基于關鍵信息構建數量關系的價值意蘊與學習路徑

【摘 要】解決問題是小學數學的重要組成部分。教師以關鍵信息為抓手，從解決問題需探究真實情境中蘊含的關系出發，提出關鍵信息是構建數量關系的核心要素，強調通過關鍵信息的表征構建數量關系，構建由關鍵信息到數量關系的解決問題學習路徑。

【關鍵詞】解決問題；數量關系；關鍵信息

解決問題是小學數學的重要組成部分，也是公認的教學難度大、學生出錯多的內容之一。教師就如何在引導學生理解問題、構建解決問題的方法和策略感到困惑。因此，亟須突破這一教學困境，以提升教師的教學能力以及學生解決問題的能力。

一、解決問題需探究真實情境中蘊含的關系

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）強調，解決問題要“探索真實情境所蘊含的關系”。真實情境所蘊含的關系，實際上指隱藏在各類信息背后的數學現象，對關系的理解即是對問題的理解。

在人教版教材一年級上冊“6～10的認識和加減法”單元中，教材編排了“用加法解決實際問題”（如圖1），這是學生首次接觸解決問題的教學內容，旨在引導學生探索數學關系，自主構建基于數量關系的解決問題模式。

教材呈現的是由一幅圖和一個問號組成的情境，讓學生觀察情境，發現隱含在其中的數量之間的關系，并運用這些關系來描述和表達一個數學故事。這個故事其實就是一個應用問題：左邊有4只兔子，右邊有2只兔子，一共有幾只兔子？

將左邊的4只兔子和右邊的2只兔子合并，即可得出所要求的總數。這種合并關系在數學上被描述為加法，表述為4＋2＝6。這就是2022年版課標指出的“數量關系主要是用符號（包括數）或含有符號的式子表達數量之間的關系或規律”。同時，它還強調“要在理解四則運算意義的基礎上，引導學生理解現實問題中的加法模型是表示總量等于各分量之和”。

解決問題是一個以算式為工具、數學思維為核心的過程，涉及數學推理。上述案例中，從數量關系的視角審視情境，能清晰地揭示數學問題的結構，也就是教材呈現的由2個信息（條件）和1個問題組成的數學故事。

因此，在解決問題的教學中，教師應引導學生探究真實情境中蘊含的關系，通過關系把握問題的結構，體會數學故事的內涵。這有助于學生用數學的眼光觀察現實世界，發現數量關系，用數學語言表達數量關系，進而用數學思維去思考，用推理和運算解決問題。

二、關鍵信息是構建數量關系的核心要素

在引導學生探究真實情境所蘊含的關系，并把握問題結構的過程中，關鍵信息起到至關重要的作用。關鍵信息不僅是構建數量關系的核心要素，還是學生探索問題、理解結構的關鍵所在。

關鍵信息指的是在真實情境中，對問題解決或決策制定產生重大影響的主要因素或條件，包括真實情境中的概念、規則或事件等。關鍵信息直接關聯著數量關系，對其的理解和把握，實際上就是對真實情境中數量關系的深化理解。

在人教版教材三年級上冊“歸總問題”中，例題為“6元一個的碗，媽媽買了6個。用這些錢買9元一個的碗，可以買幾個？”這一應用問題中“用這些錢”就是關鍵信息。它揭示了問題背后的數量關系，即總價與數量之間的關系。真實情境描述了兩個數學事件，從邏輯層面分析，“這些錢”不僅表示第一個事件描述的“6元一個的碗，媽媽買了6個”的總價，同時也構成了第二個事件“9元一個的碗可以買幾個ni9IS8NpjRbbymoZK9+lduoOzysjU6lXRIbFrx36BUQ=”的總價。這里的“這些錢”既是前一個事件的總價，也是后一個事件的總價。正是基于“這些錢”的同一性，兩個事件之間建立了數量關系：6×6＝36＝9×（ ）。因此，對于“這些錢”的把握和理解是解決問題的核心所在。只有理解了“這些錢”所蘊含的數量關系，才能用乘法和除法的式子表達數量之間的關系或規律，進行推理和運算。

教師在教學中要引導學生深入理解和表征這些關鍵信息，運用數學方法分析問題，進而自主構建基于數量關系的問題解決模型。從真實情境中提煉與數學相關的信息，并確定解決問題的關鍵信息，是提升學生解決問題能力的重要途徑。

為尋找和確定真實情境中的關鍵信息，學生需要明確情境中蘊含的關系，認識這些關系在構建數量關系中的價值。例如，在解決“美術興趣小組中，女生有24人，女生人數比男生人數多[13]，男生有多少人？” 這類稍復雜的分數除法問題時，教師需要引導學生理解“多[13]”這一關鍵信息的含義，即“女生比男生多的人數是男生的[13]”。明確“多”的是什么，以及“多”的是誰的[13]，可幫助學生清晰地構建女生和男生人數之間的數量關系，并據此建立乘法模型。學生只有基于這樣的理解，才能準確建立兩個數量之間的關系，進而利用數量關系解決問題。

三、通過關鍵信息的表征構建數量關系

教師要精心設計學習活動，利用關鍵信息進行表征，撬動學生數學思維的支點。學生只有對關鍵信息有了深刻的理解，才能將其轉化為解決問題的有效工具。

例如，在人教版教材五年級上冊“相遇問題”中，例題為“小云家和小林家相距4.5千米。周日早上9：00兩人分別從家里出發，騎自行車相向而行，小云每分鐘騎200米，小林每分鐘騎250米，兩人何時相遇？”這一應用問題的“關鍵信息”在于理解相向而行中“相遇”的數學含義。“相遇”指的是小云和小林兩人所騎行的路程之和等于全程4.5千米。為了幫助學生直觀理解這一關系，教師應鼓勵學生通過畫線段圖的方式，將兩人從開始騎行到相遇的全程展現出來。畫線段圖的目的在于清晰地展示兩人騎行路程與全程之間的數量關系，學生可以通過數學算式或方程來表達這一數量關系，即小云騎行的路程+小林騎行的路程=4.5千米（如圖2）。

這種數量關系的清晰描述為學生提供了解決問題的依據。當學生能夠基于關鍵信息對其進行個性化的解讀和表征，通過探索、操作和交流，構建出兩人騎行路程和全程之間的關系時，他們便找到了解決問題的關鍵。對這種“相遇問題”的解析可以應用至其他類似的實際問題中，如兩人共同完成一項工程、兩人一起完成1000個字的打字任務或兩人一起運完一批貨等。這些現象都具有相同的結構和含義，即兩人共同完成某項任務。從把握關鍵信息的本質含義出發，并以“相遇問題”為例理解類似實際問題的內在一致性，學生可以更有效地構建解決問題的模型，實現從一道題到一類題的跨越。

四、構建由關鍵信息到數量關系的解決問題學習路徑

從關鍵信息出發，直至解決問題，是一個呈現現實情境，從現實情境蘊含的豐富信息中提煉與數學相關的信息，識別并確定關鍵信息，運用數學方法對其進行分析和表征，進而利用數量關系達成目的的過程。

（一）發現問題，確定關鍵信息

從現實情境中發現數學問題，并進一步探尋和確定關鍵信息，這體現了“發現問題”的能力。例如，在人教版教材三年級上冊“用估算解決問題”（如圖3）的教學中，其教學目標在于使學生理解估算的價值，掌握用估算解決問題的基本策略，并能根據具體情境靈活應用這些策略。

在問題情境中，“帶250元買門票夠嗎”揭示了所帶的錢和買門票所花的錢的關系，它是解決問題的關鍵信息。只有清晰理解和明確關鍵信息，才能進一步解決問題。教師可以引導學生思考：“你們覺得這道題中最重要的信息是什么？”學生回答：“帶250元買門票夠嗎？”教師提問：“如何理解‘夠嗎’？”在此基礎上，進一步啟發學生思考：“你們認為‘帶250元買門票夠嗎？’這一表述揭示了怎樣的數量關系？”

（二）分析問題，對關鍵信息進行表征

分析問題，即深入分析關鍵信息的本質、背景及其影響因素。準確把握關鍵信息的含義與蘊含的關系，找出解決問題中的數量關系。對于關鍵信息 “帶250元買門票夠嗎”，教師要引導學生進行深入剖析，采用畫示意圖、文字描述、算式符號等方式進行表征，明確所帶的錢和應花的錢的關系，構建數學模型，為解決問題提供有力的支持。教師可以設計如下學習活動。

（1）學習活動：表征關鍵信息

教師引導：你們能否用自己喜歡的方式（如畫線段圖、列表等）清晰地表達這一關系？并提示學生，完成表征后，可以輕聲與同桌交流，分享自己的表達方式和對關鍵信息的理解。

（2）作品分享：理解關鍵信息

教師引導：來看看同學們的作品，他們說清楚誰和誰的關系了嗎？（如表1）

教師進一步引導：觀察這些作品，你們發現了什么共同點？（都是把實際的價格和250元進行比較）

這種數量關系的可視化處理，實際上是將兩個量的大小進行直接的比較。通過這一學習活動，學生對關鍵信息進行個性化的表達和描述，為解決問題奠定了堅實的基礎。

（三）解決問題，應用關鍵信息

學生通過對關鍵信息的解讀和表征，構建了要帶的錢和要花的錢的關系，即本題的數量關系。運用數量關系使問題得以解決。

【教學片段1】

師：同學們在對實際的價格和250元進行比較時，發現這個實際的價格很重要。那么，我們該用什么方法來計算實際的價格呢？請你們在學習單的空白處列出算式。

（學生獨立進行列式計算）

師：說一說，你們是怎么利用這個關系來列算式的？

展示方法1：29×8=232（元）。

展示方法2：30×8=240（元）。

師：兩種方法有什么區別？為什么把29估成30也能解決問題呢？

生：因為按30人算，買門票需要240元，所以29人買門票250元肯定夠。

生：因為 29小于30，30×8=240，29×8小于240，所以29×8小于250 。

師：也對，30人買門票需要240元，所以29人買門票250元肯定夠。不管是估算還是精算，都能解決問題。那你更喜歡哪種方法？

生：我喜歡用估算的方法。

師：看來大家都很喜歡估算，為什么呢？

師生總結：如果想知道夠不夠，用30×8這樣的估算方法就能判斷出來。生活中遇到類似的問題，用估算就能解決問題。

對數量關系的明確描述和直觀表達，是解決問題的基礎和關鍵。學生所展示的各類算式，都是基于數量關系進行的數學表達。有了這一數量關系模型，就擁有了解決問題的依據。

（四）拓展問題，強化關鍵信息

學生通過對問題情境中關鍵信息的解讀和表征，構建相應的數量關系，并據此進行運算和推理。那iBsKzrrJx6poxPgMvWd8Hw==么，在面對其他的問題情境時，學生應如何有效解決問題呢？教師需通過拓展問題情境，進一步強化學生對關鍵信息的表征和應用，提升他們基于關鍵信息解決問題的能力。

【教學片段2】

師：回顧剛才的學習過程，我們是怎么解決問題的？

生：通過讀題找到關鍵信息。

生：先運用畫圖、文字描述來表示數量關系，再借助數量關系列算式計算。

（教師出示生活中的問題，如圖4所示）

師：看看這三道生活中的問題，仔細讀一讀，你們有什么發現？

生：三道題都是比較關系的。

師：你們能用已掌握的方法來解決這些問題嗎？請你們任意選一道題，先想想數量之間的關系，再根據數量關系解決問題。

（先讓學生獨立思考，再全班進行交流反饋）

拓展和遷移問題情境，有助于學生思維的發展，幫助他們深化對這類問題的結構化理解，形成基于關鍵信息的思考路徑，構建解決問題的應用模型。

綜上所述，在教學實踐中將關鍵信息作為構建數量關系的核心，通過明確關鍵信息，將其作為激發學生思維的觸發點，引導學生在數學活動中深入理解和表征關鍵信息，確定其中蘊含的數量關系，構建數學模型，有助于學生更好地基于數量關系分析問題和解決問題，進一步發展“四能”，從而提升數學學科核心素養。

參考文獻：

［1］周曉林.關鍵問題：一節課里的種子［M］. 南昌：江西教育出版社，2021.

［2］曹培英，張曉蕓.跨越斷層，走出誤區：小學數學問題解決教學研究［M］. 上海：上海教育出版社，2021.

（浙江省溫州市鹿城區教育研究院）

*本文系2024年浙江省教研規劃課題“小學數學建構合理問題課堂教學模式的區域實踐樣本”（課題編號：G202422）的研究成果。