基于蔡氏模量的復合材料剛度分析方法

摘 要：復合材料各向異性及層狀堆棧的特點使其分析過程中相比金屬材料需要更多的工程常數輸入和剛度等效計算，給復合材料的設計分析帶來了較大的難度和計算量，蔡氏模量的引入為復合材料層壓結構簡化分析提供了新的思路。本文梳理了蔡氏模量、平均主剛度、厚度歸一化、Trace歸一化等概念和方法，通過對不同材料性能的分級統計，定義了具有一定工程普適性的虛擬單向板和主毯式曲線，驗證了差異顯著的碳纖維復合材料歸一化剛度的相似性，主剛度方向數據變異系數小于3%。對機翼翼盒分別采用蔡氏模量估算材料模型和真實材料模型進行有限元分析，估算材料模型與真實材料模型所得到的機翼撓度與最大主應變偏差均小于1%，證實了蔡氏模量作為唯一工程常數在整體復合材料結構分析中的可行性。為結構初始設計階段快速開展方案迭代提供了新的技術途徑。

關鍵詞：蔡氏模量； 不變量； 復合材料； 平均主剛度； 主毯式曲線； 虛擬單向板

中圖分類號：TB330.1 文獻標識碼：A DOI：10.19452/j.issn1007-5453.2024.06.004

基金項目： 航空科學基金（2017ZD03020）

復合材料具有比強度高、比模量高、可設計性強等優點，因此在航空航天領域得到廣泛的應用。但是由于復合材料的各向異性及層狀堆棧等特點，給復合材料結構的建模分析帶來了很大的困難。例如，相對金屬材料而言，復合材料層壓結構設計分析需要更多的工程常數輸入、坐標變換以及剛度等效；當結構材料、幾何厚度或鋪層信息發生變化時，難以通過簡單的線性運算快速完成類似金屬結構的剛度換算，中間需要額外增加大量的矩陣運算。尤其在方案設計階段，選材未確定或材料性能不完整的情況下，難以開展設計分析工作，不利于復合材料結構的高效研發。且較多的工程常數輸入均依賴于大量周期長、成本高昂的物理試驗[1]。復合材料結構工程設計中，迫切需要建立簡單、高效的剛度分析方法。

2014年，Tsai等[2-3]提出了一種新的不變量分析方法，該方法以材料剛度矩陣Q的跡Tr（Q）作為表征材料剛度特性的唯一工程常數，Tr（Q）又被復合材料領域的學者聯名命名為Tsai’s Modulus，即蔡氏模量。通過數據統計發現碳纖維增強復合材料單向板縱向拉伸模量E1與單向板剛度矩陣跡Tr（Q）的比值趨近于0.88，且數據變異系數小于設計工程中不同批次材料模量的離散性。

基于此，Tsai等[4-5]提出了平均主剛度（master ply）的概念，用于確定不同材料的剛度矩陣跡。其以平均主剛度系數和唯一的試驗測量值E1來計算材料的剛度矩陣跡Tr（Q），進而按照平均主剛度系數估算層合板的完整剛度矩陣。由于單向板中纖維主導的剛度占據了88%，所以即使橫向模量E2和剪切模量G12離散系數較高，但復合成多角度層合板之后，橫向模量和剪切模量較高的離散度對層合板的整體剛d55f0a0dbaf7335dbec5b2cb61a0b9eb5cc57872b27a3977eebf1f850b17fc08度影響很小[3]。基于蔡氏模量和平均主剛度的不變量法發現了不同碳纖維增強復合材料歸一化之后存在的相似性，使得復合材料設計分析不再依賴于選材。理想狀態下，針對某種材料僅需要測試其單向板縱向拉伸模量即可確定多向層合板的剛度特性。與此同時，相同材料不同鋪層比例或者相同鋪層比例不同材料之間層合板的剛度可以通過簡單的線性縮放進行換算，避免了煩瑣的矩陣運算[2-3]，在保證計算精度的前提下極大地簡化了復合材料層合板結構設計分析流程和方法。

自2019年以來，基于Tr（Q）的剛度分析方法受到越來越多的關注。Ha等[6]通過理論推導揭示了Tr（Q）是一種表示材料總剛度的材料屬性。另外，通過對多種材料力學性能的統計分析，證實了平均主剛度概念及基于Tr（Q）的剛度線性縮放方法在高模量碳纖維/環氧樹脂基復合材料、標準模量碳纖維/環氧樹脂復合材料以及芳綸纖維/環氧樹脂復合材料中的適用性，但在玻璃纖維/環氧樹脂復合材料中計算誤差偏大。與上述結論不同的是，Guedes等[7]重新評估了不變量理論在芳綸纖維及玻璃纖維增強復197d517823113efddc9ea934fdeb3f1edc0ca65dc53390f9956c96501b3fb1bc合材料中的適用性，發現對于單向層合板，兩種材料的預測精度低于碳纖維復合材料，但對于多向層合板，不變量理論在兩種材料中的預測精度得到顯著改善。

此外，在復合材料設計流程方面，Melo等[8]針對基于Tr（Q）的不變量理論提出了一種新的層合板設計流程。在該流程中，首先基于平均主剛度進行結構設計、分析和優化，然后再進行選材和厚度計算，最終得到層合板的最優方案。該方法完全改變了傳統復合材料結構設計方法，使得復合材料結構設計分析不再與材料本身相關。

蔡氏模量的提出減少了變量數量，極大地簡化了復合材料層合板的設計、分析與優化流程，為實現更輕、更強、更好的復合材料結構設計提供了全新的理論和方法[9]。2021年，Millen等[10]將基于蔡氏模量的不變量理論拓展到編織復合材料和混雜復合材料設計分析中，并提出了一種采用蔡氏模量確定編織復合材料三維剛度矩陣的新方法，性能預測誤差在±10%以內；2022年，Jia Liyong等[11]通過對數百種材料的分類統計，進一步證實了基于蔡氏模量進行簡化設計分析的可行性；2023年，Erik[12]在蔡氏模量基礎上，提出了新的不變量IQ，進一步豐富了不變量理論。

基于蔡氏模量的剛度分析方法可極大地簡化復合材料層合板結構設計分析過程，拓展復合材料層合板的設計空間，同時有望大幅削減積木式驗證體系中底層試樣級物理試驗數量，縮短復合材料結構設計驗證周期，降低設計成本，為層壓結構設計、分析提供了全新的思路和科學理論。

目前的研究局限于少量碳纖維復合材料樣本，缺少大數據樣本驗證。本文在梳理和定義基于蔡氏模量的不變量理論中的一些基本概念和方法的基礎上，采用較大數據樣本對基于蔡氏模量的簡化剛度分析方法進行了驗證，證實了蔡氏模量在復合材料層合板結構簡化設計中的可行性。

1 剛度不變量與蔡氏模量

4 基于不變量的剛度分析驗證

4.1 復合毯式曲線

復合毯式曲線是將多種材料的毯式曲線繪制在一起，可直觀地查看不同材料、不同鋪層比例的層合板剛度屬性差異。本文作者此前通過繪制多種材料的復合毯式曲線直觀地展示了不同碳纖維復合材料層合板在不同鋪層比例下的歸一化剛度系數及歸一化等效彈性常數具有較好的一致性（見圖2）[11]。尤其是在航空工程設計中常用的0°鋪層和90°鋪層比例低于60%的情況下，數據分散度極小，而典型航空層合板（由0°、±45°及90°層組成的層合板）多采用60/ 30/10、50/40/10、40/50/10、30/60/10、25/50/25等鋪層比例。因此可以推斷，不同的復合材料層合板之間，可以通過蔡氏模量及平均主剛度信息進行剛度換算。

4.2 主毯式曲線

主毯式曲線是對不同材料、不同鋪層比例層合板歸一化剛度相似性的定量表征。對前述228種碳纖維復合材料的歸一化毯式曲線求平均值，可以近似得到具有一定普適性的“主毯式曲線”，如圖3所示。

對于結構設計工程師，在需要計算不同材料、不同鋪層比例層合板的等效剛度或者等效工程常數時，可以簡單地通過查詢主毯式曲線，然后按照式（5）、式（6）和式（8）、式（9）線性計算獲得層合板的等效剛度系數或等效工程常數，可避免復雜的矩陣運算，極大地降低工程師的設計分析難度。

4.3 數值驗證

為了進一步證明上述結論，建立復合材料盒段有限元模型，分別采用三種基于蔡氏模量近似估算的材料屬性和真實材料屬性進行有限元分析，對比翼盒整體撓度和應變水平，兩類模型變形趨勢一致（見圖4），估算模型最大撓度與最大主應變相比真實材料模型偏差均小于1%，見表2。可以證實采用估算材料模型對整體復合材料結構進行估算分析誤差可接受。

5 結論

通過研究，可以得出以下結論：

（1） 蔡氏模量可以作為唯一的工程常數，結合平均主剛度、主毯式曲線以及虛擬單向板開展復合材料結構初步方案設計和性能估算。對于典型的航空層合板，估算結果與真實材料有限元分析結果偏差可控制在3%以內。

（2） 采用主毯式曲線及基于蔡氏模量的線性縮放降低了復合材料層合板的分析難度，便于工程師快速開展結構方案設計。

（3） 基于蔡氏模量建立不依賴于選材的復合材料設計流程，可以實現材料驗證與方案設計同步并行，簡化設計流程，提高設計效率。

參考文獻

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Stiffness Analysis on Composite Materials Based on Tsai’s Modulus

Jia Liyong， Ma Suhui

AVIC The First Aircraft Institute， Xi’an 710089， China

Abstract： The anisotropy and layered stacking characteristics of composite materials require more engineering constant inputs and stiffness equivalent calculations compared to metal materials in the analysis process， which brings greater difficulty and computational complexity to the design and analysis on composite materials. The introduction of the Tsai’s modulus provides a new approach for simplifying the analysis on composite laminated structures. This paper summarizes the concepts and methods of Tsai ’s modulus， average principal stiffness， thickness normalization， and Trace normalization. Through graded statistics of different material properties， virtual unidirectional lamina and principal carpet plot with certain engineering universality are defined， and the similarity of normalized stiffness of carbon fiber composite materials with significant differences is verified. The coefficient of variation of the principal stiffness is less than 3%. The finite element analysis on the wing box was conducted using the Tsai’s modulus estimation material model and the real material model， respectively. The deviation between the wing deflection and maximum principal strain obtained from the estimated material model and the real material model was less than 1%， confirming the feasibility of using the Tsai’s modulus as the only engineering constant in the analysis on the entire composite material structure. This provides a new technical approach for rapid scheme iteration in the initial design stage of the structure.

Key Words： Tsai’s modulus； invariant； composite material； master ply； principal carpet plot； virtual laminar