乘法分配律的循證教學(xué)設(shè)計(jì)

【摘 要】乘法分配律是小學(xué)四年級數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，是小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)難點(diǎn)?；谧C據(jù)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，可以有效提高教學(xué)的科學(xué)性。故按照循證教學(xué)設(shè)計(jì)模式，收集與整理乘法分配律教學(xué)設(shè)計(jì)的理論和實(shí)踐證據(jù)，對乘法分配律進(jìn)行基于證據(jù)的教學(xué)過程設(shè)計(jì)。

【關(guān)鍵詞】乘法分配律；循證教學(xué)；教學(xué)設(shè)計(jì)

乘法分配律既是小學(xué)數(shù)學(xué)中多位數(shù)乘法、簡便運(yùn)算等內(nèi)容的算理依據(jù)，也是中學(xué)數(shù)學(xué)中合并同類項(xiàng)、提取公因式等內(nèi)容的知識基礎(chǔ)，還是高等數(shù)學(xué)中推導(dǎo)矩陣性質(zhì)等內(nèi)容的指導(dǎo)性原理。乘法分配律是小學(xué)數(shù)學(xué)中的教學(xué)難點(diǎn)。有調(diào)查表明，將近95%的學(xué)生認(rèn)為乘法分配律是運(yùn)算律中最難學(xué)的。［1］127同時(shí)，部分教師也認(rèn)為，乘法分配律比較難教。［2］91基于證據(jù)進(jìn)行教學(xué)決策和實(shí)施教學(xué)行為，可使教學(xué)更有科學(xué)性。這里的“證據(jù)”是指經(jīng)教育教學(xué)研究證實(shí)的，能夠有效促進(jìn)教學(xué)或規(guī)避教學(xué)問題的憑據(jù)。采用循證教學(xué)設(shè)計(jì)，對乘法分配律的教學(xué)進(jìn)行深入探索，有助于師生雙方共同突破這一教學(xué)難點(diǎn)。

一、乘法分配律循證教學(xué)設(shè)計(jì)的理論和實(shí)踐證據(jù)

為了基于證據(jù)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，需要深入探究教學(xué)理論證據(jù)和教學(xué)實(shí)踐證據(jù)。教學(xué)理論證據(jù)為教學(xué)實(shí)踐證據(jù)的搜集與整理提供了明確的方向，而教學(xué)實(shí)踐證據(jù)中所揭示的特定教學(xué)實(shí)踐困境，反過來又能指引教學(xué)理論證據(jù)的再找尋。如此，形成了以證據(jù)為導(dǎo)向，教學(xué)理論證據(jù)和教學(xué)實(shí)踐證據(jù)相互作用，共同指向教學(xué)過程的循證教學(xué)設(shè)計(jì)模式（如圖1）。下面結(jié)合循證教學(xué)設(shè)計(jì)模式，對乘法分配律循證教學(xué)設(shè)計(jì)的理論和實(shí)踐證據(jù)予以說明。

（一）乘法分配律教學(xué)設(shè)計(jì)的理論證據(jù)

加涅根據(jù)信息加工理論構(gòu)建了學(xué)習(xí)過程的基本模式，并強(qiáng)調(diào)教學(xué)需要通過合理安排可靠的外部條件來支持、激活和促進(jìn)學(xué)習(xí)的內(nèi)部機(jī)制。［3］教學(xué)設(shè)計(jì)屬于學(xué)習(xí)的外部條件。依據(jù)加涅提出的教學(xué)事件與內(nèi)部學(xué)習(xí)過程的對應(yīng)關(guān)系，筆者設(shè)置了指引乘法分配律教學(xué)設(shè)計(jì)理論證據(jù)搜集的問題鏈：①如何設(shè)計(jì)教學(xué)情境以更好地吸引學(xué)生的注意力？②如何確立學(xué)習(xí)目標(biāo)以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情？③學(xué)生需要從長時(shí)記憶中提取哪些與乘法分配律相關(guān)的知識經(jīng)驗(yàn)？④學(xué)生應(yīng)從情境中提取哪些關(guān)鍵信息？⑤在理解乘法分配律時(shí)，學(xué)生可能會遇到哪些認(rèn)知障礙？⑥在運(yùn)用乘法分配律時(shí)，學(xué)生可能會遭遇哪些困難？⑦如何幫助學(xué)生更好地鞏固乘法分配律？⑧如何引導(dǎo)學(xué)生遷移應(yīng)用乘法分配律解決實(shí)際問題？

（二）乘法分配律教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)踐證據(jù)

以“乘法分配律”為主題和關(guān)鍵詞，對公開發(fā)表的教學(xué)設(shè)計(jì)（實(shí)錄）和教材比較等文獻(xiàn)進(jìn)行篩選，以此作為乘法分配律教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)踐證據(jù)的重要來源。這一證據(jù)庫匯聚了來自全國各地的豐富教學(xué)資源和教材分析，為乘法分配律的教學(xué)設(shè)計(jì)提供了全面的視角。結(jié)合理論證據(jù)提出的問題鏈，筆者對這些實(shí)踐證據(jù)進(jìn)行了系統(tǒng)整理，總結(jié)出促進(jìn)有效學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)和可能干擾學(xué)習(xí)的教學(xué)問題。同時(shí)，也為進(jìn)一步完善乘法分配律教學(xué)設(shè)計(jì)的理論支撐提供重要的參考。具體的乘法分配律教學(xué)設(shè)計(jì)理論和實(shí)踐證據(jù)，詳見下文的循證教學(xué)過程設(shè)計(jì)。

二、乘法分配律的循證教學(xué)過程設(shè)計(jì)

本研究以人教版教材四年級下冊“乘法分配律”為教學(xué)內(nèi)容，通過深入剖析乘法分配律與核心素養(yǎng)（推理意識、模型意識、符號意識、創(chuàng)新意識等）之間的內(nèi)在聯(lián)系，制定明確的教學(xué)目標(biāo)。在此基礎(chǔ)上，圍繞“情境引入—探究新知—課堂練習(xí)—課堂小結(jié)—拓展思考”的流程設(shè)計(jì)教學(xué)，并在每個(gè)環(huán)節(jié)，結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容闡明這樣設(shè)計(jì)的理論和實(shí)踐證據(jù)。

（一）情境引入

實(shí)踐證據(jù)表明，由于缺乏相關(guān)的生活經(jīng)驗(yàn)，尤其是對挖坑、種樹、抬水、澆樹等植樹的分工缺乏了解，學(xué)生普遍對教材中關(guān)于植樹的情境感到陌生，因而無法產(chǎn)生探究的欲望。［4］45同時(shí)，學(xué)生容易誤解情境信息（如把“4人負(fù)責(zé)挖坑、種樹”理解為“4個(gè)人挖坑，4個(gè)人種樹”），導(dǎo)致列出錯(cuò)誤的算式。［5］15因此，教師需要對教材中的情境進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。

問題1：請用綜合算式，呈現(xiàn)以下三道題目的計(jì)算過程（如圖2）。

通過學(xué)生的嘗試和教師的引導(dǎo)，可得出以下三個(gè)綜合算式（等式）：

14×（2+10）=14×2+14×10

（6+3）×3=6×3+3×3

175×4+125×4=（175+125）×4

【設(shè)計(jì)意圖】在學(xué)生學(xué)習(xí)乘法分配律之前，教材已多次通過實(shí)際例子展示了乘法分配律的應(yīng)用，幫助學(xué)生初步建立了分配意識。這些例子分別為二年級上冊的乘加、乘減，三年級上冊的多位數(shù)乘一位數(shù)，三年級下冊的兩位數(shù)乘兩位數(shù)、長正方形組合求面積，以及四年級上冊的三位數(shù)乘兩位數(shù)、行程中的相遇問題，等等。為了幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用乘法分配律，筆者對這些已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行歸類，設(shè)計(jì)了上述三種學(xué)生熟悉的舊知情境引入教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生感知學(xué)習(xí)乘法分配律能幫助他們更加系統(tǒng)地理解這些“先行應(yīng)用”的知識，從而使學(xué)生形成學(xué)習(xí)期待。而要求學(xué)生列出綜合算式，則是為了防止學(xué)生過分依賴分步計(jì)算，從而使其更易于發(fā)現(xiàn)和理解乘法分配律的規(guī)律。

（二）探究新知

1.發(fā)現(xiàn)乘法分配律的規(guī)律

實(shí)踐證據(jù)表明，直接告知學(xué)生乘法分配律的教學(xué)方式，其效果普遍不佳。通過單一等式來揭示一個(gè)共性規(guī)律，對學(xué)生來說不容易理解。［4］45基于發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論，教師應(yīng)設(shè)計(jì)相應(yīng)的學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生親自經(jīng)歷知識的發(fā)現(xiàn)過程。［6］113因此，教師應(yīng)提供相應(yīng)的學(xué)習(xí)材料，讓學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)乘法分配律的規(guī)律。

問題2：仔細(xì)觀察三個(gè)等式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

14×（2+10）=14×2+14×10

（6+3）×3=6×3+3×3

175×4+125×4=（175+125）×4

教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“兩個(gè)數(shù)的和”與“一個(gè)數(shù)”之間的乘積關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)其背后的規(guī)律，即兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把它們與這個(gè)數(shù)分別相乘，再相加。

【設(shè)計(jì)意圖】三個(gè)等式分別囊括乘法分配律的左右分配律及其逆運(yùn)算。通過對這三個(gè)綜合算式的比較，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)三個(gè)綜合算式的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即“兩個(gè)數(shù)的和”與“一個(gè)數(shù)”之間的乘積關(guān)系。

2.理解乘法分配律及其成因

實(shí)踐證據(jù)表明，學(xué)生無法較好地理解乘法分配律的意義。［2］92根據(jù)探究學(xué)習(xí)理論，知識不應(yīng)被當(dāng)作絕對真理教給學(xué)生，而應(yīng)作為有證據(jù)的結(jié)論。［6］135因此，教師可鼓勵(lì)學(xué)生自主舉例子進(jìn)行論證，以深化對乘法分配律及其成因（即是什么和為什么）的理解。

問題3：你能再舉幾個(gè)類似的例子嗎？并說明為什么等式兩邊相等。

教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過計(jì)算驗(yàn)證、“幾個(gè)幾”的算理驗(yàn)證、點(diǎn)子圖的數(shù)數(shù)驗(yàn)證和幾何圖形的面積驗(yàn)證等多種方式說明等式左右兩邊相等。

【設(shè)計(jì)意圖】論證說明所舉等式兩邊相等的過程，不僅有助于學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，還能培養(yǎng)他們因果推斷的意識。

3.乘法分配律的表示方法

乘法分配律的文字定義：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把它們與這個(gè)數(shù)分別相乘，再相加，這叫作乘法分配律?；诖耍滩挠米帜竌、b、c表示乘法分配律，引導(dǎo)學(xué)生感悟乘法分配律模型的普適性，從而培養(yǎng)學(xué)生的模型意識，使他們認(rèn)識到符號表達(dá)運(yùn)算規(guī)律具有一般性，滲透符號意識。然而，實(shí)踐證據(jù)表明，由于字母a、b、c較為抽象，學(xué)生在使用公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，容易混淆乘法分配律與乘法結(jié)合律［1］127，這與使用相似的字母a、b、c，導(dǎo)致二者區(qū)分度較低有一定的關(guān)系。為此，教師需要引導(dǎo)學(xué)生對教材的表示方法進(jìn)行調(diào)整。

問題4：用字母怎么表示乘法分配律？

教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將教材中的字母a、b、c更換為字母m、a、b，并用字母m表示“一個(gè)數(shù)”，用字母a+b表示“兩個(gè)數(shù)的和”，從而區(qū)分乘法分配律與乘法結(jié)合律以及“一個(gè)數(shù)”與“兩個(gè)數(shù)的和”。

據(jù)此，乘法分配律可以表示為：m×（a+b）=m×a+m×b或（a+b）×m=a×m+b×m。

【設(shè)計(jì)意圖】通過字母a、b的緊密性，確?！皟蓚€(gè)數(shù)的和”作為一個(gè)整體思想得以延續(xù)。同時(shí)，m在公式中的不變性使分配過程具象化，即m穿透括號分別與a、b作用。［7］這種方法降低了學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，突破了將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言表述乘法分配律的實(shí)踐難題。

（三）課堂練習(xí)

涉及乘法分配律的變式應(yīng)用具有高度的靈活性，往往會給學(xué)生帶來運(yùn)用上的困難。因此，筆者結(jié)合實(shí)踐證據(jù)，設(shè)計(jì)了一系列需要對比辨析的練習(xí)題，幫助學(xué)生突破易錯(cuò)點(diǎn)和易混淆點(diǎn)。

問題5：（1）下面哪些算式是正確的？正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”，并說明理由。

56×（19+28）=56×19+28 （ ）

32×（7×3）=32×7+32×3 （ ）

（2）計(jì)算題。

計(jì)算99×101。

計(jì)算99×57+99。

【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)上述練習(xí)題旨在解決乘法分配律應(yīng)用中以下幾類易錯(cuò)點(diǎn)和易混淆點(diǎn)：①正向應(yīng)用乘法分配律公式的易錯(cuò)點(diǎn)，即a×（b+c）=a×b+c［8］；②與乘法結(jié)合律混淆的易錯(cuò)點(diǎn)；③需靈活拆分?jǐn)?shù)的乘法分配律簡便運(yùn)算難點(diǎn)［2］92；④需識別省略或補(bǔ)上乘數(shù)1的乘法分配律逆運(yùn)算難點(diǎn)［1］127。

（四）課堂小結(jié)

實(shí)踐證據(jù)表明，學(xué)生課后遺忘乘法分配律的速度較快。［4］45本研究采取結(jié)構(gòu)化整合的教學(xué)策略，引導(dǎo)學(xué)生沿著“數(shù)學(xué)思維—數(shù)學(xué)結(jié)論—數(shù)學(xué)價(jià)值觀念”的結(jié)構(gòu)化整合路徑，對乘法分配律的學(xué)習(xí)進(jìn)行回顧與反思，旨在幫助學(xué)生構(gòu)建緊密關(guān)聯(lián)且可持續(xù)發(fā)展的乘法分配律圖式。

問題6：本節(jié)課經(jīng)歷了怎樣的探究過程？得到了什么數(shù)學(xué)結(jié)論？運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？體會到了哪些數(shù)學(xué)價(jià)值觀念？

【設(shè)計(jì)意圖】通過一系列問題，在幫助學(xué)生鞏固乘法分配律相關(guān)知識的同時(shí)，讓學(xué)生反思乘法分配律的發(fā)現(xiàn)過程及其中蘊(yùn)含的思想方法，從而感悟數(shù)學(xué)的思維訓(xùn)練價(jià)值、發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新價(jià)值和學(xué)科育人價(jià)值。

（五）拓展思考

學(xué)生在掌握乘法分配律后，會產(chǎn)生“有除法分配律嗎？有三個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘的規(guī)律嗎？”［5］15等疑問。為了滿足學(xué)生對未知的探索需求，并借此機(jī)會提供強(qiáng)化練習(xí)，特設(shè)計(jì)以下拓展思考內(nèi)容。

問題7：（1）在（ ）里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

167×2+167×3+167×5=167×（ ）

28×225?2×225?6×225=（ ）×225

39×8+6×39?39×4=（ ）×（ ）

*（2）如果m、a、b代表任何數(shù)字，符號□和■代表+、?、×、÷中的任何一個(gè)，等式m□（a■b）=m□a■m□b什么時(shí)候成立？

總是（ ） 從不（ ） 有時(shí)當(dāng)（ ）。

原因： 。

【設(shè)計(jì)意圖】選擇教材中的※號題，適度拓展乘法分配律的應(yīng)用范圍，編制一些更具推廣意義的一般性思考題。鼓勵(lì)學(xué)生勇于探索一些開放性、非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

雖然基于證據(jù)的教學(xué)設(shè)計(jì)從理論層面確保了教學(xué)決策的科學(xué)性，但是其實(shí)際教學(xué)效果仍需經(jīng)過實(shí)踐的檢驗(yàn)。期望廣大一線教師能夠積極踐行循證教學(xué)理念，并通過教學(xué)反思與再實(shí)踐，不斷充實(shí)和完善教學(xué)證據(jù)庫。

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（1.上海師范大學(xué)教育學(xué)院

2.內(nèi)江師范學(xué)院教學(xué)科學(xué)研究院）

*本文系2020年四川省教育科研資助金項(xiàng)目重點(diǎn)課題“差錯(cuò)診斷與差錯(cuò)控制——數(shù)學(xué)教與學(xué)解困新路探究”（課題編號：SCJG20A049）的研究成果。趙思林為本文的通訊作者。