大單元視域下初中數學“問題鏈”教學實踐的研究

［ 摘 要 ］“問題鏈”的應用可有效推動學生思維的發展，促使學生自主進入深度學習與思考的狀態，為發展核心素養奠定基礎.在“一次函數的圖象”教學中，研究者基于大單元視域，創設“問題鏈”，以增強學生在課堂中的主觀能動性，發展學生的數學核心素養.

［ 關鍵詞 ］大單元；問題鏈；一次函數

培養學生的數學思維，發展學生的核心素養是數學學科教學的主要目標 .“問題鏈”的應用可有效推動學生思維的發展，促使學生自主進入深度學習，為發展學力、提升素養奠定基礎 . 《義務教育數學課程標準 （2022 年版）》 的落地，使得大單元教學成為當前最受歡迎的模式，如何基于大單元視域用好“問題鏈”，以增強學生在課堂中的主觀能動性，促進教育的高質量發展呢？本文以“一次函數的圖象”教學為例，具體從如下幾方面展開探索.

單元分析

一次函數圖象內容隸屬于函數章節，函數的主要作用在于探索現實事物間的規律或變量關系，是整個初中階段“數與代數”部分的重點知識，也是后續高中階段學習函數的基礎.不同類型的函數之間存在一些關聯，一次函數圖象屬于其中的一小部分，因此教師在教學之前需從大單元視域出發整理知識脈絡，促使學生從宏觀的角度認識本節課教學的重要性，也為構建完整的知識結構夯實基礎.

鑒于教師是基于大單元視域借助“問題鏈”講授本節課內容，因此，除了要分析教學內容，還要充分了解學情，根據學生的實際認知水平設計落于學生思維“最近發展區”的問題，以增強教學實效.教學簡錄

1.創設情境，揭示主題

情境：在一種型號的彈簧下懸吊一些不同質量的物品，并將彈簧長度記錄下來，如物品的質量分別為 0 kg，1 kg，2 kg，3 kg…，彈簧長度分別為 8 cm，8.5 cm，9 cm，9.5 cm…，當物品質量為 2.5 kg時，彈簧的長度是多少？

此為一個與學生認知有關的生活情境，學生對這一現象并不陌生，卻沒有實際探索過.將該生活現象作為課堂導入的情境，可激發學生的探索動機.

師生活動 要求學生將情境中的數量關系羅列到一張表格中，便于觀察與分析.學生可自主列表探索物品質量的增加與彈簧長度之間存在一定的關系，如物品增加 1 kg，彈簧就加長 0.5 cm，根據這個規律來分析，若物品的質量為2.5 kg，可列式為 0.5 × 0.5 + 9 = 9.25（cm） .

探索完此問，為了進一步深化學生對這一現象的認識，為探索一次函數的圖象奠定基礎，教師又有針對性地設計了如下“問題鏈”.

問題 1 通過對以上現象的分析，將彈簧的長度設定為y cm，物品質量設定為 x kg，二者之間是否存在一定的函數聯系？

生 1：從函數的概念出發，不難獲得這兩個量之間的關系式為 8 +0.5x .

師：這是一個什么函數？

生2：一次函數.

問題 2 如果將一組彈簧排列在一起，由輕到重分別吊上“質量不同，但質量差相等”的物品，依次擺放，讓彈簧間所間隔的距離一致，會出現什么現象？

生 3：排成一排之后，從個體上看，物品就是一個一個的點；從整體上看，物品組成了一條向下傾斜的直線.

問題 3 從你們的認知出發，說說接下來我們將會探索與一次函數相關的什么知識？該怎么去探索？

設計意圖 帶領學生從情境中提取一次函數，并借助有規律的擺法促使學生初步感知一次函數的圖象為直線.

2.深入探索，展示圖象

此環節探索的主題為函數圖象的定義以及 y = kx + b 函數圖象的繪制方法.教師帶領學生從取值、描點與連線三個步驟出發，借助特例初步構建函數圖象的定義，感知畫圖過程.關于特例，可選擇如 y = 2x 或y = 2x + 1 等容易計算的一次函數，分為如下幾個探究活動：探究活動1 繪制 y = 2x （一次函數）的圖象.

探索過程中，要求學生自主分析一次函數 y = 2x 所具備的特征，并從取值的角度猜想該函數圖象的形狀與特點.

師VP5/HZcPVMGEoYKBXNo+ZA==生活動 從一次函數表達式出發，引導學生自主猜想函數圖象可能具備的幾何特點.為了深化學生的思維，教師設計了如下“問題鏈”.

問題 1 設計一張關于一次函數 y = 2x 取值的表格，根據表格所呈現的數據在坐標系內描點，并探索所描點之間存在怎樣的位置關系，思考怎樣確定這些滿足 y = 2x 的點均處于一條直線上？

學生自主設計表格，以 x = 0 為基準，分別在左右對稱的位置進行取值，如 x 分別取-2，-1，0，1，2，與之對應的 y 值分別為-4，-2，0，2，4，并將所取得的點描在直角坐標系內，形成圖1.

基于以上分析，學生自主獲得如下結論：① x = 0 時，一次函數y = 2x 的圖象經過原點；② x，y 同為正或負時，圖象分別過第1象限、第3象限；③ x 取值互為相反數時，y 值也互為相反數，所形成的函數圖象具備“關于原點對稱”的特點；④ x 所取的正數逐漸增大時， y 值也隨之逐漸增大……

根據以上結論，學生對一次函數圖象形成初步猜想，在加密法的驗證下發現猜想是成立的.關于加密法，如在點 A（1，2） 與點 B（2，4） 之間添加點 C （，并確定點 C 與點 A，B 處于同一條直線上.

問題2 能否確定 y = 2x 的圖象一定是直線，可否驗證說明？

師生活動 借助幾何畫板來探索這個問題，師生共同操作、觀察，分析圖象是否完備 . 具體操作方法為 ： 基 于 任 意 兩 點 間 添 加 點M（m，2m） 滿足 y = 2x ，論證點 M必然處于該直線上；其次想辦法討論圖象的純粹性，即在直線上任意取一點，借助幾何畫板度量該點滿足式子 y = 2x .基于這兩個維度，可驗證問題的正確性.

設計意圖 此探究過程利用了y = 2x 這個特例，分別從“取值、描點、連線、驗證”四個方面說明了一次函數圖象的常規繪制方法.同時，幾何畫板的介入，讓學生在直觀展示中感知了圖象的完備性，培養了數學思維的嚴謹性，提升了邏輯推理能力.探究活動2 繪制一次函數 y =2x + 1 的圖象.

該探究著重分析一次函數 y =2x + 1 與上一個教學環節所探索的y = 2x 之間存在怎樣的聯系，結合二者間的關系思考怎樣取值更科學.

師生活動 通過取特殊值與描點來看，當這兩個一次函數的 x 取值一樣時，函數 y = 2x + 1 所對應的y 值均為函數 y = 2x 中對應的 y 值朝上平移1個單位.基于此發現，教師又有針對性地設計了如下“問題鏈”，引導學生進一步探究.

問 題 一 次 函 數 y = kx +b（k ≠ 0） 和函數 y = kx 的圖象之間存在怎樣的聯系？若想簡便、快速地繪制出一次函數 y = kx + b（k ≠ 0） 的圖象，該怎么操作？

師生經過積極的互動與交流，認為一次函數 y = kx + b（k ≠ 0） 的圖象與一次函數 y = kx 的圖象之間形成平行關系，既然明確一次函數 y =kx + b（k ≠ 0） 的圖象為一根直線，那么根據兩點確定一條直線的原理，可快速繪制出相應的圖象.

設計意圖 列表與描點活動的進行，促使學生自主發現兩種函數圖象之間所存在的位置關系本質為“平移”，也就是可將 y = kx + b 轉化成 y = kx 的圖象.學生經歷由特殊到一般的思維轉化過程，進一步體會轉化與化歸思想.

3.問題引領，繪制圖象

此環節探索的主要內容：基于同一個直角坐標系內繪制函數 y =3x 與函數 y = -3x + 2 的圖象.為了便于學生在坐標系內準確找到相應的點，應盡可能選擇整數作為點坐標，并設計如下“問題鏈”，供學生探索與思考.

問題1 探索點 （-2， - 6） 是不是函數圖象上的點？

關于此問，師生積極互動，總結出如下兩種方法：第一種，由因推果，即將 x = -2 代進原式中，計算結論是不是 -6 ；第二種，由果索因，即根據 y = -6 反推兩個解析式中 x 的值是不是 -2 .

問題 2 怎樣探索函數圖象和坐標軸之間構成的交點坐標？怎樣確定兩直線的交點坐標位置？師生活動 通過對函數表達式和圖象關系的探索，分析圖象和坐標軸之間形成的交點位置，即分別探索 x，y 為 0 時方程解的情況.關于兩條直線的交點坐標，可借助方程組 來 分 析 ， 此 處 可 列 方 程 組 為

設計意圖 根據點的位置是否位于函數圖象上來獲得交點坐標，可讓學生切身體會函數表達式和坐標之間，以及函數和方程間的聯系，促使學生深刻體會數形結合思想的重要性，并感知圖象的直觀性，這對發展學生的抽象能力和幾何直觀具有重要意義.

問題3 “表達式、點、圖象”

三者間存在怎樣的聯系？

設計意圖 畫圖與反思過程可增進學生理解“表達式、點、圖象”三者間的關系，待定系數法的自然形成，增加了探索函數問題的路徑.

4.增進思考，解決問題

帶領學生回歸到彈簧問題，現在有另外一種型號的彈簧，在不掛物品時長度恒為6 cm，若吊上質量為 1 kg 的 物 品 ， 彈 簧 長 度 變 成6.9 cm.思考如下問題：兩種類型的彈簧在吊上相同質量的物品時，長度有無相等的可能？

要求學生用畫圖的方法進行判斷 . 師生活動，若彈簧長度設為y cm，物品質量設為 x kg，則可將二者間的函數關系用圖象表達，根6Xej5EWk7xv/9bdFTxS/GA==據兩條直線之間形成交點 （見圖2）這一特征，可確定這兩種規格的彈簧在長度上存在相等的情況.

問題 圖 2 中的交點坐標是什么？具有怎樣的實際意義？

假設第二種型號的彈簧為 y =kx + 6 ，當 x 值為 1 時， y 值為 6.9，數據代入可得 k 值為0.9，那么這種彈簧的表達式就是 y = 0.9x + 6 ，通過聯立方程，可獲得交點坐標為（ 5，10.5 ），該交點坐標所傳遞的實際意義為：所吊物品質量在5 kg時，兩種型號的彈簧長度均為10.5 cm.設計意圖 經過畫圖與列方程組，學生快速解決了問題，這凸顯了數形結合思想的重要性.

5.總結歸納，概括提煉

鼓勵學生自主總結本節課所學知識，歸納探索一次函數圖象的途徑，分析后續將要探索的內容等，從大單元視域整理知識與學習方法，促使學生提煉知識本質，構建認知體系.幾點思考

1.“問題鏈”需貼合學情

任何時候，開展任何形式的教學活動，首要任務就是研究學情，弄清教學目標與學生實際認知水平間所存在的差異.尤其是在新課標的引領下，教師需將“以生為本”的理念落實到教學的方方面面，將學生已有的認知水平作為教學的起點，設計恰當的“問題鏈”喚醒學生的思維，促進學生的發展 ［1］ .

2.“問題鏈”需立足本質

深度學習是當前課堂所追求的基本目標，立足于知識本質設計“問題鏈”可避免淺層學習的發生，學生通過對知識本質的探索與思考，可進一步夯實知識基礎，獲得知識內涵，構建有意義的學習.如本節課就緊扣一次函數圖象的本質特點而展開，所有活動都將學生放在首位，促使學生在動手操作與觀察思考中提升認知水平，學會從大單元視域思考問題，獲得了良好的思維能力.

3.“問題鏈”需凸顯整體

大單元視域下設計“問題鏈”，一方面需緊扣知識本質，另一方面需基于整體的角度來分析問題，凸顯數學學科的結構化特征 . 實踐證明，根據一般和特殊具有互相轉化的特性設計“問題鏈”，往往能揭露知識間的邏輯關系，促進學生思維的整體性發展.

總之，在核心素養發展的目標下，教師應從大單元的角度把握教學內容間的聯系，通過創設合理的“問題鏈”來促進學生從整體上理解與掌握知識本質，以充分體現數學學科的連貫性與邏輯性.

參考文獻：

［1］鮑建生，章建躍 . 數學核心素養在初中階段的主要表現之三：幾何直觀 ［J］. 中 國 數 學 教 育 ， 2022（Z3） ：3-9.