錯例尋因 溯源究本

平均數、中位數、眾數、極差、方差幫助我們從不同的角度認識數據，掌握處理數據的方法，并做出合理的推斷和預測。但在學習過程中，有些同學常出現理解或計算偏差的錯誤。下面列舉一些典型錯誤，以幫助大家明辨概念，加深理解。

一、概念混淆

例1 已知小明在一次面試中的成績為：創新，87分；唱功，95分；綜合知識，88分。若三項測試得分按3∶6∶1計算，則小明的平均成績是（ ）。

A.90 B.91.9 C.91 D.92

【錯解】[x]=[87+95+883]=90。故選A。

【錯因分析】將加權平均數與算術平均數的概念弄混淆，不能理解加權平均數中“權”的意義。

【正解】[x]=[87×3+95×6+88×13+6+1]=91.9。故選B。

例2 為了解某地的空氣污染問題，工作人員監測了該地連續9天的空氣污染指數PM2.5變化情況，數據如下：61，75，70，56，81，91，92，91，75。那么，該組數據的中位數是（ ）。

A.86 B.81 C.75 D.91

【錯解】B。

【錯因分析】將數據按從小到大的順序排序，當數據個數是奇數時，中位數是最中間的那個數；當數據個數是偶數時，中位數是中間兩個數的平均數。錯解沒理解概念，沒有排序，直接選了最中間的數。

【正解】將該組數據按照從小到大的順序排列：56，61，70，75，75，81，91，91，92。因為有9個數，所以最中間的數75是中位數。故選C。

二、數值誤認

例3 某茶具車間共有16名工人，為了解每個工人的日均生產能力，管理員隨機調查了某一天每個工人的生產件數，獲得數據，如下表。

[生產件數（件） 10 11 12 13 14 15 人數（人） 1 5 4 3 2 1 ]

則這一天16名工人生產的件數的眾數是（ ）。

A.5件 B.11件 C.12件 D.15件

【錯解】D。

【錯因分析】把眾數當成出現的最大的數據。

【正解】眾數是一組數據中出現次數最多的數據。故選B。

三、分類遺漏

例4 若一組數據-1，0，2，4，x的極差為7，則x的值是（ ）。

A.-3 B.6 C.7 D.6或-3

【錯解】A。

【錯因分析】極差是一組數據中最大數與最小數之差。在這組數據中，x可能是最大數，也可能是最小數。因此，x的值有兩種可能，需要分類討論。

【正解】分類討論：（1）若x為最大數，則-1為最小數，所以x為6；（2）若x為最小數，則4為最大數，所以x為-3。因此，x的值為6或-3。故選D。

四、公式不牢

例5 一組數據5，2，x，6，4的平均數是4，這組數據的方差是_____________。

【錯解】10。

【錯因分析】方差是反映一組數據的波動大小的一個量，通常用公式s2=[1n]·［（x1-[x]）2+（x2-[x]）2+…+（xn-[x]）2］來計算。記錯公式及計算能力不過關是造成出錯的主要原因。

【正解】2。

五、思維定式

例6 某班為參加學校運動會，決定對比甲、乙兩名同學的6次成績，選出合適的人選。甲的6次成績為12.0，12.0，12.2，11.8，12.1，11.9，乙的6次成績為11.7，11.8，12.0，12.1，12.1，12.3（單位：s），那么被選中的學生是_____________。

【錯解】甲。

【錯因分析】首先計算出[x]甲=12（s），[x]乙=12（s），再計算出甲、乙成績的方差為[s2甲]=[160]（s2），[s2乙]=[125]（s2），方差越小，越穩定，故選甲。

【正解】通常情況下，由于思維定式，我們普遍認為方差越小，數據波動越小，因此也就越好。其實方差只有大小之分，沒有好壞之分，至于波動大好還是波動小好，還要看這組數據的實際情境。本題是選學生參加運動會，希望能獲獎，因此平均數、方差都要參考，但更應該看重學生的潛在能力。成績上，甲的成績在12秒上下波動，基本上穩定，但乙的成績卻在穩步提升，極具發展潛力。因此，選乙去參加比賽好些。

（作者單位：江蘇省興化市楚水初級中學）