動量定理在流體模型中的應用

動量定理是高中物理中的重要知識，不僅可以處理恒力問題，也可處理變力問題，還可以處理流體問題，本文談動量定理在流體模型中的應用．

１ 流體運動模型

對于運動流體，可沿流速v 的方向選取一段柱形流體，設在極短的時間Δt 內通過某一橫截面S 的流體柱的長度為Δl，如圖１所示．設流體的密度為ρ，在Δt時間內流過該截面的流體質量Δm ＝ρSΔl＝ρSvΔt，根據動量定理知，流體微元所受的合外力的沖量等于該微元動量的增量，即FΔt＝ΔmΔv．

流體作用過程分兩種情況：１）吸收模型，作用后流體元停止，有Δv＝－v，代入上式有F ＝－ρSv２;２）反射模型，作用后流體元以速率v 反彈，有Δv＝－２v，代入上式有F＝－２ρSv２．

２ 動量定理在流體模型中的應用

２.１ 解決氣體類流動問題

通常氣體流等被廣義地視為“流體”，質量具有連續性，設密度為ρ，解題思路如下：

１）建立“柱狀模型”，沿流速v 的方向選取一段柱形流體，其橫截面積為S．

２）微元研究，在極短的作用時間Δt 內的一段柱形流體的長度為Δl，對應的質量為Δm ＝ρSvΔt．

３）建立方程，應用動量定理研究這段柱狀氣流．

例１ 臺風對沿海地區的破壞力非常巨大，１２級臺風登陸時中心附近最大風力約為３５m·s－１．已知小明站立時，在垂直于風速方向的受力面積約為０.５m２，空氣的密度約為１.２９kg·m－３．假設空氣吹到人身體上后速度減為零，則小明站在１２級臺風中心附近，所受的風力大小約為（ ）．

A．７９０N B．７９N

C．２３０N D．２３N

解析 單位時間Δt 吹到人身體上的空氣質量m ＝ρV＝ρSvΔt，根據動量定理有－FΔt＝０－mv，所以小明所受的風力大小約為F ＝ρSv２ ＝１.２９×０.５×３５２ N≈７９０N，故選A．

點評 本題用微元法，利用動量定理求風力的大小，考查了動量定理的應用，體現了學科素養中的模型建構能力．

２．２ 解決微粒類流動問題

通常電子流、光子流、塵埃等被廣義地視為“微粒”，質量具有獨立性，通常給出單位體積內粒子數n，解題思路如下：

１）建立“柱狀”模型，沿運動的方向選取一段微元，柱體的橫截面積為S．

２）微元研究，極短作用時間Δt 內一段柱形流體的長度為Δl＝v０Δt，對應的體積為ΔV＝Sv０Δt，則微元內的粒子數N ＝nv０SΔt （n 為單位體積內的粒子數）

３）先應用動量定理研究單個粒子，建立方程，再乘以N 研究整體．

例２ 一宇宙飛船的橫截面積為S，以v０ 的恒定速率航行，當進入有宇宙塵埃的區域時，設在該區域單位體積內有n 顆塵埃，每顆塵埃的質量為m ，若塵埃碰到飛船前是靜止的，且碰到飛船后就粘在飛船上，不計其他阻力，為保持飛船勻速航行，飛船發動機的牽引力功率為（ ）．

A．Snmv２０ B．２Snmv２０

C．Snmv３０ D．２Snmv３０

解析 時間Δt 內粘在飛船上的塵埃質量為M ＝v０ΔtSnm ，對粘在飛船上的塵埃，由動量定理得FΔt＝Mv０－０，解得飛船對這些塵埃的作用力為F＝nmv２０S;根據牛頓第三定律及平衡條件，可知為保持飛船勻速航行，飛船發動機的牽引力F′＝F，牽引力的功率為P ＝F′v０＝nmv３０S，故選項C正確，A、B、D錯誤．

點評 本題考查了微粒類流體問題，利用微元法求得作用力，進一步求得發動機的牽引力功率．建構起正確的物理模型是解題的關鍵．

例３ 如圖２所示為放在水平桌面上的沙漏計時器，從里面的沙子全部在上部容器里開始計時，沙子均勻地自由下落，到沙子全部落到下部容器里時計時結束，不計空氣阻力和沙子間的影響．對計時過程取兩個時刻：時刻１，下部容器底部沒有沙子，部分沙子正在做自由落體運動;時刻２，上、下容器內都有沙子，部分沙子正在做自由落體運動．下列說法正確的是（ ）．

A．時刻１，桌面對沙漏的支持力大小等于沙漏的總重力大小

B．時刻１，桌面對沙漏的支持力大小大于沙漏的總重力大小

C．時刻２，桌面對沙漏的支持力大小等于沙漏的總重力大小

D．時刻２，桌面對沙漏的支持力大小小于沙漏的總重力大小

解析 時刻１，下部容器內沒有沙子，部分沙子正在做自由落體運動，對整體分析，有一部分沙子有向下的加速度，則總重力大于支持力，合力向下，故A、B錯誤;對時刻２，部分沙子做自由落體運動，設沙漏的總質量為m ，空中正在下落的沙子質量為m１，沙漏中部細孔到底部靜止沙子表面的高度為h，因細孔處速度很小，可視為零，故下落的沙子沖擊底部靜止沙子表面的速度v＝根號下２gh ，沙子下落的時間為t，有v＝gt，解得t＝根號下２h／g ．設下落的沙子對底部靜止沙子的沖擊力為F１，在極短時間Δt 內，撞擊在底部靜止沙子表面的沙子質量為Δm ，由動量定理有F１Δt＝Δmv＝Δm根號下２gh ，解得F１＝ΔmΔt根號下２gh ．空中的沙子質量為m１，有m１t ＝Δm／Δt ，解得m１＝ΔmΔtt＝ΔmΔt根號下 ２h／g ，則F１＝m１g，對沙漏受力分析，可知桌面對沙漏的支持力FN＝（m －m１）g＋F１＝mg，故C正確，D錯誤．

點評 當下部容器底部沒有沙子時，只有失重現象，桌面對沙漏的支持力大小小于沙漏的總重力大小;當上、下容器內都有沙子，空中沙子處于失重狀態，導致桌面對沙漏的支持力減小，落到容器底部的沙子由于受沖擊力作用，致使桌面對沙漏的支持力增大，兩種作用力的效果相抵，定量分析得到桌面對沙漏的支持力大小等于沙漏的總重力大小．

２．３ 解決液體類流動問題

對于液體類流動問題，基本的解題思路與前兩種情況的解題思路相同．

例４ 國產水刀———超高壓數控萬能水切割機，以其神奇的切割性能引起轟動．它能切割４０mm 厚的鋼板、５０mm 厚的大理石及其他材料．水刀就是將普通的水加壓，使其從口徑為０.２ mm 的噴嘴中以４００～１０００m·s－１的速度射出的水射流．我們知道，任何材料承受的壓強都有一定的限度，表１列出了幾種材料所能承受的壓強限度．

設想有一水刀的水射流橫截面積為S，垂直入射的速度為４００m·s－１，水射流與材料接觸后以原速率反彈，水的密度ρ＝１×１０３ kg··m－３，則此水刀不能切割的上述材料是（ ）．

A．鑄鐵和工具鋼 B．花崗巖和工具鋼

C．花崗巖、鑄鐵和工具鋼D．都不能切割

解析 以射到材料上的質量為Δm 的水為研究對象，取極短的時間Δt，則Δm ＝ρSvΔt．設水對材料表面的壓強為p，則材料對水的壓強p′＝p，取水反彈的方向為正方向，根據動量定理有pSΔt＝Δmv－Δm （－v），解得p ＝２ρv２，解得p ＝３.２×１０８Pa，故水刀不能切割的表中材料是鑄鐵和工具鋼，選項A 正確．

點評 本題屬于反彈模型，抓住流體的特點，建立柱體模型，化無形為有形，本題即可迎刃而解．

本題的研究對象為“變質量”的“連續”流體．處理這類問題時，一般要假設一段極短時間Δt 內的流體，其長度為vΔt，流體橫截面積為S，得流體體積V＝SvΔt，故流體質量為Δm ＝ρV ＝ρSvΔt，再對質量為Δm 的流體應用動量定理求解．

（完）