“分數除以分數”學習路徑新探

【摘 要】“分數除法”是小學階段最后呈現的計算教學相關內容，“分數除以分數”是“分數除法”的重點、難點所在。“分數除以分數”有多種學習路徑，包括結合運算律進行推導、基于商不變性質的應用以及借助通分展開探究等。教師在對原有學習路徑進行梳理、比較的基礎上，結合學生學習實際，探索利用“分子除以分子，分母除以分母”解決分數除法問題的學習新路徑，以幫助學生體會除法算理與乘法算理的一致性，掌握分數除法的計算方法。

【關鍵詞】分數除法；計算方法；擴分；學習路徑

“分數除法”是小學階段最后呈現的計算教學相關內容，“分數除以分數”是“分數除法”的重點、難點所在。以人教版教材為例，這部分內容的編排從“倒數的認識”開始，逐步過渡到“分數除以整數”，最后深入到“一個數除以分數”。在探討“一個數除以分數”時，呈現了“整數除以分數”和“分數除以分數”兩種情況。本文以“分數除以分數”為內容，試圖尋找符合學生思維習慣的學習路徑，以幫助學生掌握分數除法的計算方法，并深刻理解其背后的算理。

一、對現有學習路徑進行梳理，深入分析其優勢與缺陷

通過查閱相關文獻資料發現，除了人教版教材所提供的學習路徑外，關于“分數除以分數”的計算方法還存在另外兩種學習路徑。第一種路徑是運用“商不變性質”進行推理，例如：[57]÷[34] ＝（ [57]×[43] ）÷（[34] ×[43] ）＝（ [57]×[43] ）÷1 ＝ [57]×[43] ＝ [2021]。通過呈現具有類似規律的練習題組，引導學生發現分數除法的計算方法。［1］第二種路徑是基于“除法意義”進行推理，即“單位計數個數相除，計數單位也相應相除”。在處理異分母分數相除時，由于不同計數單位相除會涉及分數除法，需要在通分的基礎上進行推理。例如：[57]÷[34] ＝[2028]÷[2128] ＝（20×[128]）÷（21×[128]）＝（20÷21）×（[128]÷[128]）＝20÷21＝[2021]。［2］

在教學“分數除以分數”這一內容時，許多一線教師通常會采用上述兩種不同的學習路徑進行教學。然而，這兩種方法在推導過程中均存在一些不足之處。具體而言，第一種路徑即運用“商不變性質”進行推理，在面對具體分數除法問題時，如 [57]÷[34] ，學生往往難以聯想到運用商不變性質進行解決。而第二種路徑即基于“除法意義”進行推理，雖然能夠幫助學生得出具體的答案，但學生解決問題時更多地停留在計算層面，難以通過探尋規律來歸納出更為普遍的計算法則（一般性的算理）。同樣，在遇到分數除法問題時，學生也難以將其與“除法意義”進行關聯。

二、在探索新路徑的過程中，梳理問題并尋求解決策略

在探討“分數除以分數”計算方法的過程中，筆者發現了一條新的研究路徑，即除法與乘法之間的逆運算關系。通過分數乘法計算法則來探究分數除法的算法。已知分數乘法的計算方法為“分子乘分子作為得數的分子，分母乘分母作為得數的分母”，因此，分數除法的算法應當是“分子除以分子作為得數的分子，分母除以分母作為得數的分母”，不妨將這種方法稱之為“分數除法新方法”。在探索這條新路徑的過程中，遇到了諸多問題，試圖通過思考解決這些問題。

問題1：哪些分數除法算式可以采用此方法？可以列舉兩類不同的分數除法算式。第一類算式，被除數與除數的分子和分母分別成倍數關系，如[1524]÷[34]，計算過程為[1524]÷[34]＝[15÷324÷4]＝[56]，發現此類算式能夠采用分數除法新方法進行計算。第二類算式，被除數與除數的分子和分母分別不成倍數關系，如[57]÷[34]，發現此類算式無法采用分數除法新方法進行計算。

問題2：是否可以將第二類算式如[57]÷[34]經過轉化后應用分數除法新方法呢？原算式無法使用此方法的原因在于，被除數的分子5并非除數的分子3的倍數，被除數分母7也不是除數的分母4的倍數。因此，探討的焦點集中在“如何實現被除數與除數的分子和分母分別成倍數關系”。經過前測，發現大多數學生首先想到的是通分，如[57]÷[34]＝[2028]÷[2128]，但通分僅解決了“分母成倍數關系”的問題，而“分子成倍數關系”的問題仍未得到解決。經過討論交流，學生想到了利用分數基本性質中的“擴分”［3］，即將分數的分子和分母同時乘上一個不為零的數，分數的大小保持不變。為確保分子5擴分后是3的倍數，分子和分母同時乘3、6、9……同理，為使分母7擴分后成為4的倍數，分子和分母同時乘4、8、12……在此基礎上，為簡化計算過程，應選取最小倍數進行乘法運算。如此一來，[57]÷[34] ＝ [5×3×47×3×4]÷[34] ＝ [5×47×3] ＝ [2021]。借助擴分方法，成功解決第二類算式中的難題。

問題3：如何引導學生自發地領悟計算方法？面對第一類算式和第二類算式，學生的關注點往往集中在求解結果上，難以自然地洞悉計算法則（一般性的算理）。為此，在具體算式計算的基礎上，采用字母式對計算方法進行概括，具體而言，即引導學生推導[ab]÷[nm] ＝ [a×n×mb×n×m]÷[nm] ＝ [a×mb×n]。當學生采用字母式來表述計算過程時，他們能夠直觀地領悟“除以一個分數，等于乘其倒數”這一計算法則。

問題4：為何第二類除法算式需要進行擴分運算，而第一類則不需要？對比兩道分數除法算式 [1524]÷[34] 與 [57]÷[34] ，若從分數乘法驗算的角度思考，前一道題在乘法運算過程中無須約分，因此在逆向運算即除法中亦無須擴分；而后一道題在乘法過程中則需要進行多次約分，即其結果 [57] 已是約分后的最簡分數。因此，在除法運算中，須將 [57] 進行擴分，以確保被除數與除數的分子和分母分別成倍數關系（如圖1）。

問題5：“分數除以分數”這一新授課內容應在何時進行教學？本單元學習內容包括認識倒數、分數除以整數、整數除以分數以及分數除以分數。由于整數可轉化為分數，一旦學生掌握“分數除以分數”的計算法則，分數除以整數與整數除以分數的計算問題將迎刃而解。因此，“分數除以分數”更具一般性，適宜作為這一內容的起始教學內容。那么，這一課時置于“認識倒數”之前還是之后？不學習倒數是否會影響本內容的學習效果？人教版教材中提及“乘積是1的兩數互為倒數”，即指兩個數之間的關系。如果兩個數都是分數，那么這兩個數的分子、分母交換位置，是從形式層面進行理解的。因此，不學習倒數對本內容的教學并無實質性的影響。綜上所述，可以將“分數除以分數”作為分數除法的單元起始內容進行教學。

三、在新路徑中規劃教學預案，探討分數除法的計算方法

（一）提出猜想，構建數學表達式并進行分類

1. 提出問題，依據經驗進行猜想

復習分數乘法的計算方法，并板書“分子乘分子作為得數的分子，分母乘分母作為得數的分母”。接著，提出問題：你認為分數除以分數的計算方法會是怎樣的？讓學生基于已有知識經驗進行猜測，梳理想法。預設會有學生猜想“分子除以分子作為得數的分子，分母除以分母作為得數的分母”。

2.構建數學表達式，判斷方法適用范圍

要求每個學生任意寫三道分數除以分數的算式，隨后四人一組對這些算式進行分類，明確哪些算式適用于猜想的方法，哪些算式不適用。

分類結果如下：第一類算式，如[1524]÷[34]，適用于猜想的方法；第二類算式，如[57]÷[34]，則不適用猜想的方法。將這些算式分兩類進行板書。

（二）聚焦核心問題，探索分數除法的算法

1. 驗證猜想計算方法的合理性

讓學生從第一類算式中挑選一道進行計算，并板書其計算過程，如[1524]÷[34]＝[15÷324÷4]＝[56]。隨后，提出問題：你怎么判斷計算結果是否正確？引導學生利用乘法進行驗算，驗算過程為[56]×[34]＝[5×36×4]＝[1524]，確認結果無誤，從而驗證猜想方法的合理性。組織學生在小組內交流第一類算式中其他算式的計算過程，進一步確認猜想的合理性。

2. 圍繞核心問題，尋找解決方案

呈現第二類算式，如[57]÷[34]，并提問：為何無法采用猜想的方法進行計算？引導學生發現，被除數的分子5不是除數的分子3的倍數，被除數的分母7不是除數的分母4的倍數。進而提出問題：如何調整，使被除數的分子是除數的分子的倍數，被除數的分母是除數的分母的倍數？鼓勵學生獨立思考，并在小組內交流。預設有學生會想到用通分的方法，此時應引導學生觀察并思考通分能解決什么問題，以及不能解決什么問題，使學生明確通分僅能解決“被除數的分母是除數的分母的倍數”的問題，不能解決“被除數的分子是除數的分子的倍數”的問題。預設有學生嘗試將被除數[57]的分子與分母同時乘12，此時教師應追問：12是從哪里得到的？引導學生發現：12是除數分子3和分母4的最小公倍數。繼續追問：為什么被除數的分子與分母需要同時乘3和4的積？讓學生理解，利用分數基本性質進行擴分，可以解決“被除數的分子與除數的分子、被除數的分母與除數分母分別為倍數”的難題。教師板書計算過程：[57]÷[34] ＝ [5×3×47×3×4]÷[34] ＝ [5×47×3] ＝ [2021]，并用乘法進行驗算。接著，從第二類算式中選取兩道題目，讓學生獨立完成，并在小組內交流，最后進行集體反饋，以鞏固計算方法。

3.歸納一般形式，得出計算法則

教師出示[ab]÷[nm] ，讓學生嘗試進行計算。教師引導學生推導計算過程：[ab]÷[nm] ＝ [a×n×mb×n×m]÷[nm] ＝ [a×mb×n=ab]×[nm]。提問：通過觀察這個用字母表達計算過程的算式有什么發現？學生交流后，得出計算法則“除以一個分數，等于乘這個分數的倒數”（學生心中的倒數，即分子與分母交換位置）。

4.追尋數學本質，理解擴分緣由

教師提問：為什么第一類除法算式的運算過程不需要擴分，而第二類則需要？引導學生觀察驗算過程，發現第一類算式用乘法驗算時，結果無須約分，而第二類算式用乘法驗算時，需要經過約分才能得到最簡分數。讓學生說一說約分與擴分之間的區別，理解兩者之間的關系。

四、深入理解教材內容，創造性地使用教材

從單元教學的視角審視，教材的編排往往遵循從“特殊”到“一般”的學習路徑，即從特定案例的探究開始，逐步提煉出普遍適用的原理和方法。例如，在“分數除法”單元中，教學內容順序為：分數除以整數、整數除以分數以及分數除以分數。當然，教學過程也可以采取從“一般”到“特殊”的學習路徑，這種方法能夠激發學生的認知沖突，發展其思維能力，直擊數學本質。實踐表明，以“分數除以分數”作為單元起始內容，可以取得良好的教學效果。

對于一線教師而言，不應局限于教材所提供的教學內容和過程，而應具備探索和創新的精神。通過單元整體設計，構建符合學生學習規律和數學本質的學習路徑。然而，這樣的學習路徑構建并非易事，它要求教師廣泛閱讀與教學內容相關的各類文獻資料，對教材中的知識點有深刻和全面的理解，深入調查學情。

綜上所述，一線教師在進行單元教學時，應勇于突破教材的局限，通過廣泛閱讀和深入理解，創造性地使用教材，確保教學活動的趣味性和挑戰性，引導學生主動探索和思考，從而實現高效的課堂教學。

參考文獻：

［1］王浩亮.利用商不變性質探究分數除法的算理與算法［J］. 小學教學設計， 2024（29）：40-41.

［2］金瀅，施仁杰. 如何讓“一個數除以分數”的算法從特殊走向一般［J］. 教學月刊·小學版（數學），2023（9）：40-41.

［3］《數學辭海》編輯委員會. 數學辭海（第一卷）［M］. 太原：山西教育出版社， 2002.

（浙江省嘉興南湖實驗學校）