順應認知規律 形成概念結構

【摘 要】平行與相交既是表述兩條直線位置關系的兩個基本概念，又是描述圖形特征的關鍵要素。教學中，可引導學生通過觀察平行四邊形，從中分離出“平行”這一概念，進一步經歷找平行、畫平行、判斷平行，以及旋轉、平移與捆綁等數學活動，完善對平行的認識，并在此基礎上，在生活中、平面圖形和立體圖形中分別尋找平行，體會平行多元的存在形態。

【關鍵詞】認知規律；概念結構；平行與相交；位置關系

平行與相交既是表述兩條直線位置關系的兩個基本概念，又是描述圖形特征的關鍵要素。在先前的學習中，通過識別長方形、正方形、三角形、平行四邊形等圖形，學生對線段間的位置關系有了初步的認識。因此，學習平行與相交的概念，既是對已有學習經驗的總結，也為后續進一步學習圖形的特征打下了基礎。基于這樣的認識，在具體教學中，如何選擇合適的學習材料，讓學生利用已有的活動經驗進行觀察、比較和分析，以辨認平行與相交？如何有層次地結合具體例子，給“平行”“平行線”和“互相平行”下定義？應該設計哪些操作活動，讓學生根據“平行線”的特征，運用多種方法畫平行線？帶著這樣的思考，筆者進行了如下教學實踐。

一、基于概念名稱，直觀感知平行

平行既是一個數學概念，也常用于日常交流。從平行中的“平”字來看，它包含“平平的”的含義。在學生熟悉的平行四邊形這一概念中，便蘊含了“平行”的元素。那么，學生是如何通過平行四邊形這一概念來理解平行的呢？筆者將以此為起點，引導學生直觀地感知平行。

（一）通過名稱，感知平行現象

教師出示圖1，請學生觀察后回答：“你認識這個圖形嗎？”在實際教學中，有學生指出這是一個四邊形，教師進一步追問：“為什么這么說？”學生解釋因為它由四條邊組成。有學生指出它是平行四邊形，教師特別強調“平行”這一部分，并追問：“為什么又叫‘平行——四邊形’？”學生解釋因為它是“平平的”，即上下兩條邊是平行的。

通常，平行通過生活中的原型來引出，并用“……不相交”這樣的句式來概括。即先認識“不相交”的現象，再將這種現象定義為“平行”。因此，筆者嘗試從學生已有的概念名稱——平行四邊形中的“平行”的解釋入手，引導學生感知平行的表象。

（二）借助工具，畫不同平行線

顯然，此時學生對平行的理解是基于“平行”的字面含義形成的直觀認識。為了深入理解平行的本質特征，教師需要借助工具，畫出不同的平行線。

教師出示一塊長方形模型（如圖2），引導學生觀察其上下兩條邊是否平行。學生確認平行后，教師再將兩條邊用粉筆描到黑板上。接著，教師將長方形模型斜放，再次提問：“這兩條邊還平行嗎？”學生觀察后指出，即便傾斜，這兩條邊仍然平行。教師再次在黑板上用長方形模型畫出斜的一組平行線（如圖3）。

（三）結合反例，概括平行特征

結合圖2、圖3中的兩組平行線的例子，教師引導學生進一步觀察圖1中的平行四邊形。除了“平平的”一組平行線外，學生還指出存在一組“斜斜的”平行線。教師順勢讓學生用手勢分別演示“平平的”和“斜斜的”的平行線。

接著，教師在兩組平行線的旁邊畫出一組直線（如圖4），并請學生判斷它們是否平行。學生經過比較，認為它們不平行，并解釋如果將兩條直線延長，它們最終會相交。教師根據學生的回答進行驗證，得到圖5。

教師引導學生回顧，在平行四邊形中發現了兩組平行線，在黑板上也畫出了兩組平行線，并且還發現了像圖4中這樣的兩條直線最終會相交。啟發學生思考：我們這里說的平行在研究什么？怎樣叫作“平行”呢？

最后，組織學生進行交流討論，形成圖6所示的板書，并總結：在研究兩條直線的位置關系時，存在兩種情況，一種是相交，另一種是平行，平行即兩條直線不相交。在歸納出平行的特點后，再用字母分別表示平行中的兩條直線。

通過對平行四邊形中“平行”概念的多輪解釋，學生逐步概括出平行線的特點，認識到平行是指兩條直線的位置關系。然而，目前得到的平行線概念尚不完善，需要通過更多有針對性的例子來進一步完善。

二、結合操作活動，完善平行概念

“不相交的兩條直線”就是平行線。顯然，這一定義需要補充一個前提條件——這兩條直線必須在同一平面內。判斷兩條直線是否互相平行，除了延長直線的方法，還可以采用平移的方法進行驗證。為了利用平移驗證平行線，教師引導學生使用捆綁鉛筆的方法來畫平行線。

（一）利用教具，明晰概念范疇

在從長方形模型中描出不同位置的平行線，并從中概括出平行的特點后，教師繼續操作教具，將表示其中一條直接的木條繞中間的連接點旋轉一定角度，形成圖7中右側的樣子。然后引導學生判斷：此時兩條直線是否仍然平行？學生觀察后指出：“不平行。”教師追問：“那么它們會相交嗎？”學生回答：“不會相交。”

教師根據學生的回答提出問題：“為什么這兩條直線既不相交，也不平行呢？”學生觀察后指出，因為這兩條直線的方向不同。也有學生進一步指出，它們不在同一個平面內。教師根據學生的回答，在圖6中補充了“在同一個平面內”這一前提條件。

（二）驗證平行，完善認識結構

教師請學生觀察圖1中的兩組平行線，并討論可以使用哪些方法來驗證這兩組線段是平行線。學生指出可以通過延長線段來觀察是否相交，如果不相交就是平行。教師依據學生的回答，分別延長兩組線段，發現沒有相交（如圖8）。教師追問：“請仔細觀察，是否還有其他方法可以驗證它們平行呢？”

在實際教學中，有學生觀察后發現，可以將其中的一條直線平移，看是否可以與另一條直線重合。教師根據學生回答，將直線AB向下平移，與直線CD重合，并總結：直線AB平行于直線DC；然后將直線CD向上平移，與直線AB重合，并同樣總結：直線CD平行于直線AB。進而綜合兩句話得出：直線AB與直線CD互相平行使學生直觀地認識“互相”的含義。

（三）依據特征，創造工具畫平行

小學階段并未涉及使用平移三角板的方法畫平行線，但教師可以利用平行的特征，引導學生通過捆綁兩支鉛筆的方式畫平行線，這也是教材練習十第5題所倡導學生學會畫平行線的方法。在本教學環節，教師鼓勵學生自己創造出這種畫平行線的工具。

教師首先請學生回顧黑板上的兩組平行線是怎樣畫成的。學生指出，這些平行線是通過描出長方形模型的兩條對邊而形成的。隨后，教師提出了一個新挑戰：如果沒有這樣的長方形模型，僅使用兩支鉛筆和三角板，你能夠畫出一組平行線嗎？教師讓學生先獨立嘗試，之后再進行交流和反饋。學生嘗試后發現，可以采用圖9的方式畫出平行線。

在成功畫圖后，教師引導學生反思：為什么用這一種方法可以畫平行線？學生通過觀察發現，由于兩個筆尖之間的距離保持不變，因此畫出的兩條直線之間的距離處處相等，從而確保了它們不會相交。

通過旋轉、平移與捆綁等操作活動，學生對平行的理解得到加深，特別是認識到“互相平行”的概念可以通過動態的平移現象來解釋。

三、探索多元平行，拓展存在形態

“平行”這一概念在日常生活及各類圖形中以多種形態存在。在教學中，學生需依據定義進行抽象思考，以感受平行在日常生活中的多樣存在形態。

（一）結合圖式，尋找生活中的平行

教師出示圖10，請學生說一說圖中畫的是什么，并描出其中的平行線。學生獨立完成后進行反饋。在此基礎上，教師鼓勵學生列舉生活中有關平行的例子，尤其是教室內的實例。

（二）觀察圖形，尋找平面中的平行

教師出示圖11的兩個圖形，要求學生識別并寫出圖形中的平行線，并說一說有什么發現。學生先獨立完成，再進_{301d6e98f150363fe172a7c9b55599c90591207667f9960d55d0c5bd5ba5df30}行交流反饋。在確認學生理解后，教師引導學生觀察a∥b、b∥c、c∥d的情況（圖略），并說一說自己的發現。學生討論后，教師概括：如果a∥b、b∥c，那么 c∥d，這三條直線兩兩平行。從而讓學生體會到平行線的傳遞性。

（三）發揮想象，發現立體中的平行

在立體圖形中尋找平行線，需要學生發揮想象，構建新的平面圖形。教師出示圖12所示的立體圖形，要求學生找一找與邊AB平行的其他邊。學生獨立完成后進行交流評析。

學生發現：AB∥EF、AB∥DC、AB∥GH。教師引導學生質疑：AB和GH不在同一個平面內，怎么它們也互相平行呢？學生提出可以通過連接A、G和B、H來構建平面ABHG。教師根據學生的回答，用課件動態演示（如圖13）。接著，教師請學生觀察，在AB、EF、DC、GH這四條邊中，還有哪兩條邊也是互相平行的。學生回答后，教師概括：AB、EF、DC、GH互相平行。基于這一發現，教師要求學生找一找，在立體圖形中還有哪些邊也是互相平行的。學生獨立完成后校對答案。

在進一步的探討中，教師引導學生思考：在立體圖形中，除了直線之間的平行關系，是否還存在“面”與“面”之間的平行呢？學生經過觀察指出，上面與下面、前面與后面、左面與右面這些相對的面都是平行的。教師進一步指導學生通過延長兩兩平行的線段來驗證這一結論，圖14是驗證上面與下面兩個面平行的示意圖。

本節課的教學實踐為教師提供了重要啟示。圖形的認識經歷從整體感知到特征概括的過程。對于“平行”“相交”等概念的學習，需要從圖形整體認識出發，對圖形要素進行特征分析，從而為深入理解圖形特征打下堅實的認知基礎。因此，對于這些概念的學習，可以從圖形的整體認識中分離出來，通過觀察、比較、操作等數學活動，逐步完善對概念的理解。

（1.浙江省湘湖師范學校附屬小學

2.浙江省杭州市余杭區百丈鎮中心小學）