基于參數估計和Kalman濾波的單通道盲源分離算法

摘 要： 針對存在頻譜混疊通信信號的單通道盲源分離（single channel blind source separation， SCBSS）問題，提出一種基于參數估計和Kalman濾波的SCBSS算法。首先，針對根多重信號分類（root multiple signal classification， Root-MUSIC）算法在相近載頻估計方面的局限性，提出一種自適應的Root-MUSIC算法，對接收到的盲混合信號的源信號數目和載頻進行估計;其次，將Kalman濾波的思想引入到SCBSS算法中，根據估計得到的源信號參數構造信號模型，將其作為Kalman濾波系統的觀測向量，執行“時間更新”和“測量更新”兩個過程，得到源信號的最佳估計，實現單通道盲源分離。仿真結果表明，所提算法能夠有效地從存在頻譜混疊的單路接收信號中準確地分離出多路源信號，比傳統的算法分離精度高，運算速度快。

關鍵詞： 單通道盲源分離; 卡爾曼濾波; 參數估計; 通信信號處理

中圖分類號： TN 911

文獻標志碼： A

DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.08.32

Single-channel blind source separation algorithm based on parameter

estimation and Kalman filter

FU Weihong^*， ZHOU Yufei， ZHANG Xinyu， LIU Naian

（School of Telecommunications Engineering， Xidian University， Xi’an 710071， China）

Abstract： Aiming at the problem of single channel blind source separation （SCBSS） for communication signals with spectrum aliasing， a SCBSS algorithm based on parameter estimation and Kalman filtering is proposed. Firstly， in view of the limitation of root multiple signal classification （Root-MUSIC） algorithm in the estimation of similar carrier frequencies， an adaptive Root-MUSIC algorithm is proposed to estimate the number of source signals and carrier frequencies of the received blind mixed signals. Secondly， the idea of Kalman filtering is introduced into the SCBSS algorithm， and the signal model is constructed according to the estimated source signal parameters， which is used as the observation vector of the Kalman filtering system， and the two processes of “time update” and “measurement update” are performed to obtain the best estimation of the source signals and realize the single channel blind source separation. Simulation results show that the proposed algorithm can effectively and accurately separate multi-channel source signals from single channel received signal with spectrum aliasing， and has higher separation accuracy and faster operation speed than traditional algorithms.

Keywords： single channel blind source separation （SCBSS）; Kalman filtering; parameter estimation; communication signal processing

0 引 言

單通道盲源分離^［1-3］（single channel blind source separation， SCBSS）算法能夠有效地避免多傳感器接收信號所造成的系統復雜、造價昂貴以及設備體積過大等問題，成為信號處理^［4］、機械故障診斷^［5-6］、生物醫學^［7-9］等領域的一大研究熱點。但SCBSS可供利用的信息較少，是一個極端病態問題，需要充分挖掘和利用信號本身的一些特性來對其進行分離，解決此問題具有挑戰性。針對SCBSS問題，較為常用的是虛擬多通道法，該方法將單傳感器接收的混合信號擴展為多路信號從而滿足經典盲源分離算法的要求，如集合經驗模態分解^［10-14］（ensemble empirical mode decomposition， EEMD）算法和變分模態分解^［15-21］（variational mode decomposition， VMD）算法，但該類算法存在自適應性差、迭代次數多、運行速度慢的缺點。除虛擬多通道法外，還可以采用稀疏分量分析^［22-23］和基于混合信號狀態空間估計的算法。根據接收到的觀測信號對源信號的先驗信息進行估計，從而構造狀態空間，再通過對狀態的迭代更新得到源信號的最佳估計。Lyu等^［24］將小波變換^［25-26］與Kalman濾波^［27］結合，利用非線性主成分分析實現了盲源分離;Langkam等^［28］提出了一種基于Kalman濾波的雙參數估計方法，解決了線性盲源分離問題;宋宇霄^［29］利用源信號的時序結構，提出了一種將Kalman估計與SCBSS相結合的算法，用于實現盲源分離;Dutt等^［30］提出了一種基于雙擴展Kalman濾波器的狀態參數估計算法，消除了獨立分量分析法固有頻率不相交和統計獨立性的限制，實現了快速收斂的單通道盲源分離。但目前現有的算法往往存在收斂速度較差、復雜度較高的問題。

基于上述研究，為了提高SCBSS分離的準確性，提高運算效率，降低復雜度，本文提出了一種基于參數估計和Kalman濾波的SCBSS算法。該算法首先利用改進的自適應根多重信號分類（root multiple signal classification， Root-MUSIC）算法進行源信號數目及載頻的估計，利用相干解調原理進行源信號相位的估計;然后利用估計得到的源信號參數重構源信號，并將其作為Kalman濾波系統的觀測值，對Kalman濾波系統進行初始化;最后通過Kalman濾波對信號狀態不斷地進行校正和更新，得到源信號的最佳估計，實現單通道盲源分離。

1 SCBSS信號模型

假設接收到的單通道混合信號是由多個獨立的相移鍵控（phase shift keying， PSK）調制信號與高斯白噪聲線性疊加而成，各個PSK調制信號在時域上完全混疊，在頻域上存在不同程度的混疊。單通道混合信號的模型可以表示為

x（t）=∑Ni=1A_is_i（t），i=1，2，…，N（1）

式中：s_i（t）（i=1，2，…，N）表示第i個PSK調制信號;A_i表示第i個混合系數;（t）表示高斯白噪聲。

將PSK調制信號表示為復信號形式

s_PSK（t）=∑ni=1g_T（t－iT）e^{j（2πfct+φi）}=e^{j2πfct+∑ni=1φigT（t－iT）}（2）

式中：f_c表示載頻;n表示總碼元數;T表示碼元寬度;g_T（t）表示幅度為 1、寬度為T的矩形脈沖，在0≤t≤T區間內，g_T（t）=1；在其余區間，g_T（t）均為 0。φ_i表示第i個調制碼元對應的相位，φ_i∈{2π（r－1）/R，r=1，2，…，R}，R表示調制階數。由此可以得到，對于PSK調制的信號，其相位調制可以表示為

φ（t）=2πf_ct+∑ni=1φ_ig_T（t－iT）（3）

對于PSK調制信號，相位信息決定其自身特性，而相位調制中的兩個重要參數為載波頻率和調制碼元對應的相位。因此，對這兩個參數進行估計是完整構建PSK調制信號的前提。通過對PSK信號進行相干解調得到信號基帶碼元a_i∈（r－1）（i=1，2，…，n）根據基帶碼元與碼元對應相位之間的關系φ_i=2πa_i/R，即可對PSK信號的相位進行估計。

相干解調的前提是已知信號的載頻，本文提出一種基于自適應Root-MUSIC的參數估計算法，根據估計得到的載頻以及相位就可以利用式（2）所述的模型重構出源信號，得到源信號的初步估計。

2 基于參數估計和Kalman濾波的SCBSS算法2.1 基于自適應Root-MUSIC的參數估計算法

MUSIC算法是空間譜估計領域中應用十分廣泛的經典算法，該算法通過對接收到的信號的協方差矩陣進行特征分解，得到兩個相互正交的子空間：信號子空間和噪聲子空間。然后，搜索空間譜峰，實現對信號參數的估計。Root-MUSIC算法是一種通過構造多項式并求根從而代替原MUSIC算法中譜峰搜索過程的算法，該算法使求解過程更加簡便，減小了運算量，具有更好的性能和更優越的分辨力，從而被應用于信號參數（如信號源數目、頻率、時延等）的估計中。

假設接收到的信號為

式中：x（t）=［x₁（t），x₂（t），…，x_M（t）］^T表示接收到的數據矢量;s（t）=［s₁（t），s₂（t），…，s_N（t）］^T表示入射信號矢量;a（θ_i）表示第i（i∈{1，2，…，N}）個信號對應的陣列方向矢量;（t）=［₁（t），₂（t），…，_M（t）］^T表示高斯白噪聲矢量;σ²表示高斯白噪聲的方差。為方便表示，后續將省略x（t）、s（t）和n（t）中的時間變量t。

由于信號與噪聲之間相互獨立，輸入陣列數據的協方差矩陣可表示為與信號、噪聲相關的兩部分，即：

R_xx=E［xx^H］=AE［ss^H］A^H+E［nn^H］=AR_ssA^H+σ²I（5）

式中：R_ss=E［ss^H］表示信號s的自相關矩陣。

對R_xx進行特征值分解，得到M個特征值{λ₁，λ₂，…，λ_M}，將其從大到小進行排列，則有λ₁≥λ₂≥…≥λ_Ngt;λ_N+1≈…≈λ_M≈σ²，其中前N個大特征值對應的特征向量組成信號子空間，后（M－N）個近似相等的小特征值對應的特征向量組成噪聲子空間，兩個子空間之間相互正交。

令噪聲矩陣為

V_n=［q_N+1，q_N+2，…，q_M］（6）

定義一個關于z的多項式：

f（z）=q^H_ip（z） i=N+1，…，M（7）

式中：q_i是協方差矩陣R_xx中的（M－N）個噪聲特征值對應的特征向量，p（z）=［1，z，…，z^M－1］^T是關于z的多項式。當z=exp（jω）， ω=2πdsin（θ）/λ時，表示多項式的根z都落在單位圓上，p（z）=p（exp（jω））。p（z）表示一個頻率為ω的信號導向矢量，屬于信號子空間。因此，式（7）可以表示為

f（z）=p^H（z）V_nV^H_np（z）（8）

對f（z）求根就可以得到信號源到達方向的信息。但多項式中存在的共軛項z^*增加了求解過程的復雜度。已知z=exp（jω），則有z^*=exp（－jω），zz^*=1，z^*=1/z。對多項式進行修改，得到修正的Root-MUSIC算法表達式：

f（z）=z^M－1pT（z^－1）V_nV^H_np（z）（9）

式中：f（z）為2（M－1）階的多項式，有M－1對共扼對稱的根，即當f（z）其中一個根為z₀時，則必然存在另一個為z^*₀的根。在理論意義上，在M－1對根中應該有N對根位于單位圓上，但在實際情況下，噪聲的存在會使協方差矩陣的估計產生誤差，因此只需要得到N個接近于單位圓的根。

Root-MUSIC算法通過在M－1對根中選擇N個最接近單位圓的根的方式實現對信號入射方向的估計。但是，這種選擇方式存在一定的問題，當最接近單位圓的根中恰好有來自同一個信號源的共軛對稱的根時，估計將不再準確。由此，本文提出一種自適應Root-MUSIC算法，選擇N個最接近單位圓且來自不同信號的根實現對信號入射方向的估計：在選擇最小的N個誤差時，對誤差對應的歸一化頻率進行觀察，判斷頻率是否相等，對相等的歸一化頻率對應的誤差只選擇其中一個，直到找到N個對應不同歸一化頻率的誤差，從而得到N個不同的信號載頻。

在單通道盲源信號分離中，只有一路接收信號，因此需要對其進行處理后構造多通道信號矩陣，然后利用自適應Root-Music算法估計信號參數，具體步驟如下：

步驟 1 初始化參數設置： 下變頻的載頻為f_low，降采樣的頻率為F_s2，重構通道數為M，混合信號的數據長度為L。

步驟 2 對接收到的單通道混合信號x（t）進行下變頻和降采樣預處理，得到x″（t）;

步驟 3 構造M×（L－M）維的樣本矩陣

計算其協方差矩陣R_X～=1L－M∑L－Mi=1X～（i）X～^H（i），其中X～（i）表示矩陣X～的第i列;

步驟 4 對協方差矩陣R_X～進行特征值分解，并將特征值按照降序排序，根據最小特征值的重數K;估計源信號個數N=M－K;

步驟 5 根據M－N個小特征值對應的特征向量q_N+1，q_N+2，…，q_M構造噪聲子空間矩陣V_n=［q_N+1，q_N+2，…，q_M］;

步驟 6 構造多項式求根公式f（z）=z^M－1pT（z^－1）·V_nV^H_np（z），并對多項式求解得到M－1對根z_i，i=1，2，…，2（M－1）;

步驟 7 求解復數根z_i（i=1，2，…，2（M－1））的相位角?_i（i=1，2，…，2（M－1）），并將其轉換為對應的歸一化頻率f-_i=?_i/（2π）（i=1，2，…，2（M－1））;

步驟 8 計算2（M－1）個根與單位圓之間的誤差e_i=|z_i|－1，i=1，2，…，2（M－1），將誤差按照從小到大順序排列，找到最小的N個誤差，同時判斷誤差對應的歸一化頻率是否相等。當歸一化頻率相等時，i′→i+1，繼續對下一個誤差進行判斷，直到找到N個歸一化頻率不同的誤差，即N個最接近單位圓的根;

步驟 9 將N個根對應的歸一化頻率保留兩位小數為f-_i（i=1，2，…，N），將f-_i與信號的采樣頻率F_s2相乘，再與下變頻的頻率f_low相加，得到源信號的載頻估計f^_ci=f-_i·F_s2+f_low， i=1，2，…，N。

2.2 基于Kalman濾波的SCBSS算法

針對SCBSS問題，可以采用基于混合信號狀態空間估計的算法。Kalman濾波是一種用于在狀態空間模型中估計狀態向量的重要技術，是一種建立在線性最小均方誤差基準上的最優估計，具有計算量小、穩定性高、可靠性強的優點。Kalman濾波算法由“時間更新”（也稱為預測）和“測量更新”（也稱為校正）兩個步驟組成。在時間更新過程中，會根據前一時刻的狀態估計來生成當前時刻的狀態估計;在測量更新過程中，會將當前時刻的先驗預測與當前時刻的測量相結合，來修改和更新狀態估計。將Kalman濾波算法應用于解決單通道盲源信號分離問題，將得到的源信號初步估計值作為Kalman濾波的觀測值，通過不斷的時間更新和測量更新得到源信號的最佳估計，從而實現混合信號的SCBSS。

Kalman濾波的預測部分包含狀態變量的預測和誤差協方差矩陣的預測，通過前一狀態來預測當前狀態X^_k/k－1，并對先驗誤差協方差矩陣P^_k/k－1進行估計，該過程也可以稱為時間更新過程;校正部分包括Kalman增益矩陣的計算、狀態變量的估計和誤差協方差矩陣的估計，利用Kalman增益K_k和k時刻的觀測值Z_k對X^_k/k－1進行校正，得到狀態向量的最小均方誤差估計（也就是最優估計X^_k），對P^_k/k－1進行校正，得到后驗估計誤差協方差P_k。在任一時刻，Kalman濾波只需要知道當前最新的測量數據和上一時刻的最優估計值，便可通過遞推的方式得到當前狀態的最優估計值，因此減少了數據存儲量，提高了運算速度。

在Kalman濾波系統中，觀測變量Z_k是已知的，只要給定了狀態變量估計的初始值X^₀和估計誤差協方差矩陣的初始值P₀，Kalman濾波就可以通過不斷遞推和修正的方式計算出k時刻狀態變量的最優估計X^_k。在基于Kalman濾波的單通道信號盲源分離系統中，Z_k是利用第2.1節中提出的算法估計得到的參數重構后的源信號的初始估計值。

基于Kalman濾波的單通道盲源信號分離算法具體實現過程如下：

步驟 1 初始化狀態變量的初始估計值X^₀=［000］^T，協方差矩陣的初始估計誤差值P₀=1_3×3，觀測矩陣H=［1， 0， 0］，觀測噪聲的協方差矩陣R=10^－4I，狀態轉移矩陣Φ為隨機產生的3×3的矩陣，初始化過程中噪聲的協方差矩陣Q=10^－4I，將源信號的初始估計s_PSK（t）作為Kalman濾波的系統觀測變量Z_k;

步驟 2 使用轉移矩陣Φ對狀態變量的下一個狀態進行預測

X^_k/k－1=ΦX^_k－1;

步驟 3 對誤差協方差矩陣進行預測

P^_k/k－1=ΦP_k－1Φ^T+Q;

步驟 4 計算Kalman增益

K_k=P^_k/k－1H^T（HP^_k/k－1H^T+R）^－1;

步驟 5 對狀態變量估計進行更新

X^_k=X^_k/k－1+K_k（Z_k－H_kX^_k/k－1）;

步驟 6 對誤差協方差矩陣進行更新

P_k=（I－K_kH）P^_k/k－1;

步驟 7 在當前時刻k小于信號數據長度L時，k′→k+1，返回算法步驟2繼續進行更新;否則，得到狀態變量的最佳估計值X^_k，X^_k即為源信號的最佳估計。

2.3 基于參數估計和Kalman濾波的SCBSS算法流程

基于上述研究，本小節對基于參數估計和Kalman濾波的SCBSS算法實現過程進行總結，具體流程如下：

步驟 1 利用第2.1節提出的自適應Root-MUSIC算法對預處理后的信號x″（t）的源信號數目N及載頻f^_ci進行估計，其中，i=1，2，…，N;

步驟 2 對混合信號x（t）進行相干解調，得到相位估計{φ^_n};

步驟 3 根據得到的參數估計，利用式（2）所述模型重構源信號，得到源信號的初步估計s_PSKi（t）;

步驟 4 將得到的s_PSKi（t）作為Kalman濾波的系統觀測變量Z_ki;

步驟 5 根據第2.2節的步驟進行Kalman濾波，對源信號的狀態不斷迭代更新，得到源信號的最佳估計y_i（t）（i=1，2，…，N），實現單通道混合信號的盲源分離。

3 仿真實驗與性能分析

3.1 算法可行性仿真

本節對基于參數估計和Kalman濾波的SCBSS算法進行仿真，驗證其對頻譜混疊通信信號分離的有效性。本節采用PSK調制、升余弦脈沖成型的源信號進行仿真實驗，兩路源信號s₁（t）和s₂（t）的滾降系數α～均為0.5，帶通采樣速率F_s1均為20 MHz，符號速率R_b均為0.2 MHz，信號調制類型分別為二進制相移鍵控（binary phase shift keying， BPSK）調制和正交相移鍵控（quadrature phase shift keying， QPSK）調制，載頻頻率f_i分別為5 MHz和5.2 MHz。生成均值為0、方差為1的隨機高斯白噪聲n（t），與兩路源信號線性疊加構成單通道混合觀測信號x（t）=s₁（t）+s₂（t）+n（t），混合信號x（t）的信噪比設置為10 dB。對混合信號x（t）進行下變頻和降采樣操作，下變頻載頻設置為f_low=4.84 MHz，降采樣頻率設置為F_s2=4 MHz，得到預處理后的信號x″（t）。設置重構通道數為10，即M=10，利用自適應Root-MUSIC算法對預處理后的信號x″（t）的信號源數目和載頻頻率進行估計，得到信號源個數為N=2，載頻頻率分別為5 MHz和5.2 MHz，與源信號的真實載頻相同，表明自適應Root-MUSIC算法實現了對頻譜混疊信號相近載頻的準確估計。計算最終得到的信號y₁（t）和y₂（t）與源信號s₁（t）和s₂（t）之間的相關系數，結果分別為0.90和089，估計信號y₁（t）和y₂（t）與源信號s₂（t）和s₁（t）之間的相關系數則分別為0.07和0.029。由此可見，分離信號y₁（t）與源信號s₁（t）對應，y₂（t）與s₂（t）對應。分離信號與源信號之間具有很強的相關性。計算分離信號與對應源信號之間的誤碼率均為0。

為了更加直觀地觀察估計信號的分離效果，可以借助于信號的星座圖。混合信號的星座圖以及分離后估計得到的兩路源信號星座圖如圖1～圖3所示。

從圖1～圖3可以看出，本文提出的SCBSS算法很好地恢復出兩路源信號。

3.2 所提算法對不同調制源信號的分離性能

本節將改變源信號的調制方式，混合信號的頻譜中存在混疊，仿真本文所提算法對不同調制方式源信號的分離性能，分別仿真了兩路源信號分別為BPSK+BPSK、BPSK+QSPK、QPSK+QPSK以及BPSK+8PSK時的結果，其他參數與第3.1節中所述一致。

源信號和估計信號之間的相關系數隨信噪比變化的曲線如圖4所示。從圖4可以看出，本文所提SCBSS算法分離出來的信號與源信號之間具有很強的相關性，當信噪比大于5 dB時，相關系數在0.85以上。

可以看到，源信號調制方式對本文提出的基于參數估計和Kalman濾波的SCBSS算法性能影響不大，所提算法可以對單通道接收的多個頻譜混疊的不同調制方式的源信號實現準確的分離和估計，具有良好的性能表現。

3.3 所提算法對不同源數目混合信號的分離性能

本節將改變源信號的混合源數目，混合信號的頻譜中存在混疊，分別仿真了兩路和三路源信號時的結果，源信號均為BPSK信號，其他參數與第3.1節中所述一致。

圖5給出了估計信號解調后得到的誤碼率曲線，從圖中可以看到本文提出的算法能分離出兩路或多路源信號，只是隨著源信號個數的增加，分離效果會變差。

3.4 本文所提算法與現有算法性能對比實驗

本節將本文所提基于參數估計和Kalman濾波的SCBSS算法與經典SCBSS算法EEMD和VMD進行對比，仿真時兩路源信號調制方式均為BPSK，其他參數與第3.1節中所述參數一致，其一次仿真所用時間如表1所示。

由表1可以看到，本文提出的基于參數估計和Kalman濾波的SCBSS算法的運行時間遠少于VMD算法和EEMD算法。

不同算法得到的估計信號與源信號之間的平均相關系數、誤碼率隨信噪比變化的曲線分別如圖6、圖7所示。從圖6可以看出，本文提出的基于參數估計和Kalman濾波的SCBSS算法分離后得到的信號與源信號之間的相關系數明顯高于VMD算法和EEMD算法，當信噪比為5 dB時，本文提出的盲源信號分離算法相關系數高達0.9，而VMD算法和EEMD算法對應的相關系數只有0.55和035左右。由圖7可以看出，當誤碼率為10^-5時，本文所提的基于參數估計和Kalman濾波的單通道信號盲源分離算法所需信噪比為7 dB，而VMD算法和EEMD算法所需的信噪比分別為11 dB和17 dB，因此本文所提算法分離精度和運算速度均明顯優于基于VMD和EEMD的SCBSS算法。

4 結 論

本文提出了一種基于參數估計和Kalman濾波的SCBSS算法。針對Root-MUSIC算法不能準確估計頻譜混疊混合信號相近載頻的局限性，提出一種自適應Root-MUSIC算法，從而實現了對不同源信號的載頻估計，提高了載頻估計的準確性;將傳統Kalman濾波算法與SCBSS相結合，利用估計的源信號參數重構源信號，將源信號的初步估計作為Kalman濾波系統的觀測值，給定系統相關的初始值，通過不斷的預測和校正，最終得到源信號的最佳估計。通過仿真實驗驗證了所提算法的可行性和有效性。仿真結果表明，本文所提基于參數估計和Kalman濾波的SCBSS算法可以從頻譜混疊的混合信號中分離出多個源信號，得到的估計信號與源信號之間具有很強的相關性，且準確無誤地恢復了源信號的碼元信息，具有良好的分離性能和較低的算法復雜度，同時與基于EEMD的SCBSS算法和基于VMD的SCBSS算法相比，本文所提算法自適應性更強，收斂速度更快，分離效果更好，優勢更加明顯。

參考文獻

［1］HOPGOOD J R， RAYNER P J. Single channel nonstationary stochastic signal separation using linear time-varying filters［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 2003， 51（7）： 1739-1752.

［2］DAVIES M E， JAMES C J. Source separation using single channel ICA［J］. Signal Processing， 2007， 87（8）： 1819-1832.

［3］ZHU H， ZHANG S N， ZHAO H C. Single-channel source separation of multi-component radar signal with the same generalized period using ICA［J］. Circuits， Systems， and Signal Processing， 2016， 35（1）： 353-363.

［4］WU C L， LIU Z， WANG X， et al. Single-channel blind source separation of co-frequency overlapped GMSK signals under constant-modulus constraints［J］. IEEE Communications Letters， 2016， 20（3）： 486-489.

［5］CHERRAD M， BENDJAMA H， FORTAKI T. Combination of single channel blind source separation method and normal distribution for diagnosis of bearing faults［J］. Jordan Journal of Mechanical amp; Industrial Engineering， 2022， 16（4）： 493-502.

［6］ZHAO X J， QIN Y， HE C B， et al. Underdetermined blind source extraction of early vehicle bearing faults based on EMD and kernelized correlation maximization［J］. Journal of Intelligent Manufacturing， 2022， 33（1）： 185-201.

［7］WANG L， ZHAO C H， DONG M X， et al. Fetal ECG signal extraction from long-term abdominal recordings based on adaptive QRS removal and joint blind source separation［J］. IEEE Sensors Journal， 2022， 22（21）： 20718-20729.

［8］SHOKOUHMAND A， TAVASSOLIAN N. Fetal electrocardiogram extraction using dual-path source separation of single-channel non-invasive abdominal recordings［J］. IEEE Trans.on Biomedical Engineering， 2023， 70（1）： 283-295.

［9］DUYAN G， YUANYUAN Z. BCG signal denoising method research based on EMD-ICA［J］. Chinese Journal of Biomedical Engineering， 2019， 38（2）： 138-145.

［10］WU Z H， HUANG N E. Ensemble empirical mode decomposition： a noise-assisted data analysis method［J］. Advances in Adaptive Data Analysis， 2009， 1（1）： 1-41.

［11］GU Y， LI X， CHEN S Y， et al. AOAR： an automatic ocular artifact removal approach for multi-channel electroencephalogram data based on non-negative matrix factorization and empirical mode decomposition［J］. Journal of Neural Engineering， 2021， 18（5）： 6012-6017.

［12］ZHAO L H， HONG G， WANG Z L， et al. Research on fault vibration signal features of GIS disconnector based on EEMD and kurtosis criterion［J］. IEEE Trans.on Electrical and Electronic Engineering， 2021， 16（5）： 677-686.

［13］LIU X L， WANG H， HUANG Y M. SCBSS signal denoising method of integrating EEMD and ESMD for dynamic deflection of bridges using GBSAR［J］. IEEE Journal of Selected Topics in Applied Earth Observations and Remote Sensing， 2021， 14（99）： 2845-2856.

［14］LANG B， ZHANG X Y， XIAO J， et al. A new dynamic balance framework based on blind source separation under multiple fault conditions［J］. Shock and Vibration， 2022， 2022： 4059824.

［15］DRAGOMIRETSKIY K， ZOSSO D. Variational mode decomposition［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 2013， 62（3）： 531-544.

［16］唐貴基， 王曉龍. 參數優化變分模態分解方法在滾動軸承早期故障診斷中的應用［J］. 西安交通大學學報， 2015， 49（5）： 73-81.

TANG G J， WANG X L. Parameter optimized variational mode decomposition on method with application to incipient fault diagnosis of rolling bearing［J］. Journal of Xi’an Jiaotong University， 2015， 49（5）： 73-81.

［17］劉長良， 武英杰， 甄成剛. 基于變分模態分解和模糊 C 均值聚類的滾動軸承故障診斷［J］. 中國電機工程學報， 2015， 35（13）： 3358-3365.

LIU C L， WU Y J， ZHEN C G. Rolling bearing fault diagnosis based on variational mode decomposition and fuzzy C means clustering［J］. Proceedings of the CSEE， 2015， 35（13）： 3358-3365.

［18］湯杰， 陳劍， 楊斌. 基于 IVMD 的單通道盲源分離方法及其應用［J］. 組合機床與自動化加工技術， 2018（7）： 25-30.

TANG J， CHEN J， YANG B. Single-channel blind source separation based on IVMD and its applications［J］. Modular Machine Tool ＆ Automatic Manufacturing Technique， 2018（7）： 25-30.

［19］ZHOU J， WANG J X. A novel underdetermined source number estimation for coupled vibration sources of mechanical fault based on variational mode decomposition［J］. Journal of Mechanical Science and Technology， 2022， 36（2）： 621-635.

［20］ZHOU Q， YAO J P， LI J H， et al. A smart universal single-channel blind source separation method and applications［J］. Multidimensional Systems and Signal Processing， 2022， 33（4）： 1295-1321.

［21］WANG R， XU L， LIU F K. Bearing fault diagnosis based on improved VMD and DCNN［J］. Journal of Vibro Engineering， 2020， 22（5）： 1055-1068.

［22］WANG G， WANG Y B， MIN Y Z， et al. Blind source separation of transformer acoustic signal based on sparse component analysis［J］. Energies， 2022， 15（16）： 6017.

［23］KIM H G， JANG G J， PARK J S， et al. Single channel blind source separation based on probabilistic matrix factorisation［J］. Electronics Letters， 2017， 53（21）： 1429-1431.

［24］LYU Q， ZHANG X D， JIA Y. Kalman filtering algorithm for blind source separation［C］∥Proc.of the IEEE International Conference on Acoustics， Speech， and Signal Processing， 2005， 5： 257-260.

［25］KEMIHA M， KACHA A. Single-channel blind source separation using adaptive mode separation-based wavelet transform and density-based clustering with sparse reconstruction［J］. Circuits， Systems， and Signal Processing， 2023， 42： 5338-5357.

［26］MADDIRALA A K， VELUVOLU K C. SSA with CWT and K-means for eye-blink artifact removal from single-channel EEG signals［J］. Sensors， 2022， 22（3）： 931-947.

［27］HE J A， SONG Y X. Blind source separation of the multi-signal single channel based on Kalman filtering［J］. Journal of Signal Processing， 2018， 34（7）： 843-851.

［28］LANGKAM S， DEB A K. Linear blind source separation： a dual state-parameter estimation approach［C］∥Proc.of the 39th National Systems Conference， 2015.

［29］宋宇霄. 基于信號狀態空間估計的單通道盲源分離算法研究［D］. 蘭州： 蘭州理工大學， 2019.

SONG Y X. Research on single channel blind source separation algorithm for signal state space estimation［D］. Lanzhou： Lanzhou University of Technology， 2019.

［30］DUTT R， MONDAL S， ACHARYYA A. Single channel blind source separation using dual extended Kalman filter［C］∥Proc.of the IEEE International Symposium on Circuits and Systems， 2021.

作者簡介

付衛紅（1979—），女，副教授，博士，主要研究方向為盲信號處理、雷達目標成像。

周雨菲（1997—），女，碩士研究生，主要研究方向為通信信號的盲源分離。

張鑫鈺（1999—），男，碩士研究生，主要研究方向為通信信號的盲源分離。

劉乃安（1966—），男，教授，博士，主要研究方向為無線通信。