傳感器位置誤差下TDOA-DOA水下目標被動定位算法

摘 要： 針對水下目標被動定位中傳感器位置誤差帶來的定位精度不高的問題，提出了一種基于兩步最小二乘的到達時間差-波達方向（time difference of arrival-direction of arrival， TDOA-DOA）目標定位算法。首先，構建TDOA-DOA理想化無誤差模型，并利用最小二乘算法對目標位置進行粗估計。其次，考慮測量誤差和傳感器位置誤差，構建目標定位誤差和傳感器位置的聯合方程，并利用加權最小二乘求解。最后，利用目標定位誤差對目標位置粗估計值進行修正，得到更精確的定位結果。仿真實驗表明，所提算法可對目標位置和傳感器位置進行聯合估計，相較于已有算法具有更高的定位精度，更適用于傳感器位置存在誤差情況下的水下目標定位。

關鍵詞： 水下目標被動定位; 傳感器位置誤差; 到達時間差; 波達方向

中圖分類號： TN 911.7

文獻標志碼： A

DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.08.05

TDOA-DOA underwater target passive localization algorithm

with sensor position errors

TANG Qiang^*， SHAO Gaoping， SUN Minglei， SHAO Shuai

（School of Information System Engineering， Information Engineering University， Zhengzhou 450001， China）

Abstract： To address the problem of poor localization accuracy due to sensor position error in passive localization of underwater target， a two-step least squares （LS） based time difference of arrival-direction of arrival （TDOA-DOA） target localization algorithm is proposed. Firstly， an idealized error-free model of TDOA-DOA is constructed， and the target position is coarsely estimated through the LS algorithm. Secondly， the joint equation of target positioning error and sensor position is constructed with the measurement error and the sensor position error， and weighted LS algorithm is employed to solve the equations. Finally， the coarse estimation of the target position is corrected to obtain a more accurate localization result using target positioning error. Simulation results show that the proposed algorithm can jointly estimate both of the target position and the sensor position. Compared with the existing algorithms， the proposed algorithm has higher localization accuracy， and is more suitable for underwater target localization in the presence of sensor position errors.

Keywords： passive localization of underwater target; sensor position error; time difference of arrival （TDOA）; direction of arrival （DOA）

0 引 言

水下目標聲源被動定位在海洋目標偵察方面具有重要應用價值，目前主要包括匹配場定位^［1-3］和基于水下無線傳感器網絡（underwater wireless sensor network， UWSN）^［4-6］的目標定位。匹配場定位的精度有賴于水聲信道的建模^［7］，在水聲信道建模失配時會引起較大誤差。UWSN是分散部署在廣闊水域的傳感器節點網絡系統，基于UWSN的目標定位無需信道先驗信息，主要包括基于到達時間差（time difference of arrival， TDOA）定位^［7-10］、基于波達方向（direction of arrival， DOA）定位^［11-13］等。其中，TDOA基于雙曲線方程進行目標定位，系統可獲得較高的定位精度，但是某些時候存在定位模糊^［14］;DOA利用方位交匯對目標定位，僅需兩個傳感器，但定位誤差較大^［15］。

聯合多個定位參量可顯著提升算法性能^［16-18］，增強系統穩定性，故基于兩步最小二乘（least squares， LS）的到達時間差-波達方向（time difference of arrival-direction of arrival， TDOA-DOA）的水下目標定位引起了廣泛關注。文獻［19］推導了TDOA-DOA的水下目標定位方程，并利用LS^［20-24］算法對目標位置進行了估計，其定位誤差小于單獨的TDOA和單獨的DOA定位算法。文獻［25］在TDOA-DOA方程的基礎上提出了基于目標定位誤差的兩步加權LS（two-stage weighted LS， TSWLS）算法，提高了目標位置估計精度。文獻［26］將入侵雜草算法與TSWLS算法相結合，進一步提高水下目標的定位精度。上述算法在構建線性方程時引入輔助變量，進而帶來了一定誤差，且上述算法均只考慮TDOA和DOA的測量誤差。由于水下洋流運動以及水下傳感器難以利用衛星進行自定位等原因，傳感器位置無法精確獲知^［27-28］，而傳感器位置誤差會大大降低目標定位精度^［29］。文獻［30］針對無源雷達下若干發射站和一個接收站聯合TDOA-DOA的目標定位問題，將發射站和接收站位置誤差以及角度和時差的測量誤差一同考慮，利用加權LS（weighted LS， WLS）對目標位置進行了估計，當發射站和接收站位置誤差較小時，其定位精度接近克拉美羅下界（Cramer-Rao bound， CRB）。

本文針對若干接收傳感器下聯合TDOA-DOA的水下目標被動定位問題，在TDOA-DOA測量誤差以及接收傳感器位置誤差存在的情況下，提出了一種新的兩步定位算法，可同時對目標位置和傳感器位置進行估計。本文算法在偽線性化定位方程時利用角度和距離之間的關系，無需輔助變量，第一階段在不考慮任何誤差下構建理想化TDOA-DOA定位模型，利用LS獲得目標位置粗估計值，第二階段在TDOA-DOA測量誤差和傳感器位置誤差存在基礎上構建新的定位方程，利用WLS對目標定位誤差和傳感器位置誤差進行聯合估計，最后通過定位誤差修正目標位置粗估計值，以獲得更精確的目標位置估計。仿真實驗結果表明，本文算法可實現對目標位置和傳感器位置的聯合估計，且相較現有算法，本文算法目標位置估計精度更高。

1 水下TDOA-DOA定位模型

水下TDOA-DOA聯合定位場景如圖1所示，非合作目標位置坐標為u=［x，y，z］^T，附近水域中隨機分布的M個傳感器可對目標進行TDOA和DOA測量，其中第i個傳感器位置坐標為s_i=［x_i，y_i，z_i］^T（1≤i≤M）。r_i表示目標與第i個傳感器的距離，θ_i和β_i為目標對于第i個傳感器的方位角和仰角。

由圖1可知，目標至第i個傳感器的距離r_i為

r_i=u－s_i=（u－s_i）^T（u－s_i）（1）

式中：·表示l₂范數;將第1個傳感器作為參考傳感器，r_i，1表示目標到第i個傳感器和到參考傳感器的距離差，其表達式如下所示：

r_i，1=r_i－r₁=u－s_i－u－s₂=ct_i，1（2）

式中：c為聲音在水中傳播的速度，通常為1 500 m/s;t_i，1為TDOA測量值。

將式（2）移項并求平方可得

式（3）左邊，不僅有待估計的目標位置u，還有目標與參考傳感器的距離未知量r₁。文獻［19-26］通過輔助變量r₁偽線性化定位方程，進而利用WLS求解目標位置，而通過圖1的幾何關系可知sin β₁=（z－z₁）/r₁，故式（3）的方程無需輔助變量，可直接偽線性化：

根據方位角θ_i和仰角β_i的幾何關系可得

tan θ_i=y－y_ix－x_i（5）

tan β_i=z－z_i（x－x_i）²+（y－y_i）²（6）

將式（5）和式（6）展開可得

xsin θ_i－ycos θ_i=x_isin θ_i－y_icos θ_i（7）

（xcos θ_i+ysin θ_i）sin β_i－zcos β_i=

（x_icos θ_i+y_isin θ_i）sin β_i－z_icos β_i（8）

由于傳感器位置精確值可能無法獲得，僅能得到含誤差的傳感器位置觀測值s^_i=［x^_i，y^_i，z^_i］^T，且由于測量誤差的存在，也只能得到含誤差的TDOA和DOA觀測量r^_i，1、θ^_i、β^_i：

式中：Δs_i，Δr_i，1，Δθ_i，Δβ_i表示觀測誤差，且Δs_i=［Δx_i，Δy_i，Δz_i］^T。

為方便表述，將觀測值和誤差向量化：

式中：s^表示傳感器位置觀測向量;ε^s為對應的傳感器位置誤差向量;γ^表示TDOA和DOA的觀測向量;ε^γ為其對應的誤差向量。

為方便起見，假設ε^s和ε^γ均服從零均值、方差為常數的高斯分布，Q_s和Q_γ分別為其協方差矩陣：

Q_s=E［ε^s（ε^s）^T］（11）

Q_γ=E［ε^γ（ε^γ）^T］（12）

2 定位算法

本文所提水下TDOA-DOA聯合定位算法綜合考慮了TDOA-DOA測量誤差和接收傳感器位置誤差。算法主要分為兩步，第一步在不考慮誤差的理想TDOA-DOA模型下，利用LS算法對目標位置進行粗估計;第二步在TDOA-DOA測量誤差和傳感器位置誤差同時存在的基礎上，構建目標定位誤差和傳感器位置的聯合估計方程，并利用WLS求解，最后利用得到的目標定位誤差估計值對第一步中的目標位置粗估計值進行修正，得到更加準確的目標位置估計值。

2.1 目標定位粗估計

第一步中，不考慮TDOA-DOA測量誤差和接收傳感器位置誤差，構建理想化TDOA-DOA定位模型，將式（4）、式（7）和式（8）聯立并寫成矩陣形式：

A₁（γ^，s^）·u=b₁（γ^，s^）（13）

式中：

基于LS原理，可得到目標位置的粗估計值u^為

由于并未考慮實際存在的TDOA-DOA測量誤差和傳感器位置誤差，所獲得的u～與真實目標位置u存在較大差異，所提算法第二步對u～進行定位誤差修正，使其更接近真實值。

2.2 目標定位修正

本文算法第二步，在TDOA-DOA測量誤差以及傳感器位置誤差存在的基礎上，基于聯合估計^［31-32］的思想，構建目標定位誤差與傳感器位置的聯合估計方程，并利用WLS求解方程，最后利用得到的目標定位誤差修正第一步的目標位置粗估計值。

令目標定位誤差為Δu=［Δx，Δy，Δz］^T，故

u=u～－Δu（17）

將式（17）代入式（4）、式（7）和式（8），可得

考慮實際存在的TDOA-DOA測量誤差以及傳感器位置誤差，對式（18）～式（20）在r^_i，1、θ^_i、β^_i和s^_i處一階泰勒展開，并忽略二階誤差項，可得

整理式（21）～式（23）可得

b₂（γ^，s^）－A₂（γ^，s^）·Δu=Ω_γε^γ+Ω_sε^s（24）

式中：

A₂（γ^，s^）=A₁（γ^，s^）∈R（3M－1）×3（25）

構建目標定位誤差Δu和傳感器位置s的聯合估計方程：

令Q₂為式（29）的誤差協方差矩陣：

確定WLS問題的準則函數為

式中：I_3M為3M×3M的單位陣。對J

求關于

的偏導，并令導數為0，可得參數向量估計為

其估計誤差協方差矩陣為

由式（30）可知，加權矩陣Q^－1₂的計算與目標位置誤差向量Δu有關，但是Δu為未知待求量，可首先將Q^－1₂設為單位陣，從而獲得Δu～和s～的初始估計值，然后再重新計算更新Q^－1₂，并再次獲得Δu～和s～的估計值，重復3～5次后，可達到收斂狀態，故最終目標位置估計值為

u-=u～－Δu～（34）

下面給出本文算法的具體實現步驟。

步驟1 建立無誤差的理想化水下TDOA-DOA聯合定位方程式（13），并通過式（16）獲得目標位置粗估計值u～。

步驟2 考慮TDOA-DOA測量誤差和傳感器位置誤差，建立目標定位誤差Δu和傳感器位置s的聯合估計方程式（29）。

步驟3 初始化加權矩陣Q^－1₂=I，利用式（32）獲得Δu～和s～的估計值。

步驟4 將Δu～和s～代入式（30），更新Q^－1₂，利用式（32）獲得更加準確的Δu～和s～的估計值。

步驟5 將步驟4重復3～5次，獲得最終估計值Δu～，基于式（34）獲得目標位置最終估計值u-。

3 CRB

CRB下界是一個最小方差無偏估計器能達到的最好估計性能，令η=［u，s］^T、χ=［γ^，s^］^T，則觀測量χ在確定量η下的聯合概率密度函數p（χ;η）如下所示：

式中：τ為一常數。

對式（35）取對數并求二階導數，可得CRB表達：

式中：blkdiag{·}為塊對角操作。

4 仿真實驗及分析

設水中未知目標的位置坐標為u=［1 550，950，87］^T，其周圍布放6個接收傳感器，坐標如表1所示。設TDOA和DOA的測量誤差為相互獨立的零均值高斯分布，標準差分別為σ_TDOA和σ_DOA，故ε^γ服從均值為零、協方差矩陣為Q_γ=diag{σ²_TDOA（I₅+1_5×5）/2，σ²_DOAI₁₂}的高斯分布，其中1_5×5為5×5的全為1的矩陣;同時設傳感器位置誤差ε^s服從零均值、協方差矩陣為Q_s=σ²_sdiag（4，4，4，1，1，1，2，2，2，8，8，8，5，5，5，3，3，3）的高斯分布，ε^γ和ε^s統計獨立。

將本文算法、文獻［25］不考慮傳感器位置誤差的TSWLS算法以及文獻［30］考慮傳感器位置誤差的WLS算法在不同的TDOA測量誤差標準差σ_TDOA、DOA測量誤差標準差σ_DOA和傳感器位置誤差標準差σ_s下進行比較，并采用均方根誤差（root mean square error，RMSE）衡量算法的定位性能：

RMSE=ΣMk=1u-_k－u2M（45）

式中：u-_k表示第k次實驗的位置估計值;M為蒙特卡羅實驗次數，本文取M=1 000。

圖2和圖3分別為不同σ_s下3種算法目標位置估計RMSE和傳感器位置估計RMSE曲線。可以看到，目標位置估計CRB和傳感器位置估計CRB均隨著傳感器位置觀測誤差的增大而增大。從圖2可以看到，當σ_TDOA和σ_DOA一定時，由于文獻［25］算法未考慮傳感器位置誤差，當傳感器位置誤差存在時，其定位模型失配，性能退化嚴重，而文獻［30］算法和本文算法均是在測量誤差和傳感器位置誤差存在的基礎上構建定位方程，因此σ_s的增加并沒有給目標位置估計帶來太大影響。本文算法對目標定位誤差和傳感器位置進行了聯合估計，并利用得到的傳感器位置估計值s～對加權矩陣Q^－1₂進行更新，進而得到更加準確的目標定位誤差估計值Δu～，最終獲得更貼近真實值的目標位置估計值u-。故在相同仿真條件下，本文算法的目標定位RMSE較文獻［30］更貼近CRB曲線。同時，由于本文算法對傳感器位置進行了估計，故傳感器的位置得到了校正，從圖3可以看到，其對傳感器位置估計RMSE也可達到相應的CRB，而文獻［25］和文獻［30］僅對目標位置進行估計，并未對傳感器位置進行估計。

圖4和圖5為不同σ_DOA下3種算法目標位置估計RMSE和傳感器位置估計RMSE曲線。可以明顯看到，本文算法目標位置估計明顯優于文獻［30］算法，而文獻［25］算法未考慮傳感器位置誤差，故在當前仿真條件下，其目標定位性能遠遜于本文算法和文獻［30］算法。同樣，本文算法同時對傳感器位置進行了估計，在σ_DOA較小時，傳感器位置估計RMSE可達到CRB。

圖6和圖7為不同σ_TDOA下3種算法目標位置估計RMSE和傳感器位置估計RMSE曲線。可以看到，在當前仿真條件下，本文算法和文獻［30］算法的目標定位性能差異不大，且明顯優于文獻［25］算法。同時，本文算法對傳感器位置進行了修正。

將目標坐標設置為u=［583－5057］^T+k［3002005］^T，隨著k的增大，目標逐漸遠離傳感器的中心。定義在某次實驗中，若u-_k－u2/3≤30，則認為實現了目標位置的成功估計。圖6 目標位置估計RMSE隨σ_TDOA變化曲線

在每個目標位置坐標下進行1 000次蒙特卡羅實驗，圖8和圖9分別給出了目標逐漸遠離傳感器中心時，目標位置估計RMSE和目標位置估計成功率變化曲線。可以看到，隨著目標與傳感器距離的增加，3種算法的定位精度和定位成功率都在降低，而本文算法性能明顯優于其他兩種算法。

綜上，針對基于TDOA-DOA的水下目標被動定位模型，本文同時考慮了TDOA-DOA測量誤差和水下傳感器位置誤差，對目標位置和傳感器位置進行估計，其目標位置估計性能明顯優于未考慮傳感器位置誤差的情況。與同樣針對傳感器位置誤差的文獻［30］所提定位算法相比，本文算法可同時對傳感器位置進行估計，且本文目標位置估計性能更佳。

最后，將本文算法與文獻［25］算法、文獻［30］算法的運行時間進行比較，間接對比3種算法的計算復雜度。令σ_TDOA=10^－2.5s、σ_DOA=0.1°和σ_s=10 m，其他參數不變，表2為3種算法的平均運行時間。從表2中可以看出，本文算法的計算復雜度最高。3種算法在求解目標位置過程中均基于LS算法，其中涉及矩陣求逆運算，而矩陣求逆的計算復雜度為O（N³），N為矩陣階數，本文算法對目標定位誤差和傳感器位置進行了聯合估計，求逆矩陣階數更高，故本文算法計算復雜度明顯高于其他兩種算法。

5 結束語

針對水下目標被動定位精度受傳感器位置誤差影響的問題，本文提出了一種考慮傳感器位置誤差的水下TDOA-DOA目標被動定位算法。首先，基于理想無誤差模型構建目標定位方程，并利用LS粗估計目標位置。然后，引入測量誤差和傳感器位置誤差，構建目標定位誤差和傳感器位置的聯合估計方程，并基于WLS算法對目標定位誤差和傳感器位置進行估計。最后，利用目標定位誤差對第一階段的目標位置粗估計值進行修正。仿真結果表明，本文算法可對目標位置和傳感器位置進行聯合估計，且相較于現有算法，目標定位性能更優，更適用于水下TDOA-DOA目標定位中測量誤差和傳感器誤差同時存在的場景，具有重要應用價值，后續將研究所提算法的快速算法。同時，本文仿真實驗中聲速為恒定值，而實際水下聲速是垂直分布的，即聲速隨深度而變化，聲速的變化會對定位精度造成誤差，后期可結合實際數據進行分析處理。

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作者簡介

唐 強（1996—），男，碩士研究生，主要研究方向為水下目標定位。

邵高平（1966—），男，教授，博士，主要研究方向為通信信號處理。

孫明磊（1987—），男，講師，博士，主要研究方向為水下目標定位。

邵 帥（1991—），男，講師，碩士，主要研究方向為數字圖像處理。