基于比較發現 定量刻畫特征

【摘 要】平行四邊形是小學數學的重要教學內容。學生在一年級上冊已經初步認識了平行四邊形。在學習人教版教材四年級上冊“平行四邊形的認識”時，教師充分運用網格圖，通過創設問題情境，借助平行、垂直等概念，幫助學生發現平行四邊形的特征，并選擇其中的某些特征概括出平行四邊形的定義；利用網格圖，幫助學生在描述不同平行四邊形的過程中概括底與高；借助底和高來定量刻畫平行四邊形，讓學生嘗試用平行四邊形的面積來區分與描述不同的平行四邊形。

【關鍵詞】比較發現；定量刻畫；平行四邊形的認識

學生在一年級上冊已經初步認識了平行四邊形。在學習“平行和相交”這一內容時，通過觀察網格圖中的平行四邊形特點，引出了“平行”的概念，又加深了對平行四邊形的認識。基于這樣的學習基礎，如何引導學生通過分類比較，運用他們已有的知識經驗，從定義的角度對平行四邊形進行更深入的理解？如何利用網格圖引入“高”的概念，以描述不同的平行四邊形？在比較網格圖中不同的平行四邊形時，如何滲透求解平行四邊形面積的方法？帶著這樣的思考，筆者進行了教學實踐。

一、通過分類比較，認識平行四邊形

在初步辨認階段，平行四邊形與長方形、正方形被視為不同的四邊形。然而，在對平行四邊形進行定義之后，根據定義，能夠將長方形與正方形視為特殊的平行四邊形，從而形成一個包含關系的圖形類別體系。

（一）觀察圖形，再次分類

教師出示圖1，并指出這是三年級學習“認識四邊形”時的一組圖形。請學生再次找一找哪些是四邊形，然后在這些四邊形中找出已經學習過的四邊形，并標注它們的名稱。

學生按照要求進行分類，形成圖2所示的板書。

（二）提煉特征，概括定義

教師談話引入：“在三年級時，我們已經總結了長方形和正方形的特征，知道長方形的對邊相等，四個角都是直角；正方形四條邊相等，四個角都是直角。那么，平行四邊形有哪些特征呢？”

讓學生先獨立思考，再小組交流，最后反饋和評析?；趯W生的發現，師生共同提煉出平行四邊形的三個特征：（1）對邊相等；（2）對角相等；（3）對邊平行。

隨后，教師提出問題：“如果需要從三個特征中選擇一個特征作為平行四邊形的定義，你認為哪一個最合適？為什么？”學生經過思考，一致認為“對邊平行”最合適，因為“平行四邊形”的名稱本身就含有“平行”之意。因此，概括出平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形。

（三）進行類比，細化關系

在概括出平行四邊形的定義之后，教師引導學生進一步觀察長方形和正方形，說一說它們是否也屬于“兩組對邊分別平行的四邊形”。學生經過觀察后指出，它們同樣具備這一特征。教師順勢總結：長方形和正方形同樣屬于平行四邊形的范疇。接著，教師在圖2的基礎上，對第二次分類后的板書進行調整，加入集合圈（如圖3）。

教師繼續追問：“與一般的平行四邊形相比，長方形和正方形有哪些獨特的特征？”學生指出長方形和正方形的四個角都是直角。教師進一步追問：“正方形與長方形相比，又有哪些不同之處？”學生回答：“正方形的四條邊都相等?！备鶕W生的回答，教師在黑板上形成圖4所示的板書。

在此基礎上，教師提出質疑：“當我們看到一個長方形時，我們應該叫它平行四邊形，還是長方形？當我們看到一個正方形時，我們應該叫它長方形，還是正方形？”學生討論后認為，應該分別叫作長方形和正方形，這樣更能準確描述這兩類圖形的特征。

在學習本內容之前，平行四邊形、長方形和正方形之間的關系可以被視為并列關系，即它們是三種具有不同外在特征的四邊形。通過本內容的學習，學生認識到這三種圖形實際上具有包含關系（如圖4）。

二、變形比較，定量刻畫圖形

平行四邊形具有易變形、不穩定這一特性。利用平行四邊形的易變形性，可以得到等底不等高的一組不同平行四邊形。在比較這些平行四邊形的不同之處時，自然而然地引入了“高”的概念。在此基礎上，通過比較這些平行四邊形的面積大小，自然而然地想到使用“數方格法”和“割補法”來計算平行四邊形的面積。

（一）經歷操作，概括特性

教師呈現拉門與升降機的圖片，引導學生找一找圖中的平行四邊形。接著，讓學生想一想在拉動門或升降時，這些平行四邊形會發生什么變化?；谌粘＝涷灒瑢W生可能會將變化描述為這些平行四邊形“被拉長”或“被壓扁”。教師可以概括：這些平行四邊形在“變形”。

接著，教師可以指導學生使用可活動的長方形模型學具進行操作，通過拉一拉、壓一壓來驗證平行四邊形的易變形，并引導學生概括出平行四邊形的特性——易變形性。

（二）比較變形，定量描述

教師展示一個長方形模型，并將其放置于網格圖（由邊長為1厘米的正方形組成）中，要求學生確定該長方形的長和寬各是多少？（如圖5）隨后，教師再次展示一個與圖5中相同的長方形模型，讓學生將其拉伸為圖6所示的平行四邊形。然后，又展示一個與圖5中相同的長方形模型，并將其拉伸為圖7的平行四邊形。

教師引導學生觀察圖6和圖7，說一說這兩個平行四邊形有哪些相同點和不同點？讓學生先獨立完成，再進行交流反饋。學生發現圖6中的平行四邊形比圖7中的平行四邊形高一些。他們指出圖6中的平行四邊形有4方格高，而圖7中的平行四邊形只有3方格高。根據學生的回答，教師從一個頂點出發，邊數邊畫出高的痕跡，并將單元“格”轉換為長度單位“厘米”（如圖8）。

在此基礎上，教師進一步總結：這兩條線段，分別叫作這兩個平行四邊形的高，與它們互相垂直的那條邊，叫作底。教師請學生使用總結出的底與高來分別描述這兩個平行四邊形，得到圖9所示的標注。根據標注，請學生說一說這兩個平行四邊形有哪些相同點和不同點？指出它們的底相同，但高不同。

教師進一步提問：“如果將它們斜著的那條邊叫作底，你們能否指出對應的高？”學生先獨立在作業紙上畫一畫，再進行交流反饋。教師總結：高是從對邊的一個頂點向底畫的一條垂線段。教師示范畫圖，學生模仿練習，得到圖10的另外一組底與高。

最后，教師請學生歸納平行四邊形的底與高有什么特點？學生指出，一個平行四邊形具有兩組底與高，而平行四邊形的高就是平行線之間的距離。因此，在底邊上可以畫出無數條高。

一般認為，學習平行四邊形的“高”是為了推導平行四邊形的面積計算公式，但在這里，只是將其作為描述不同平行四邊形特點的一個重要元素。

（三）類比遷移，刻畫面積

教師進一步引導學生觀察圖10中的兩個平行四邊形，并提問：“長方形拉伸后，變成了兩個不同的平行四邊形。想一想，它們與長方形相比，什么不變，什么變了？”學生指出，周長保持不變，而面積則發生了改變。

教師要求學生在計算出長方形的面積后，思考如何求出這兩個平行四邊形的面積。學生遷移求長方形面積的經驗，猜想或許可以使用“底×高”的方法計算平行四邊形的面積。教師請學生運用這種方法先計算出面積，再在網格圖中數一數進行驗證。學生發現，在平行四邊形中，有些部分不足1格，可以將這些部分割下并補到其他不足之處，使之成為完整的1格。然后通過數個數，驗證了使用“底×高”來求平行四邊形面積的正確性。

在求出面積之后，教師再次引導學生進行比較，探討變化過程，并討論將長方形拉伸為平行四邊形時，平行四邊形面積的變化規律。學生發現，隨著拉伸程度的增加，平行四邊形的面積逐漸減小。

通過使用網格圖，求出變形后的平行四邊形面積，并進一步尋找規律，學生可以更深入地理解通過拉伸長方形模型形成平行四邊形后面積的變化規律。

三、通過畫圖測量，深化圖形理解

在現行的教材中，并未有“畫平行四邊形”的教學要求，但是有在格點圖中畫平行四邊形并測量其底和高的要求。因此，在教學實踐中，教師應指導學生利用網格圖畫出不同要求的平行四邊形，并進行觀察、比較等數學活動，以深化學生對平行四邊形特征的理解，為他們后續學習平行四邊形面積的計算打下基礎。

（一）畫一畫，量一量

教師應指導學生在點子圖的作業紙上任意畫一個平行四邊形，并分別畫出兩組對應底邊上的高，測量它的兩組底與高并做好標注。由于點子圖中相鄰兩點之間的距離并非精確的1厘米，學生在測量底和高的過程中使用直尺進行操作，便使活動具有了解決實際問題的意義。

（二）畫一畫，比一比

教師要求學生在相鄰點子距離為1厘米的點子圖中，畫出底為4厘米、高為3厘米的三個形狀不同的平行四邊形，并讓學生在四人小組中交流，討論這些平行四邊形的相同點和不同點。學生會發現，這樣的平行四邊形可以畫出無數個，它們的面積相等，但周長卻不相等。教師進一步追問原因，學生會解釋，因為所有這些平行四邊形都可以通過“割補法”得到長為4厘米、寬為3厘米的長方形，所以它們的面積都相等。而周長之所以不相等，是因為上下兩條邊的長度都是4厘米，但是左右兩條邊的長度各不相等。

這一規律將在五年級上冊“多邊形的面積”單元學習。學生通過學習平行四邊形面積的計算，得到結論：等底等高的平行四邊形面積相等。此時僅通過具體例子得出這一結論，并不需要進行具體驗證與推廣。

（三）畫一畫，說一說

教師出示如圖11所示的兩個四邊形，請學生判斷它們是否為平行四邊形？并說明理由。學生會指出它們不是平行四邊形，因為它們都只有一組對邊平行。

教師進一步追問：“怎樣修改才能使它們成為平行四邊形？”先讓學生嘗試完成，再指名學生展示，并說一說理由。

本內容的教學實踐給教師提供了啟示：網格圖（包括點子圖）在揭示圖形特征和畫圖中扮演著重要的角色。在教學中，可以結合具體情境，在網格圖上畫相關圖形，并以網格圖中點與點之間固定的距離作為參照，發現線段之間的位置、長度和角度等的關系，從而概括出圖形的特征，并進行相應的定量刻畫。

（浙江省杭州市余杭區良渚古墩路小學）