從“枯燥”到“靈動”，從“解題”到“探究”

［ 摘 要 ］壓軸題的命制需要從知識結構、試題樣態、素養考查要求等維度對試題進行反復重構與優化，同時又要對學情做深刻剖析，關注試題的學業水平要求與選拔要求雙功能，讓壓軸題成為有效題，最大限度地發揮試題的導向功能和育人價值.

［ 關鍵詞 ］命題構思；命制過程；命制理念；命題反思

每個地區每一年的九年級壓軸題成為學子關注的重點，去年開始浙江省舟山市定海區首先呈現以“圓”為背景的綜合題為壓軸題，2023年浙江省杭州、寧波、溫州等地的中考題大膽嘗試讓“圓”成為壓軸題，筆者有幸參加了一次數學試題命制的全過程，歷經反復推演論證、現將壓軸題的創作過程與思考和各位同行交流.

命題構思

初中階段學習的幾何圖形主要有三角形、四邊形、圓，與前兩者不同，圓是曲線圖形，并且是天然的軸對稱圖形，試題中圖形的呈現既要考查學生的綜合能力，更要讓學生體驗數學之美，基于這樣的考量，本次考試壓軸題是以圓為背景的幾何綜合題.與此同時，學業水平檢測卷基于《義務教育數學課程標準 （2011年版）》要求，適當滲透《義務教育數學課程標準 （2022 年版）》（以下簡稱“新課標”）相關理念和導向，命題組對整道試題制定了如下要求：（1） 從知識的維度來說既要有垂徑定理、圓周角定理等核心知識，又要在問題解決中融合相似三角形等幾何建模重要方法；（2） 試題呈現樣式需要打破純粹幾何推理證明的樣態，讓學生在解題過程中經歷一次有意義的數學探究活動；（3） 試題的素材選擇不宜劍走偏鋒，圖形的選擇應來自學生親切、熟悉的教材，引導教師致力教材資源的開發，正確領會教材資源的意圖和定位；（4） 問題的解決需要經歷從特殊到一般、數形結合等數學思想方法，引導學生體驗數學思想方法在問題解決中的價值與意義；（5） 試題的立意應著眼于學生核心素養的考查，因此要基于新課標課程內容中的實例，立足于考查學生幾何直觀、推理能力、創新意識等核心素養.

命制理念

1.立足基礎，考查素養

根據近幾年的地市自主命題思路，幾何壓軸題已然成為趨勢，因此圖形背景的選擇尤為關鍵，相較于三角形與四邊形，圓具有幾大優勢：第一，圓是一個天然的軸對稱圖形，無論從圖形還是結論上看都呈對稱之美，讓學生有美的享受；第二，圓是初中階段學習的唯一曲線幾何圖形，相較于直線型圖形，曲線型圖形的難度略大，效仿杭州、UTyKIXLCZWTjt0taaHXggmdzSfnIATBb1Nu/a3Iv0JA=寧波等地的歷年中考壓軸題，圓已成為主流趨勢；第三，從推理方法而言圓中結論的證明需要綜合法的應用，需要學生以全局眼光梳理主線，解決問題.因此，命題之初，命題組一致決定梳理圓的知識主線（如圖1）.

根據知識梳理，大致確定垂徑定理、圓周角定理、圓心角定理以及圓的內接四邊形為必要考查內容，同時基于新課標對學業質量的解讀，確定了以下幾個核心素養考查要求：（1） 能運用幾何圖形的基本性質進行推理證明；（2） 進一步增強幾何直觀、空間觀念；（3） 能從具體的情境中抽象出數學表達式，用數學的眼光發現問題并提出（或轉化為）數學問題；（4） 感悟數學的價值，能夠從問題解決的過程中獲得數學活動經驗，形成批判質疑的科學精神，具備一定的創新意識.

2.梳理教材，確定研究方向

壓軸題的命制需要對素材圖形進行重構，需要改變圖形或增加圖形結構進行研究.但筆者在以往的教學中發現有部分幾何壓軸題圖形結構復雜，或者問題不集中，甚至整道試題毫無邏輯可言，這一類問題的產生往往是對教材知識體系尚未形成整體認識所導致的，從而在命制壓軸題的過程中缺乏研究問題的方向.在教學中，單元整體教學以知識的相互關聯性、整體性與學習者的參與性為原則，倡導情境式的、案例式的內在驅動教學方式.基于教學評一致性原則，教學的理念也應該在命題時有所體現，因此，命題組決定回顧教材，從單元整體角度挖 掘 教 材 的 內 部 知 識 體 系（如圖2）.

通過梳理發現，浙教版圓的章節內容編排具有一定的邏輯性，垂徑定理、圓心角定理可視為研究圓上兩點，圓周角定理可視為研究圓上三點，圓的內接四邊形可視為研究圓上四點，正多邊形可視為研究圓上N個點，最后的切線可視為研究圓外的點.按照教材編排的邏輯體系，命題組確定研究內容的核心為先研究圓上的點，再研究圓外的點，通過連線的形式重構新的幾何圖形并展開探究，最終命題組通過梳理教材的內容，確定了命題中圖形的研究方向.

3.建構方法，環環緊扣

壓軸題試題的重要價值是引導教學，基于教學評一致性的原則，試題的呈現樣態會決定教師在課堂中的行為方式，其中壓軸題的樣態更是對教學有舉足輕重的影響 . 因此，命題組在設計之初就積極思考試題的呈現樣態.命題組認為，解題本身就是一個探究的過程，在解題過程中學生經歷觀察、歸納、類比、聯想、演繹等思考方式，通過探究學習可使學生獲得知識的深層理解，培養科學的態度和習慣，形成實事求是、精益求精、客觀公正、敢于創新的精神.因此，命題組商議以數學探究活動作為問題解決的主線，建構合理的問題探究路徑，設置有梯度的問題，環環緊扣，讓學生在解題中體驗一次有深度的學習過程.

試題原型

基于對命題思路、命題理念的把握，壓軸題確定以圓為背景的幾何題后，素材的選擇成為當務之急，而教材是教師教和學生學的重要載體，對教學起著積極的導向作用，因此確定浙教版數學教材九上 114頁單元“目標與評定”第15題為原始素材.

此題是一個簡單的圓的綜合題，但簡約而不簡單，看似普通的證明卻包括了圓的垂徑定理、圓周角定理、圓的內接四邊形定理等綜合知識，完全能夠做到知識全覆蓋 . 因此，命題組決定將其確定為原始圖形，后續的試題編排圍繞此圖形展開.

命制歷程

試題分為三個小題，力爭做到低起點、高立意，問題設置做到層層遞進，最后的問題解決既依托前兩個小題的結論，又有分類討論思想滲透在問題解決過程中，考查圓的基本性質及相似三角形等相關內容.

【終稿分析】 針對第三稿中存在的問題，通過連線構造新的三角形的方式考查分類討論思想在綜合題中的運用，知識點無縫銜接前一問函數表達式的獲得，連接自然順暢.為了增加試題難度，尋找△CAG與△BFG這組新的相似三角形來獲得新的數量關系求解 BG.整道試題以教材為背景，以探究式學習為問題解決的主線，環環緊扣，呼應命題之初的命題構思與理念.縱觀整道試題，有以下幾個亮點與各位同仁分享：

（1）根植教材，正面導向教學

通過對浙教版數學教材九上的挖掘，引導學生進行變式、探究與思考，引導教師致力于教材資源價值的開發，正確領會教材資源的意圖和定位.植根教材，促進教學評一致性，也促進“雙減”政策在課堂教學和日常學習中的有效落地.

（2）標立意，關注核心素養

通過設置探究式問題情境，讓學生體驗從計算—猜想—驗證—應用的過程，在解題中沉浸式體驗問題解決的一般步驟，豐富學生情感體驗.同時通過對新課標的深入解讀，理解動點問題的實質為研究幾何問題中變量之間的關系，從而引入用函數刻畫現實問題的依據，這樣拓展應用的第2問的設置順理成章.最后一問的設置融合初中階段重要的分類討論思想，既實現試題的分層選拔功能，又實現數學思想在問題解決中的重要意義.也正是因為這些試題從“枯燥”到“靈動”，從“解題”到“探究”，讓學生感受數學之美.

（3）立足基礎，考查關鍵能力

試題立足數學基本知識、基本技能、核心概念考查時，重視對過程與思維、關鍵能力和數學思想方法的考查.圓的核心知識為垂徑定理、圓周角定理、圓心角定理、圓的內接四邊形，這些知識都在試題中一一體現，并且又規避了浙教版老教材中切割線定理的使用，在立足于考查基礎性關鍵能力的同時又實現了試題的公平性.試題的立意希望引導教師在教學中強化對基本概念、基本性質和定理的理解，發展學生的基本運算、推理等關鍵能力，豐富學生學習經驗，促進核心素養形成.

（4）建模應用，指向綜合能力

試題通過設置拓展應用第 2 問重視運用數學必備知識、思想方法及數學模型解決實際問題，發揮數學聯系實際的學科特點，考查了學生對現實問題的分析和解決、信息的獲取與處理、數學建模等綜合能力，讓學生體驗現實中的數學和用數學知識分析解決實際問題的過程，學會用函數刻畫現實世界，發展模型觀念，引導學生學以致用.

命題反思

1.保持教學評價一致性

新課標明確指出：“學業質量是學生在完成課程階段性學習后的學業成就表現，反映核心素養要求.”“數學課程學業質量標準是學業水平考試命題及評價的依據，同時對學生的學習活動、教師的教學活動、教材的編寫等具有重要的指導作用.”因此試題在命制中應充分考慮評價的重要意義，舍棄以知識內容為主線的考查方式，引導學生放棄數學解題的機械性和模式化，從而在命題理念中確定以問題探究式學習為試題主線，讓學生經歷數學的學習運用、實踐探索活動的經驗積累，初步形成自我反思的意識，既考查考生的知識，又考查他們的能力，引導考生的思維向綜合、立體、創造性的方向發展.通過這樣的設置把教材賦予的立德樹人的教育價值在試題中一一體現與落實，既實現試題從“枯燥”到“靈動” ，從“解題”到“探究”的轉變，又能保持教學與評價的高度一致性，引導教學評價高效、一致、有序發展.

2.把握研究過程整體性

學生體驗學業水平試題的過程既是對三年學習歷程的一次檢驗，同時也是初中三年最重要的一次體驗深度學習的過程.因此試題允許出現超越具體知識和技能，由具體的數學方法和策略過渡到一般性的思維策略.試題中對圖形結構的補全、擴充應具有邏輯性，需從單元整體建構圖形，引導學生注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的關系，使學生感受數學的整體性，體會某些數學知識可以從不同的角度加以分析、從不同層次進行理解.因此本試題依據研究圓的邏輯規律，指向核心為研究圓上與圓外的點，實現從內到外的整體架構，讓學生比較完整地經歷問題研究的框架，積累豐富的研究經驗，從而在系統全局的高度認識知識之間的關聯性，對于研究過程的整體性把握有助于學生在今后高中學習階段實現從局部到整體的飛躍.

3.凸顯素養指向重要性

試題編制時既應關注課標的考試要求，以及對不同發展水平學生的區分，又注重從知識立意轉向素養立意的轉變.新課標指出：“幾何直觀主要是指運用圖形描述和分析問題的意識與習慣.”“幾何直觀有助于把握問題的本質，明晰思維的路徑 .” 因此本試題在數易其稿中問題的設置都高度指向這一原則，無論是分類討論線段的求值，還是利用推理畫圖的過程，甚至動點問題中感知變量關系，從而獲得函數表達式的過程都是基于對幾何直觀的考查 . 當然在系列問題中推理能力、創新意識等核心素養都通過不同的設問方式予以呈現，在考查過程中不僅是一次枯燥的解題過程，更是學生的各項數學素養的重要體現.在試題中讓學生經歷一個完整的從“枯燥”到“靈動”，從“解題”到“探究”的學習過程是我們命題者所追求的目標，也是我們期待通過學業水平試題選拔 “會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”的數學人才的重要途徑，真正實現試題在立德樹人中的育人價值與導向.