尺規(guī)作圖的小思考

［ 摘 要 ］面對(duì)尺規(guī)作圖題，很多學(xué)生還不會(huì)方法，只能隨手畫一些基本尺規(guī)作圖，如角平分線、垂直平分線，解題仍停留在碰運(yùn)氣階段，人也比較茫然，他們急需解決尺規(guī)作圖題的方法.本文中“先有答案，再有分析”的方法能幫助學(xué)生很好地解決尺規(guī)作圖問題.

［ 關(guān)鍵詞 ］尺規(guī)作圖；等腰三角形；相似

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》要求：對(duì)于尺規(guī)作圖，學(xué)生不僅要知道作圖的步驟，而且要能知道實(shí)施這些步驟的理由 ［1］ .實(shí)際教學(xué)中，很多學(xué)生面對(duì)尺規(guī)作圖題都束手無策，只能對(duì)著圖空想，或者胡亂畫幾筆，運(yùn)氣好可能解決了問題，大多數(shù)情況只能“望題興嘆”. 尺規(guī)作圖不僅是一種畫圖操作，更是數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)探究的一種過程以及知法明理的追溯.對(duì)于尺規(guī)作圖題，通過邏輯分析，再進(jìn)行畫圖操作才是解決問題的正確方法.下面，以一道尺規(guī)作圖題為例，闡述筆者的一點(diǎn)小思考.

試題呈現(xiàn)

如圖1，已知點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)部的一點(diǎn)，過點(diǎn)P用直尺和圓規(guī)作直線CD，直線CD分別交OA，OB于點(diǎn)C，D，使得OC = OD.

問題解析

比較兩個(gè)數(shù)的大小，學(xué)生通常用“做差法”；證明兩條線段相等，學(xué)生通常證明全等或等角對(duì)等邊 .解決尺規(guī)作圖題也有方法 .筆者經(jīng)常和學(xué)生說，“先有答案，再有分析”，就是假設(shè)畫出了一個(gè)大致滿足題意的結(jié)果圖，然后聯(lián)想已掌握的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，綜合分析這個(gè)圖滿足何種性質(zhì)，最后借助分析所得性質(zhì)反向畫圖 . 如圖 2，假設(shè) CD 已經(jīng)畫出，就會(huì)出現(xiàn)△COD，它是等腰三角形，分析等腰三角形的性質(zhì)：三線合一，等邊對(duì)等角；等腰三角形判定：等角對(duì)等邊.聯(lián)想之前的解題經(jīng)驗(yàn)：構(gòu)造全等三角形，相似三角形等思路.

解法一：如圖3，作∠AOB的角平分線OE，過P做OE的垂線，分別交OA，OB于點(diǎn)C，D，點(diǎn)C，D即為所求.

解法分析：此種解法很容易想到，學(xué)生熟悉等腰三角形的性質(zhì)：三線合一，頂角平分線垂直于底邊，所以只需過P作頂角平分線的垂線.

解法二：如圖4，連接OP，作∠COE=∠DOP，截取OF=OP，連接PF，分別交OA，OB于點(diǎn)C，D，點(diǎn)C，D即為所求.

解法分析：要想得到OC=OD，可以考慮構(gòu)造全等三角形，如果連接OP，那么△POD就確定了，利用等腰三角形的軸對(duì)稱性，只需構(gòu)造出△COF即可.

解法三：如圖5，過P作PE∥OB，交OA于點(diǎn)E，截取CE=EP，交OA于點(diǎn)C，連接CP，交OB于點(diǎn)D，點(diǎn)C，D即為所求.

解法四：如圖6，以O(shè)為圓心，任意長度為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)E，F(xiàn)，過P作EF的平行線（構(gòu)造平行四邊形），交OA，Sq+NrLY0RBJXMBE2HhmPLpCuR/r3d4rSHaMfyLot6CY=OB于點(diǎn)C，D，點(diǎn)C，D即為所求.

解法分析：通常以往的解題經(jīng)驗(yàn)對(duì)于解決新問題是有幫助的，上面的解題思路源于筆者曾在波利亞《怎樣解題》 這本書中看到過：作三角形的內(nèi)接正方形.思路大致是：先依托三角形的邊做一個(gè)小正方形，然后利用位似構(gòu)造內(nèi)接正方形 . 所以，可以類比，先做一個(gè)等腰三角形，然后利用“A型”相似解決問題.

解法五：如圖7，作∠AOB的角平分線 OE，過 P 作 PF⊥OA，垂足為 F，作∠FPC = ∠AOE，交 OA 于點(diǎn) C，連接 CP，交 OB 于點(diǎn) D，點(diǎn)C，D即為所求.

解法分析：按照“先有答案，再有分析”的方法，已知∠AOB，如 果 △ COD 為 等 腰 三 角 形 ， 則∠OCD的大小為90° -1/2∠AOB，只需過點(diǎn)P作∠OCP = 90° - 1/2∠AOB.

思考

面對(duì)尺規(guī)作圖，很多學(xué)生的解題方法目前還停留在“綜合法”，即由因索果 .它來源于學(xué)生解答簡單幾何證明題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn) .簡單尺規(guī)作圖題，由題目條件往往可以推導(dǎo)出很多有用的信息，這樣問題基本就解決了 .而面對(duì)有難度的尺規(guī)作圖題，已知條件非常少，不能往下推導(dǎo)出很多有用的信息，“綜合法”幾乎就行不通了，這時(shí)候可以采用“分析法”，即由果索因，筆者將其總結(jié)為“先有答案，再有分析”，就是假設(shè)圖的結(jié)果已然畫出，再去分析它具有的性質(zhì)，利用所分析的性質(zhì)反向作圖，如本文中假設(shè) C，D已經(jīng)畫出，聯(lián)想等腰三角形的性質(zhì)和已有的解題經(jīng)驗(yàn) .尺規(guī)作圖是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是思維訓(xùn)練的重要載體，掌握它的解題方法很重要，希望“先有答案，再有分析”的方法對(duì)學(xué)生解題有所幫助.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.