解題后仍需反思

數學知識的學習和能力的培養很多都是通過解題過程來體現的。解題是教學過程中的重要一環，通過解題可以讓學生鞏固基礎知識，掌握數學思想和方法。但一些同學為完成老師布置的任務，在題海里做題，只顧找題目做，而不去針對每一個題目探究解題規律，重視解題的反思。解題后的反思是培養數學解題能力的一個重要環節，反思能幫助我們總結經驗，發現規律，形成技能和技巧，還能觸類旁通，達到“事半功倍”的效果。

一思“漏點”

由于在解題的過程中，可能會出現這樣或那樣的錯誤，因此，解題后，很有必要進行審查自己的解題過程是否混淆了概念，是否忽視了隱含條件，是否特殊代替一般，是否忽視特例，邏輯上是否有問題，運算是否正確，題目本身是否有誤等，如有就要糾正，并防止以后再犯同類錯誤。

例1.若關于 的方程 有實數根，求 的取值范圍。

誤解：

解：

∴ 的取值范圍是 ，且 .

反思： 的取值范圍真是 ，且 嗎？上述的解題完全正確了嗎？經反思可知，上面題目中是沒有指出這是一個一元二次方程，也就是說它可以是一元二次方程也可以是一元一次方程。在誤解中只考慮它是一元二次方程的情況，所以要考慮當它是一元一次方程時的情況。因此，在解題過程中要分兩種情況考慮：

正確解法：

解：（1）當方程是一元一次方程，則

（2）當方程是一元二次方程且有實數根，則有

∴綜合（1）、（2），當 時，原方程有實數根。

二思“方法”

解完一道題目后，不妨深思一下解題程序，有時會突然發現：這種解決問題的思維模式竟然體現了一訓重要的數學思想方法，它對于我們解決一類問題大有幫助。因此，解題后需要想一想解題方法，歸納一下解題技dazvV9IlRFA5gIdPAwpSs614tj0byI7ABYdl5oOazTs=巧，有利于完全掌握一類題目的解題思路與方法，提高舉一反三的能力。

例2.如下圖，已知 ，且 ， ，求 的度數。

解：如圖，過點 作 ，則

∵

∴

∴

∴

答： 的度數為 。

反思：本題解法的巧妙之處就在過 作 的平行，將所求的角 分為兩個角，然后就可以用平行線的有關知識來解決了。除以上這種方法之外，還有沒有第二種方法呢？顯然，這種方法之外，還可以通過延長 （或 ）交 （或 ）于點 ，利用平行線的性質與三角形的外角性質進行解題，根據這種思路可得如下解法：

解：如圖，延長 交 于點

∵

∴

∵

∴

以上兩種思路是解這種類型的題目的一種重要的思想方法。下面的題目也可用這種方法解決。

如下圖，已知 ，求證： 。

證明：如圖所示，過點 作 ，則

∵

∴

∴

∴

∴

∴

三思“多解”

對于同一道題，從不同的角度去分析研究，可能會得到不同的啟示，從而引出多種不同的解法，通過不同的觀察側面，可以使學生的思維觸角伸向不同的方向，不同層次，發展學生的發散思維能力。因此，解題后還需思考這道題目還有沒有其它的解題方法，養成這種思維習慣，有利于拓展思維空間，得到到靈活多變的解題方法。

例3.如圖，已知△ABC內接于⊙O，AE為⊙O的直徑，AD為△ABC的高。

求證：∠BAE=∠CAD

證法一：如圖，連結BE，

∵AE是⊙O的直徑

∴∠ABE=∠ADC=90°

又∵∠AEB=∠ACB

∴∠BAE=∠CAD

證法二：如圖，連結EC

∵AE是⊙O的直徑

∴∠ACE=∠ADB=90°

又∵∠AEC=∠ABC

∴∠BAD=∠EAC，

∴∠BAD-∠DAE=∠EAC-∠DAE，即∠BAE=∠CAD

證法三：如圖，過O點作OM⊥AB于M，交⊙O于N，則BM=AM，從而∠AOM=∠ACB

∵AD⊥BC

∴∠ADC=∠AMO=90°

∴∠BAE=∠CAD

反思：在證明的多種方法中，總有一種是比較簡便的，更重要的是探索一題多解是為了提高我們的思維能力。

四思“變化”

解題后，根據實際情況，深入發掘，改變題目的條件，會導出什么新結論；保留題目的條件結論能否進一步加強；條件作類似的變換，結論能擴大到一般等等。像這樣富有創造性的全方位思考，常常是我們發現新知識、認識新知識的突破口，可以增強應變能力，擴大視野，從而提高解題應用能力。

例4.如圖，在 ABCD中，AE⊥BD交BD于E，CF⊥BD交BD于F，求：四邊形AECF是平行四邊形。

變化：在 ABCD中，E、F是BD上的一對動點，且BE=DF，求證：四邊形AECF是平行四邊形。

總的來說，我們完成解題的目的不是僅僅為了解答習題，而是為了促進知識掌握和技能形成，因此，解答習題必須能做到“舉一反三”，發展能力。要達到這一目的，最重要的是解題之后的反思。因為只有解題后的反思才能使我們從具體的習題解答中概括出普遍使用的條件化策略知識，這種知識正是發展能力的關鍵、舉一反三、觸類旁通的前提和保證。總之，解題后的反思能對所學知識有較深刻的理解，能促進對知識及技能的提高，達到“事半功倍”的效果。