模型建構、解釋及預測系列（5）：云層及雨滴問題分析

不是所有問題都能從書上或網上找到答案，但是掌握了建模方法后，我們可以像科學家一樣思考，對感興趣的某些問題進行簡化、建模，通過分析得出很多有意思的結論，解決面對的問題。

在日常生活中，我們也許有機會坐看云起，注意到云層變幻莫測；也可能注意到毛毛細雨與暴雨的速度明顯不同。這些現象，是否可以通過適當建模進行分析？

一、氣壓及大氣質量

我們經常能看暴雨成災，可能會產生疑問：雨從天上來，天上怎么有這么多水？要理解這一問題，可以先考慮大氣的壓力，并估計大氣的質量。

1.不同天氣的氣壓

水燒開時，會產生大量的水蒸氣，而水蒸氣是向上升的，這表明水蒸氣的密度比空氣小。因此，可以有一個簡單的結論：空氣中水汽越多（潮濕），空氣的密度就小；空氣中水汽越少（干燥），空氣的密度就大。

可能有人會有疑問：如果水汽密度比空氣密度小，那么水汽應該都“跑”到高空去了，地面附近怎么還有水汽呢？這可以從兩個角度來說：①宏觀上密度大在下方，密度小在上方（靜態角度）；但是微觀上，分子不斷運動，少量分子由于隨機運動會出現在不同的位置（動態角度），因此，我們可以看到不同顏色液體之間的擴散現象（如圖1）。②雖然總體上水汽會上升到高空，但是地面（包括沙漠）、海洋時刻都在蒸發來補充水汽，因此地面附近總有一定量的水汽。

根據上述觀點，可以得出一個很有意思的推論：在不同地區，空氣的潮濕程度會影響云層的高度。例如，北京（比較干燥）的云層就很高（如圖2左），而沿海地區（比較潮濕）的云層就很低（如圖2右）。

不考慮空氣流動時，空氣對地面的壓強可以理解為單位面積上受到的空氣重量。空氣越干燥密度越大，所以晴天氣壓高，陰天氣壓低。這是基于簡單事實（空氣分子量大于水的分子量）理解后的分析結果。

2.大氣質量估計

如何估算全球大氣的質量，涉及處理問題的不同方法。

（1）考慮氣體的體積與密度關系

我們容易想到，空氣質量等于空氣的密度乘以空氣的體積。

[m=ρV] """"""""" （1）

對于小范圍的氣體，這一方法可行，但是在計算地球周圍空氣的總質量時，這種方法就不行了，一方面地球表面大氣層的空氣稀薄程度是不同的，海拔高度越高，大氣越稀薄，空氣的密度就越小；另一方面大氣的總體積也是難以估算的。也就是說：式（1）中空氣的密度和體積都難以獲得或難以處理，從而難以用該公式求出大氣的質量。

（2）考慮面積與氣體壓強的關系

另一種思路，考慮大氣壓強是由大氣的重量產生的，根據壓強公式有

[P=mgA]，[m=PAg] （2）

其中地球表面積[A=4πR2]，因此有

[m=4πR2Pg]"" （3）

前面分析中介紹了大氣壓強各地不同，陰天、晴天都有變化，但是在宏觀層面，可以用平均結果來表示。大氣平均壓強[P]約為1.0×105 Pa（1 Pa=1 N/m2），地球半徑為[R]=6378 km=6.378×106 m，[g]=10 m/s2，代入式（3），得到大氣總質量約為5.1í1018 kg。

如果大氣中有0.1%的水分，就會有5.1í1015 kg的水分。所以，天上有遠超出我們想象的水分。實際上科學家估計大氣中水分的比例還要高一些，約為0.25%，因此有時天降暴雨，就可以理解了。

（3）考慮把空氣轉化為水柱

還有一種思路，把大氣壓轉化為水柱的壓強。通常我們都知道1個大氣壓相當于10 m高水柱。這樣一來，大氣的總質量等于以10 m厚度包裹地球的水圈質量。該水圈體積計算可以有兩種方法

[V=43π（R+h）3-43πR3]" （4）

另外，由于水圈厚度[h]相對地球半徑[R]很小，也可以認為水圈體積是球體半徑發生微小變化時（[ΔR]）體積的增量（[ΔV]）。注意[ΔR=h]，對球的體積求差分（類似求導數）得到水圈的體積（如圖3），再算水圈的質量，有

[ΔV=4πR2h] （5）

可以看出，[h]相對[R]很小時，式（5）與式（4）是等價的。

二、云層的相關問題

大氣中的水汽以氣態的形態存在時，肉眼看不見，而當大氣中的水汽冷卻凝結成小水滴時，就能反射陽光，成為能被看見的云或霧了。

可能有人會注意到下雨時云很低，詩人用“黑云壓城”來描述；而秋天時感覺云很高，有“秋高氣爽”的成語。這背后有什么道理嗎？

前面介紹了空氣密度大于水汽的密度，因此水汽上升，另一方面大氣密度隨著高度增加而減少（如圖4，某地區的數據），因此水汽上升到某一高度后，與大氣密度接近，就停留在這一高度，考慮分子自由運動與擴散效果，這一高度應該是一個范圍。如果此處溫度低，水汽就冷凝成為水珠，就會變為云朵。由于風和擴散的影響，云朵的形狀或有變化。

從圖4可以發現：在地面附近，冬天空氣密度大、夏天空氣密度小。這其實可以解釋：冬天天氣干燥（北方冬天容易產生靜電），空氣中的水汽少，密度大（氮氣和氧氣分子量大于水分子量）；夏天空氣潮濕，密度小。當然這里面也有熱脹冷縮的影響。

以圖4為基礎，可以估計云的高度。在標準條件下（0 ℃，1個標準大氣壓），空氣密度約為1.29 kg/m3，而水汽的密度約為0.6 kg/m3，且在水汽上升過程中遇冷體積會收縮，密度會增加一些，粗略估計該地區水汽密度在0.6～1.0 kg/m3，對應的云層高度粗略估計在1～7 km（如圖5）。

這一估計是否有道理呢？網上查閱云層的相關資料，可以了解到：云層高度分為高云族、中云族、低云族、直展云族，積云云底高度在濕度大的地區一般在600～1200 m，在干燥的地區為3000 m。碎積云云底高度一般約在400～l000 m，在潮濕地區出現的高度通常比在干燥地區低近一半；冬季寒冷地區約4500 m，夏季溫暖地區約18000 m；積雨云云頂很高，可達對流層頂8000～12000 m（注意，這是一般的結論，與圖5某地的結論有差別）。

三、雨滴速度問題

大家可能注意到下雨時毛毛細雨與暴雨有一個明顯區別：毛毛細雨是“飄”下來的（速度很小），而暴雨是“砸”下來的（速度很大）。如何建構模型簡要地解釋這一現象呢？

1.雨滴的受力及運動模型

以一滴雨水為研究對象，建立坐標系，以雨滴開始下落的位置為坐標原點，分析雨滴的運動和受力，畫出雨滴的受力圖（如圖6）。

其中[m]是雨滴的質量，[g]是雨滴受到的重力加速度（不考慮高度變化的影響），[F]是雨滴受到的空氣阻力，[v]是雨滴的速度。

根據一般的經驗，物體在空氣中阻力為

[F=12CDSρav2] """ （6）

其中[CD]為空氣阻力系數（通常是常數，一般在1～2），[S]為物體橫截面積，[ρa]為空氣密度。

假設雨滴是球形（實際雨滴形狀復雜，簡化為球體，說明模型是對系統的簡化），半徑為[r]，水的密度為[ρw]，則雨滴的質量為

[m=43πr3ρw] """" （7）

2.雨滴的特征速度

根據雨滴的受力特點，雨滴下降，勢能轉化為動能，因此雨滴的速度越來越大，而速度逐漸增加導致阻力增加。當雨滴受到的阻力等于雨滴的重力時

[F=mg]，[12CDSρav2=43πr3ρwg]"""" （8）

此后雨滴豎直方向受力為[0]，保持勻速運動（嚴格說是趨近于勻速運動）。由式（8）獲得雨滴的極限速度（特征速度）為

[8ρwg3CDSρar=kr] """ （9）

其中[k]是常數。式（9）表明雨滴的最終速度與其半徑有關，該速度也被稱為特征速度（[C]）。以上分析的結果就解釋了暴雨速度大，毛毛細雨速度小的現象。

在雨滴實際下落過程中，其速度很快就接近特征速度[C]。在歸一化處理后（通常把幾個參數進行乘除運算，得到一個無量綱的量），相對時間（[gt/C]）增加時，相對速度（[v/C]）快速接近1（如圖7）。這表明，雨滴從不同高度的云層中落下時，如果半徑相同，落地時速度并沒有明顯差別。

3.遷移：傘兵落地的速度估計

以上建模及分析方法可以遷移到其他方面，如估算降落傘的特征速度。

類似前面分析，對于降落傘，有如下公式

[12CDSρav2=mg]，[v=2mgCDSρa]"""" （10）

其中[CD]為空氣阻力系數，[S]為降落傘的橫截面積，[ρa]為空氣密度，[m]是傘兵及其裝備的質量，[g]是重力加速度。

傘兵跳傘時很快達到其極限速度，正常降落傘張開后面積很大，假設降落傘的直徑是5 m（如圖8，參考人的尺寸），可以得出較小的特征速度。利用式（10）可以大概估算傘兵落地的速度（這也是模型的特點：可以利用理論結果進行估算）。

設[CD≈1.5]，[m≈80] kg，[g=10] m/s2，[ρa≈1.29] k/m3，[S=3.14×2.52] m2[≈]20 m2

代入式（10）計算后，發現落地速度約為是6.5 m/s。這是什么概念呢？根據自由落地時勢能與動能的轉化關系，有

[12mv2=mgh]，[h=v22g] """""" （11）

把落地速度6.5 m/s代入式（11），得到高度約為2.1 m。即正常情況下傘兵落地的沖擊，相當于普通人從2.1 m高度跳下時效果，這一高度應該說還是比較安全的，特別是傘兵都經過了很多訓練。但是如果降落傘出故障沒有打開，這時人的身體截面積相當于[S]（身體橫過來截面積最大也不到0.8 m2），由公式（10）算出的結果大于32 m/s，大于100 km/h，相當于高速公路上的汽車速度，此時傘兵就會有生命危險。

總結

系統與模型是重要的跨學科概念，可以應用于不同的學科領域。一般科研都要對系統進行簡化，獲得模型后，再進行深入研究。從以上案例中可以得出幾點結論或啟示。

實際雨滴并不是圓球，且下落時會吸附周圍的水分，雨滴的質量和半徑都在變化。模型沒有考慮這些更復雜的細節，但是得出的結論基本符合實際情況，這表明了在跨學科概念“系統與模型”中，模型可以有較大的簡化處理范圍，因此師生可以嘗試利用建模的方法，對自己感興趣的問題進行簡化分析。

對于云層高度問題，通過網上查找到的大氣密度曲線（曲線是實際大氣密度的模型），可以對云層的高度進行粗略的估計。雖然圖中大氣密度曲線是某地的，由此得出的結論也只適合當地，但這是處理問題的一般方法，容易推廣到其他地區。所以推出的結論與實際情況還是接近的。

分析中運用了近似估計的方法，得出了大氣的質量，是一種基于證據和邏輯的方法，也是批判性思維的具體體現。

如何根據系統的特點簡化建模，是探究實踐中的重要能力。目前教學中比較缺少建模的訓練。因此，在科學教學中少量介紹一些建模的方法，讓學生自行對一些有趣的現象進行簡化分析，將使他們受益終身。

（作者：清華大學航天航空學院教授，義務教育科學課程標準修訂組成員，“天宮課堂”策劃人）