對(duì)一道中考數(shù)學(xué)試題的深度解析與教學(xué)反思

［ 摘 要 ］基于對(duì)一道中考數(shù)學(xué)試題的深度解析、教學(xué)實(shí)施與教學(xué)反思，揭示了試題背后蘊(yùn)含的評(píng)價(jià)功能與教學(xué)價(jià)值，揭示了隱藏在試題中的若干重要結(jié)論以及解題方法中體現(xiàn)的思維過(guò)程.為培養(yǎng)學(xué)生的“四基”與“四能”和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提供了解題教學(xué)的藍(lán)本．

［ 關(guān)鍵詞 ］中考數(shù)學(xué)試題；深入探究；解答過(guò)程

近期研究中考試題，對(duì)2021年福建省中考數(shù)學(xué)試卷中的幾何綜合題進(jìn)行了深入探究，發(fā)現(xiàn)這道題不僅全面考查了初三學(xué)生的幾何基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，還對(duì)考生的邏輯推理素養(yǎng)、運(yùn)算素養(yǎng)也有深刻考查．筆者基于對(duì)該題的深度解析，揭示其蘊(yùn)含的豐富幾何內(nèi)容和數(shù)學(xué)思想方法，一并與同行分享交流

分析：第三問(wèn)欲求兩條線段之間的數(shù)量關(guān)系，關(guān)鍵是學(xué)生要能夠發(fā)現(xiàn)兩條線段所在三角形的相似關(guān)系，上面提供的解法是利用兩邊成比例且?jiàn)A角相等進(jìn)行證明，還可以利用兩角相等證明相似，解法不唯一.在相似的條件下，很容易得出要求的結(jié)論.

對(duì)試題的深度剖析

1.考查視角分析

第一問(wèn)著重考查三角形中位線定理，題目巧妙地將兩邊中點(diǎn)隱藏在“三等分點(diǎn)”與“軸對(duì)稱”兩個(gè)條件中，需要學(xué)生深入理解軸對(duì)稱和三等分點(diǎn)所帶來(lái)的結(jié)論，并將兩個(gè)條件聯(lián)系應(yīng)用，才能構(gòu)造出三角形的中位線.

第二問(wèn)是一個(gè)求角度問(wèn)題，本題的圖形結(jié)構(gòu)中，很容易看出△ADE△BAG，從而得到GB=BF，從而得到△BFG是等腰直角三角形，但是這個(gè)結(jié)論對(duì)計(jì)算∠GA'B有什么用呢？實(shí)際上本題需結(jié)合第一問(wèn)證得的結(jié)論發(fā)現(xiàn)四點(diǎn)共圓，將問(wèn)題中所求的角轉(zhuǎn)化為與其相等的另一個(gè)圓周角，再解答.這個(gè)問(wèn)題考查了學(xué)生對(duì)四點(diǎn)共圓這一知識(shí)是否能靈活應(yīng)用，對(duì)幾何圖形的“讀圖”理解要求較高，充分考查了學(xué)生從文字語(yǔ)言理解數(shù)學(xué)到從圖形語(yǔ)言能夠準(zhǔn)確分析再到用符號(hào)語(yǔ)言能夠清晰表達(dá)的三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的靈活轉(zhuǎn)換能力.

第三問(wèn)要求兩個(gè)線段的數(shù)量關(guān)系，如何得到這個(gè)關(guān)系是重點(diǎn).本題中，學(xué)生既可以利用得到的45°構(gòu)造直角三角形，通過(guò)計(jì)算兩條線段的長(zhǎng)度來(lái)求得他們的數(shù)量關(guān)系，還可以發(fā)現(xiàn)兩條線段所在的三角形相似，進(jìn)而利用相似求得數(shù)量關(guān)系，而相似的證明方法也不唯一，其中不僅考查了勾股定理、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，而且體現(xiàn)了方程思想在幾何證明與計(jì)算中的應(yīng)用.解題方法靈活多樣，充分考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

2.教學(xué)價(jià)值分析

從“雙減”政策對(duì)課堂教學(xué)的要求看，“雙減”背景下怎樣才能實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效？那就要“把時(shí)間還給學(xué)生，把方法教給學(xué)生”. 從新課標(biāo)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容看，初中階段圖形與幾何領(lǐng)域包括“圖形的性質(zhì)”“圖形的變化”“圖形與坐標(biāo)”三個(gè)主題 . 學(xué)生將從演繹證明、運(yùn)動(dòng)變化、量化分析三個(gè)方面研究這些圖形的基本性質(zhì)和相互關(guān)系.”［2］

這個(gè)題目考查了初中幾何的主體知識(shí)，考查內(nèi)容較豐富，由于方法多樣，可以讓學(xué)生獨(dú)立解題后分小組交流做法，再請(qǐng)學(xué)生分享不同的做法以及自己是如何想到這種方法的 . 在學(xué)生分享后，教師再和學(xué)生一起總結(jié)解題方法和其中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生將理解的知識(shí)、解題的經(jīng)驗(yàn)、感悟到的數(shù)學(xué)思想內(nèi)化，形成具有邏輯的知識(shí)體系，這是學(xué)生“聽(tīng)得懂—學(xué)得會(huì)—做得對(duì)”的必經(jīng)之路.

從學(xué)生解題能力培養(yǎng)的視角看，第一，本題通過(guò)正方形這一特殊背景，為構(gòu)造新圖形提供了便利 . 學(xué)生能否在讀題時(shí)將題目中的每句話對(duì)應(yīng)到圖形中，理解為圖形中線段或角或三角形之間的關(guān)系，這是教師在授課過(guò)程中需要關(guān)注的一個(gè)很重要的問(wèn)題 . 從題目本身蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)看，本題解題的關(guān)鍵在于對(duì)點(diǎn)對(duì)稱的理解，對(duì)圖形中蘊(yùn)含的四點(diǎn)共圓的四邊形的識(shí)別，對(duì)全等三角形和相似三角形的發(fā)現(xiàn)，而對(duì)稱意味著圖形中既包含相等的數(shù)量關(guān)系也包含垂直的位置關(guān)系 . 正方形中的“對(duì)稱”往往可以推出更深層次的圖形關(guān)系 . 本題通過(guò)四邊形中對(duì)角都是直角，存在“隱圓”，使題目的解法更加靈活 .因此，啟發(fā)學(xué)生對(duì)正方形背景下隱藏的圖形關(guān)系的挖掘，是本題提供給教師用來(lái)培養(yǎng)學(xué)生有邏輯思考的很好載體，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力很有價(jià)值.

教學(xué)實(shí)施過(guò)程與反思

1.學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)

基于本題的深度分析，筆者設(shè)計(jì)了一節(jié)解題專題課，具體教學(xué)實(shí)施過(guò)程包含三個(gè)活動(dòng)：

活動(dòng)一 求證：DE∥A'F

（1） 復(fù)習(xí)三角形中一條邊上二等分點(diǎn)的性質(zhì)，讓學(xué)生根據(jù)二等分點(diǎn)的性質(zhì)推理猜測(cè)三等分點(diǎn)的性質(zhì).

（2） 認(rèn)真讀題，理解題意，尋找隱藏條件 .例如，根據(jù) A 關(guān)于 DE的對(duì)稱點(diǎn)是A'，故可得AO = A'O.

（3） 如圖 3，依據(jù)所給條件，結(jié)合圖形結(jié)構(gòu)，找到中位線，證明平行.

不論應(yīng)用哪種方法構(gòu)造點(diǎn) A'，都可以構(gòu)造一道與正方形相關(guān)且具有一定水平的幾何題.從數(shù)學(xué)教育的價(jià)值來(lái)看，它可以鞏固直線型的幾何定理，也可以鞏固圓的幾何定理，最重要的是鞏固直線型與圓綜合的幾何基礎(chǔ)知識(shí)和方法，形成具有結(jié)構(gòu)和邏輯聯(lián)系的知識(shí)體系，可以提高學(xué)生的邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，是不可多得的基本圖形結(jié)構(gòu).

綜上所述，教師要始終站在學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)思考問(wèn)題，從直接計(jì)算到中位線、平行線來(lái)構(gòu)造輔助線，始終貫穿模型思想，從基礎(chǔ)模型 （十字架、中位線、平行線） 到綜合模型 （一線三等角、等邊旋轉(zhuǎn)變換），再到應(yīng)用模型 （四點(diǎn)共圓、平行線和平行線分線段成比例等）.模型由簡(jiǎn)到繁，從無(wú)到有再到無(wú)，解題方法由變化歸于不變，在圖形變化過(guò)程中找到變的量和不變的量或結(jié)論，探究其中的數(shù)量關(guān)系，從而找到解決一類問(wèn)題的通用方法.

參考文獻(xiàn)

［1］徐玉清.中考真題匯編 ［M］.新疆：新疆青少年出版社，2021.

［2］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.