1（n+1）2+1（n+2）2+…+1（n+p）2＜1n（n+1）+1（n+1）（n+2）+…+1（n+p－1）（n+p）=1n－1n+p＜1n＜ε

所以an收斂。

2.5利用柯西第一定理求極限

定理：若limn→∞an=a，則limn→∞a1+a2+…ann=a

例5：求極限limn→∞1+2+33+…n3n

解：對數(shù)列nn。因?yàn)閘imn→∞（nn）=1

所以由柯西第一定理，有l(wèi)imn→∞1+2+33+…n3n=1。

2.6利用重要極限limn→∞（1+1n）n=e求極限

例6：求limn→∞1+1n+1n

解：limn→∞1+1n+1n

=limn→∞1+1n+1n+1·11+1n+1

3求數(shù)列極限的常用方法

3.1利用歸結(jié)原則求極限

歸結(jié)原則也就是利用數(shù)列極限與函數(shù)極限之間的關(guān)系，求出函數(shù)極限，從而得到數(shù)列極限的值。

例7：求limn→∞1+1n－1n2n

解：1+1n－1n2n＜（1+1n）n→e

（n→∞）

另一方面，當(dāng)n＞1時(shí)，有：

1+1n－1n2n=1+n－1n2n2n－1－nn－11+n－1n2n2n－1－2

取xn=n2n－1，n=2，3…，當(dāng)n→∞時(shí)，xn→∞，由歸結(jié)原則limn→∞1+n－1n2n2n－1－2=limn→∞1+n－1n2n2n－1=limn→∞1+1xx=e。

于是，由數(shù)列極限的迫斂性定理得，limn→∞1+1n－1n2n=e。

3.2利用冪級數(shù)展開式求極限

利用一些常見的基本初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式來求數(shù)列極限。

例8：求limn→∞1+2+22！+…+2n2！

解：因?yàn)閑x=1+x+x22！+…+xnn！+…，x∈（－∞，+∞），所以：

limn→∞1+x+x22！+…+xnn！=ex

令x=2，則limn→∞1+2+22！+…+2n2！=e2。

3.3利用定積分的定義求和式的極限

此方法是將數(shù)列極限化成Riemann積分的定義形式，然后求出積分值即為所求的極限，即：

limn→∞∑ni=1f（ζi）b－an=∫baf（x）dx

例9：求limn→∞1n4（1+23+…+n3）

解：f（x）=x3在［0，1］上可積。將［0，1］n等分，即xi=in，Δxi=1n（i=1，2，…n），取ζi=in（i=1，2，…n），λ=max0inΔxi=1n。則limn→∞1n4（1+23+…+n3）=limn→∞1n4∑ni=1i3=limn→∞∑ni=1in3·1n=limλ→∞∑ni=1f（ζi）Δxi=∫10x3dx=14x410=14。

3.4利用級數(shù)收斂的必要條件求極限

定理：若級數(shù)∑∞n=1un=u1+u2+…+un+…收斂，則limn→∞un=0。

例10：求limn→∞cnn！（c＞0）

解：考慮級數(shù)∑∞n=1cnn！，由比值法limn→∞cn+1（n+1）！cnn！=limn→∞cn+1=0，故級數(shù)∑∞n=1cnn！收斂，則由級數(shù)收斂的必要條件知limn→∞cnn！=0。

3.5利用積分中值定理求極限

例11：求limn→∞∫n+pnsinxxdx

（p＞0）

解：由積分中值定理，存在ξ∈（n，n+p），使∫n+pnsinxxdx=sinξξ（n+p－n）=psinξξ。因?yàn)棣巍剩╪，n+p），故當(dāng)n→∞時(shí)，ξ→∞，所以limn→∞∫n+pnsinxxdx=limn→∞p.sinξξ=plimξ→∞sinξξ=0。

4求數(shù)列極限的特殊方法

4.1利用stolz定理［2］求極限

定理1：00型設(shè)數(shù)列yn嚴(yán)格遞減且limn→∞xn=limn→∞yn=0，則當(dāng)limn→∞xn－xn+1yn－yn+1存在（有限常數(shù)或±∞）時(shí)，limn→∞xnyn也存在，且limn→∞xnyn=limn→∞xn－xn+1yn－yn+1。

定理2：∞∞型設(shè)數(shù)列yn嚴(yán)格遞增且limn→∞yn=+∞，則當(dāng)limn→∞xn+1－xnyn+1－yn存在（有限常數(shù)或±∞）時(shí)，limn→∞xnyn也存在，且limn→∞xnyn=limn→∞xn+1－xnyn+1－yn。

注：事實(shí)上定理1和定理2是等價(jià)的。在定理1中若{yn}嚴(yán)格遞減且limn→∞yn=0，則1yn嚴(yán)格遞增，且limn→∞1yn=+∞，這樣就可以根據(jù)定理2來求數(shù)列極限。

例12：求limn→∞1+2+…+nnn

解：可令xn=1+2+…+n，yn=nn，n∈N，則yn嚴(yán)格遞增，且limn→∞yn=+∞，則由stolz定理：

limn→∞1+2+…+nnn=limn→∞xnyn

=limn→∞xn+1－xnyn+1－yn

=limn→∞n+1（n+1）n+1－nn

=limn→∞n+1（n+1）n+1+nn（n+1）3－n3

=limn→∞（n+1）2+nn（n+1）3n2+3n+1

=23

4.2利用Abel變換求數(shù)列極限

Abel變換：設(shè)an和bn為兩個(gè)數(shù)列，且Bk=b1+b2+…+bk，則∑nk=1akbk=anBn－∑n－1k=1（ak+1－ak）Bk。

例13：若∑∞n=1bn收斂，求limn→∞1n∑nk=1kbk

解：設(shè)Bk=b1+b2+…+bk

∑nk=1bk=nBn－∑n－1k=1［（k+1）－k］Bk=nBn－∑n－1k=1Bk。由Abel變換得：

∑nk=1bk=nBn－∑n－1k=1［（k+1）－k］Bk=nBn－∑n－1k=1Bk

所以：

1n∑nk=1kbk=Bn－∑n－1k=1Bkn

=Bn－B1+B2+…+Bn－1n

=Bn－B1+B2+…+Bn－1n－1·n－1n

由∑∞n=1bn收斂知limx→∞Bn存在，記limn→∞Bn=B。

又limn→∞a1+a2+…+ann=limn→∞an，所以：

limn→∞1n∑nk=1kbk=limn→∞Bn－B1+B2+…+Bn－1n－1·n－1n

=limn→∞Bn－limn→∞B1+B2+…Bn－1n－1·limn→∞n－1n

=B－limn→∞Bn－1

=B－B

=0

結(jié)語

數(shù)列的極限是整個(gè)大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，由它可以引出一系列數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)問題。所以人們對數(shù)列極限的求法有著比較多的研究，但筆者認(rèn)為很少有文章給出全面的敘述，都只是在一個(gè)或幾個(gè)方面來概括，本文旨在將一些常用和特殊方法進(jìn)行歸納和小結(jié)。

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基金項(xiàng)目：2023年度安徽省高等學(xué)校科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目“基于深度強(qiáng)化學(xué)習(xí)的藥田作物與雜草形態(tài)目標(biāo)感知與識別研究”（2023AH053427）

作者簡介：朱曄（1986—），女，漢族，安徽懷寧人，碩士，講師，研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)。