一類多渦卷Chua系統及其在圖像加密中的應用

摘要： 為使混沌序列表現出更復雜的特性，在典型的Chua系統上引入了分段線性函數，使所得的系統產生可控數量的多渦卷吸引子。對該系統進行動力學分析，分析結果表明，該系統混沌特性分布廣泛，具有豐富的動力學行為。在此基礎上，提出了一種基于Zigzag置亂和DNA編碼的加密算法，并從多個方面對該算法的安全性進行了分析。仿真結果驗證了該方法不僅能對圖像進行有效加密，而且能有效抵抗各種常見的攻擊，為圖像加密提供了理論依據。

關鍵詞： 多渦卷Chua系統；混沌序列；圖像加密；Zigzag置亂；DNA編碼

中圖分類號： TP391.9；O415.5文獻標識碼： A

A Multi-scroll Chua System and Its Application in Image Encryption

LIU Siyang， AN Xinlei， SHI Qianqian， WANG Yue

（School of Mathematics and Physics， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， China）

Abstract：In order to make the chaotic sequence show more complex characteristics， a piecewise linear function is introduced into the typical Chua’s system to produce a controllable number of multi-scroll attractors. The dynamic analysis of this system is performed， and the results illustrate that the chaotic characteristics of the system are widely distributed and have rich dynamic behaviors. On this basis， an encryption algorithm based on Zigzag scrambling and DNA coding is proposed， and its security is analyzed from multiple aspects. ThNgLQlFr6aWgp8bQk16P3g==he simulation results indicate that this method can not only encrypt the image effectively， but also resist a variety of common attacks effectively， which provides a theoretical basis for image encryption.

Keywords： multi-scroll Chua system; chaotic sequence; image encryption; Zigzag scrambling; DNA coding

0 引言

近年來，隨著5G技術以及物聯網的發展，網絡系統和分布式多媒體系統在通信技術中得到了大量發展，圖像在日常通訊、商業、軍事、教育及醫療等方面得到更加廣泛的應用［1］。在信息發送和接收設備發展較為完備的同時，也為非法訪問并獲得通信數據提供了便利，因此圖像信息安全已成為一項重要而緊迫的問題。

隨著混沌理論逐漸成熟，越來越多的學者將混沌系統用于圖像加密的研究工作中?；诨煦缦到y的數字圖像加密算法的安全程度取決于混沌序列的復雜度，混沌系統復雜范圍越廣，應用于加密算法的安全性越高［2］。因此，設計一個新的較為復雜的混沌系統在通信保密方面具有重大意義。近年來，一些學者在混沌系統的設計上提供了新的思路［35］。禹等［3］以變型蔡氏電路和四階蔡氏電路為例，提出一種研究四維系統中多渦卷混沌與超混沌吸引子的方法，為多渦卷混沌系統設計提供了新的思路。賈等［4］采用對數函數序列構造了一個新Chua多渦卷混沌系統，并設計一個遞歸反步控制器控制Chua多渦卷混沌系統中的混沌行為。Sahoo等［5］以Chen系統和Lu系統為例，將原系統的一個非線性項乘以一個非線性函數，得到多翼吸引子，通過改變新添加的非線性函數的參數來改變平衡點的數量，通過改變平衡點的數量來改變翅膀的數量。在圖像加密應用方向，文獻［6，7］在神經元模型中引入磁通變量，提出一類基于電磁感應的神經元模型，應用于圖像加密具有較好的加密效果。擺等［8］提出一種三渦卷混沌系統并進行了電路模擬，結合DNA算法設計了一種彩色圖像加密算法。文獻［913］通過分段耦合兩個或者多個低維混沌系統生成一個新的混沌系統，再結合圖像置亂擴散算法，取得較好的加密效果。除了整數階混沌系統外，近年來，許多學者提出基于分數階混沌系統的加密算法，例如文獻［1417］均設計了一類基于分數階混沌系統的圖像加密算法，該類算法加密效果好，但運算時間相對較長。Wu等［18］提出了一種基于CML的NCA時空混沌，結合DNA序列操作、一次性密鑰設計了一種彩色圖像加密算法。方等［19］提出一個新四維超混沌，生成的偽隨機序列作為密鑰流，并利用密鑰流對彩色圖像像素塊進行置亂及像素擴散運算。

本文提出了一類基于多渦卷蔡氏電路混沌系統的圖像加密方法。在經典的Chua系統基礎上引入分段線性函數，形成一個新的多渦卷Chua混沌系統。相比經典的Chua系統，該系統產生的混沌序列更為復雜；相比廣義的四維變式Chua系統，該系統運算速度更快。利用多渦卷Chua混沌系統產生混沌序列，結合Zigzag置亂和DNA編碼設計了一個新的數字圖像加密算法。相關的安全性分析和仿真試驗表明，該加密算法安全性高，速度快且易于實現。

1 系統描述

1986年，Chua等［20］提出經典的Chua系統，在此系統上引入多分段線性函數f（x），用該函數產生多渦卷Chua系統描述如下：

=ay-f（x）=x-y+z=-by（1）

其中，多分段線性函數f（x）的表達式為［3］

f（x）=mNx+0.5∑Ni=1（mi-1-mi）（|x+Ei|-|x-Ei|），N=，3，…

f（x）為奇函數，可用于產生偶數個渦卷，N用于控制系統產生渦卷的個數，當N=n，n=，3，…時，可產生n+1個渦卷吸引子，En用遞歸公式（1+2∑n-1i=1m0mi）E1表示。例如，取m0=m2=m4=-0.5，m1=m3=m5=0.5，E1=1.3，當N=5時，可得到六渦卷吸引子；當N=7時，可得到八渦卷吸引子。

在系統（1）中，分別令a=10，b=15，m0=m2=m4=-0.5，m1=m3=m5=0.5，E1=1.3；初始值為x0=1，y0=1，z0=1；分別取N=5，N=7，產生的多渦卷吸引子如圖1所示。

2 動力學分析

2.1 平衡點穩定性分析

以N=5為例研究多渦卷Chua系統的動力學特性。對于系統（1），固定參數a=10，b=15，m0=m2=m4=-0.5，m1=m3=m5=0.5，E1=1.3，初值為x0=1，y0=1，z0=1，令

ay-f（x）=0x-y+z=0-by=0

數值計算求得系統（1）有6個平衡點S1=（0，0，0），S2=（2.6，0，-2.6），S3=（5.2，0，-5.2），S4=（7.8，0，-7.8），S5=（10.4，0，-10.4），S6=（13，0，-13）。其中平衡點S1，S3，S5有相同的特征值λ1=6.049 4，λ2，3=-1.024 7±3.368 7i，這表明S1，S3，S5均為指標1的鞍焦點，用于形成連接渦卷之間的鍵帶；平衡點S2，S4，S6有相同的特征值λ1=-6.301 7，λ2，3=0.150 9±3.446 6i，這表明S2，S4，S6均為指標2的鞍焦點，用于產生渦卷［34］。

2.2 分岔圖和Lyapunov指數譜分析

分岔圖可以直觀地體現出系統運動狀態隨參數改變而發生的變化。Lyapunov指數描述了在一段時間內相空間相鄰軌跡的平均指數發散率，可以看到系統的運動特征。保持系統參數和初始值不變，得到參數a，b關于狀態變量x的分岔圖以及Lyapunov指數譜如圖2所示。

3 基于Zigzag置亂和DNA運算的圖像加密算法

3.1 Zigzag置亂

Zigzag置亂算法能夠有效、快速地改變圖像像素位置，因此廣泛應用于圖像加密領域。該算法從矩陣左上角取一個數字，按Z字型路徑依次掃描矩陣中的數字，將掃描到的數字排成一維數組并重新組合成與原矩陣大小相同的矩陣。本文對上述算法進行改進，把矩陣分為4×4的子塊，從（3，3）位置處開始掃描，如圖3所示。

3.2 DNA編碼操作

DNA編碼是一種生物學上的技術，具有種類特殊性，處理信息時遵循其自身的互補規律，因此融入DNA編碼的加密算法更有保密優勢。一個DNA序列由4個核酸堿基組成，分別是胞嘧啶（C）、腺嘌呤（A）、鳥嘌呤（G）、胸腺嘧啶（T），其中堿基A和T互補，C和G互補。在二進制系統中，“00”和“11”配對，“01”和“10”配對的規則和DNA堿基配對規則有些類似。對于單通道灰度圖像而言，通常每個像素由8比特的二進制數字表示，把8比特的二進制數字兩兩拆分成四組，可得到四組二進制數字，這就可以和DNA的四種堿基對應起來，于是可以用DNA編碼來存儲圖片中的每個像素值。基于DNA編碼的圖像加密算法需要充分利用有限的DNA編碼種類和DNA操作類型。按照排列組合，DNA四種堿基與四組二進制數字有24種匹配方法，但其中只有8種匹配方法符合Watson-Crick互補規則［21］，如表1中所列。此外，DNA編碼同樣具有加減法、異或等運算規則，在表2中列出。

DNA編碼有其自己的配對規則，即A，T互相配對，C，G互相配對。于是，若堿基xi為堿基L（xi）為的互補對，則xi應滿足公式（2）：

xi≠L（xi）≠L（L（xi））≠L（L（L（xi）））xi=L（L（L（L（xi））））（2）

由式（2）可知，一共有6種組合滿足DNA堿基互補規則，分別在式（3）中表述。在設計加密算法時，可隨機選擇這6種組合中的一種對堿基進行互補置換，這樣可達到像素擴散的目的。

L1（A）=T，L1（T）=C，L1（C）=G，L1（G）=AL2（A）=T，L2（T）=G，L2（G）=C，L2（C）=AL3（A）=C，L3（C）=T，L3（T）=G，L3（G）=AL4（A）=C，L4（C）=G，L4（G）=T，L4（T）=AL5（A）=G，L5（G）=T，L5（T）=C，L5（C）=AL6（A）=G，L6（G）=C，L6（C）=T，L6（T）=A（3）

3.3 加密算法

第1步：輸入明文圖像P（M×N×3），將其分解成紅、綠、藍三色通道，得到分量矩陣PR（M×N），PG（M×N）和PB（M×N）。

第2步：選取參數和初值，使系統（1）處于混沌狀態。先讓系統（1）迭代800次消除暫態效應，然后再迭代MN次得到長度為MN的混沌序列xi，yi和zi，i=，…，MN，將混沌序列按式（4）進行量化處理并排列成矩陣X（M×N），Y（M×N）和Z（M×N）：

x（i）=mod（floor（abs（x（i））×1016），256）y（i）=mod（floor（abs（y（i））×1016），256）z（i）=mod（floor（abs（z（i））×1016），256）（4）

第3步：對分量矩陣PR，PG和PB分別采用改進的Zigzag置亂生成M×N的數字矩陣TR，TG和TB。

第4步：將生成的數字矩陣TR和矩陣X，TG和矩陣Y，TB和矩陣Z分別按式（5）進行第二次置亂得到矩陣TR1，TG1和TB1：

TR1（I（i，j-1），j-i）=TR（I（i，j），j），j>iTR1（I（i，N+j-i），N+j-i）=TR（I（i，j），j），j≤i

TG1（I（i，j-1），j-i）=TG（I（i，j），j），j>iTG1（I（i，N+j-i），N+j-i）=TG（I（i，j），j），j≤i

TB1（I（i，j-1），j-i）=TB（I（i，j），j），j>iTB1（I（i，N+j-i），N+j-i）=TB（I（i，j），j），j≤i（5）

第5步：將數字矩陣TR1，TG1和TB1轉化為M×8N的二進制矩陣，再將得到的二進制矩陣按照第r1種DNA編碼規則轉化為M×4N的DNA矩陣S1，S2和S3。

第6步：將第二步中得到的混沌序列xi，yi和zi分別轉化成長度為M×8N的二進制序列，再將得到的二進制序列按照第r2種DNA編碼規則分別轉化成長度為M×4N的DNA序列，并將得到的DNA序列分別整形為M×4N的矩陣K1，K2和K3用于進行DNA加法操作。

第7步：根據DNA互補規則，將DNA矩陣S1，S2和S3展開成長度為1×4MN的一維DNA序列分別按以下方法進行互補轉化得到DNA序列S1_R，S2_G和S3_B：

若c2i-2=A，則c2i-1=Ll1（d2i-1）；若c2i-2=C，則c2i-1=Ll2（d2i-1）；

若c2i-2=G，則c2i-1=Ll3（d2i-1）；若c2i-2=T，則c2i-1=Ll4（d2i-1）；

若c2i-1=A，則c2i=Ll5（d2i）；若c2i-1=C，則c2i=Ll6（d2i）；

若c2i-1=G，則c2i=Ll7（d2i）；若c2i-1=T，則c2i=Ll8（d2i）。

其中，ci，i=，…，4MN表示互補前展開的一維DNA序列中的元素，di，i=，…，4MN表示互補后所生成的一維DNA序列中的元素，li，i=，…，8表示任意一種互補原則。

第8步：將DNA序列S1_R，S2_G和S3_B排列為M×4N的DNA矩陣DR，DG和DB并與第6步中得到的DNA矩陣K1，K2和K3按照式（6）進行第一輪DNA加法運算得到DNA矩陣DR1，DG1和DB1：

DR1（1）=DR（1）+K1（1）+DR（4MN）DR1（i）=DR（i）+K1（i）+DR1（i-1）

DG1（1）=DG（1）+K2（1）+DG（4MN）DG1（i）=DG（i）+K2（i）+DG1（i-1）

DB1（1）=DB（1）+K3（1）+DB（4MN）DB1（i）=DB（i）+K3（i）+DB1（i-1）（6）

第9步：對DNA矩陣DR1，DG1和DB1再次進行同樣的DNA加法運算得到DNA矩陣DR2，DG2和DB2。

第10步：將得到的DNA矩陣DR2，DG2和DB2按照第r3種DNA編碼規則解碼為二進制矩陣后再轉化為M×N的數字矩陣得到矩陣CR，CG和CB。

第11步：最后，將矩陣CR，CG和CB合并為矩陣C得到最終的加密圖像。

3.4 實驗結果

本文的實驗環境為：內存12GB，處理器Intel Core i77500U（2.7GHz/L3 4M），操作系統Windows 10，仿真軟件為MATLAB R2018b。選擇尺寸均為256×256的彩色圖像Lena和Sailboat圖像進行實驗。保持系統（1）的參數和初始值不變，經過數值仿真得到Lena和Sailboat的加密圖像如圖5b和圖5e所示，相應的解密圖像如5c和圖5f所示。結果表明，采用所提方法對圖像進行加密后能夠有效隱藏明文圖像的信息，說明所提加密算法的有效性。并且明文圖像所隱藏的全部信息在解密后得以完全恢復，這表明了算法具有可行性和有效性。

4 加密算法性能分析

4.1 密鑰空間分析

加密算法的密鑰空間是衡量一個算法是否可以抵抗窮舉攻擊的重要特征。本文所使用的圖像加密系統的密鑰主要包括：系統參數a，b，m0，m1，m2，m3，m4，m5，初始值x0，y0，z0。其中系統參數a，b，m3以及初始值x0，y0，z0的計算精度均為1015，m0，m1，m2，m4，m5的計算精度均為1016；初始堿基c0∈{A，T，G，C}，DNA編碼規則r r2，r3∈［ 8］和DNA互補規則li∈［ 6］，i=，…，8。計算得密鑰空間大小為4×83×68×1015×6+16×5≈2596，遠遠大于密碼系統的理論密鑰空間值2100。另外，在表3中比較了不同算法密鑰空間的大小值，可以看出本文所提算法的密鑰空間相對較大，可以更有效地抵抗窮舉攻擊。

4.2 直方圖分析

圖像的直方圖可以精確、直接地反映出像素值的分布情況，通常用于檢測加密后的圖像是否有抵抗統計攻擊的能力。本節對Lena和Sailboat圖像進行測試，數值仿真結果如圖6所示。圖6a和圖6b分別為Lena和Sailboat明文圖像直方圖，圖6c和圖6d分別為Lena和Sailboat密文圖像直方圖，可以明顯看出密文圖像的像素值分布近似均勻，說明本文所提算法可以有效抵抗統計攻擊。

4.3 相鄰像素間相關性分析

像素的相關性用來描述圖像相鄰像素之間相似的程度。對于加密圖像來說，像素之間的相關性越低就表明加密算法的安全性越高，加密效果越好。本節選取Lena圖像，在R、G、B 3個通道上對水平、垂直、對角3個方向進行測試，在表4中列出了Lena圖像明文和密文的相關系數在R、G、B 3個通道上的計算值，可以看出密文圖像的3個通道中各個方向上相關性的計算值均顯著降低，說明本文算法具有較好的抵抗統計攻擊的能力。另外，在表5中列出不同算法中Lena圖像的相關性數值，與表4中的計算結果相比可以看出本文所提算法具有一定的優越性。

4.4 信息熵分析

信息熵用于描述信息的混亂程度，可以反映圖像信息的隨機性，是測試加密算法是否安全的重要指標。圖像中的信息越混亂，信息熵的值就越大。對于灰度等級為L=256的圖像，其信息熵H的理論值為8。在表6中列出了不同密文圖像信息熵的數值計算結果，信息熵均接近于理論值。此外，在表6中還比較了不同算法下Lena密文圖像信息熵的值，可以看到使用本文所提算法加密后圖像的信息熵更接近于8。

4.5 差分攻擊分析

為了抵抗差異攻擊，加密系統應該確保在原始圖像中有任何微小的修改都會導致加密后的圖像出現顯著差異。評估算法能否抵抗差分攻擊通過平均像素變化率（NPCR）和歸一化平均變化強度（UACI）來判斷。在理想情況下，NPCR和UACI的值分別為99.609 4%和33.463 5%［14］。本文對不同圖像進行實驗，得到表7中的結果。另外在表7中還列舉了不同算法下Lena圖像的測試結果，可見本文算法下的實驗對象NPCR以及UACI平均值均非常接近于理想值，這說明本文所提算法可以有效地抵抗差分攻擊。

4.6 剪切攻擊

在實際傳輸過程中，數字圖像會不可避免地受到噪聲干擾、數據丟失等影響，為檢測本文所提算法抵抗剪切攻擊的能力，本節對Sailboat密文圖像進行不同程度的剪切測試。在圖7中，對Sailboat密文分別進行了116、18和14的剪切，如圖7a、圖7b和圖7c所示，且恢復后得到的圖像分別如圖7d、圖7e和圖7f依次所示。從圖中可以看出，當密文圖像受到不同程度的信息丟失時，解密后仍可獲得明文圖像的主要信息，這表明本文所提算法對噪聲干擾和數據丟失攻擊具有較強的魯棒性。

5 結論

在經典Chua系統中引入多分段線性函數，使混沌系統產生可控的偶數個渦卷，讓多渦卷Chua系統產生的混沌序列復雜性更強。從分岔圖、Lyapunov指數譜等方面對該系統進行數值仿真，驗證結果表明該系統混沌范圍較廣，適用于圖像加密?；诙鄿u卷Chua系統設計了一個彩色圖像加密算法：先對圖像進行Zigzag置亂，為保證加密效果，在Zigzag置亂后再進行一次像素置亂，接著對置亂后的圖像進行DNA編碼操作得到加密圖像。對所設計的加密算法進行安全性測試，測試結果表明該算法的安全性較高，可以有效抵抗各種攻擊，為圖像加密提供了理論依據。在今后的工作中，將繼續研究不同特性的混沌系統并應用于圖像加密算法。

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（責任編輯 李 進）