優化教學設計，防止高中數學教學的碎片化傾向

摘" 要：分析了“碎片化”教學產生的主要原因與影響：學科底蘊不足，看不清知識間的內在關聯性；機械使用教材，對數學知識的系統性把握不足；教學觀念滯后，理論學習不足，以考論教；等等. 給出了防止“碎片化”教學的五條建議：加強專業修煉，完善學科知識體系；深刻理解教材，重視單元整體教學設計；講清知識的來龍去脈，增強課堂教學的聯系性；優化問題設計，加強習題教學的主線意識；重視課堂小結，及時對知識進行梳理歸納.

關鍵詞：“碎片化”教學；整體性；優化教學設計

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）10-0013-06

引用格式：徐小芳. 優化教學設計，防止高中數學教學的碎片化傾向［J］. 中國數學教育（高中版），2024（10）：13-18.

眾所周知，數學課堂教學的一個重要任務是幫助學生建構完整的數學知識體系，發展學生的數學核心素養. 但實際的高中數學課堂卻普遍存在著教學“碎片化”傾向. 所謂“碎片化”教學，是指將完整的學科知識體系人為地割裂成若干個零碎的“點”或零散的片斷來展開教學，導致學生對知識的理解和應用缺乏整體性和連貫性，這種教學方式不僅阻礙了學生數學核心素養的提升，而且使學生難以適應新結構下的高考數學變革. 為了改變這一現象，教師必須更新教學觀念，調整教學目標，整合教學內容，加強單元整體性教學設計，避免“碎片化”教學，并逐步向“整體化”教學轉變.

一、現實高中課堂中有“碎片化”教學傾向的兩個案例

高中數學具有極強的系統性和整體性，數學課程的學習內容通常按照學生的認知規律組織和展開，需要教師心有整體，局部推進. 但是在實際課堂教學中，教師由于各種原因未能進行整體性教學設計，時常導致“碎片化”教學傾向的發生. 下面給出兩個真實案例.

案例1：高三一輪復習課“數列中的綜合問題”.

所用教材：人教A版《普通高中教科書·數學》（以下統稱“人教A版教材”）選擇性必修第二冊.

教學對象：浙江省某重點中學高三年級進行一輪復習的學生.

教學設計：由四道綜合性例題構成.

教學實施：包括兩個教學環節.

環節1：講授第一類題型，即[an+1=pan+qan-1]型，其中[a1=a，a2=b.] 教師選取以下兩道例題.

例1" 已知數列[an]，[an+1-3an+2an-1=0 n≥2，][n∈N*]，[a1=1]，[a2=4]，證明數列[an+1-an]為等比數列，并求數列[an]的通項公式.

例2" 已知棋盤上標有第[0，1，2，…，100]站，棋子開始時位于第0站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲. 若擲出正面，棋子向前跳一站；若擲出反面，棋子向前跳兩站. 直到跳到第99站（勝利大本營）或第100站（歡樂大本營）時，游戲結束. 設棋子跳到第[n]站的概率為[Pn][n∈N*]，則（" " ）.

（A）[P1=12]

（B）[P3=38]

（C）[Pn+1=12Pn+12Pn-1][1≤n≤98]

（D）[P100=231+12101]

環節2：講解第二類題型，即奇偶項的求和問題. 教師依然選取兩道例題.

例3" 已知等差數列[an]滿足[an+an+1=4n]，[n∈N*].

（1）求[an]的通項公式；

（2）若[bn=ancosnπ]，記[bn]的前[n]項和為[Sn]，求[Sn].

例4" 已知等比數列[an]的前[n]項和為[Sn=2n+λ][n∈N*，λ∈R].

（1）求λ的值，并寫出數列[an]的通項公式；

（2）若[bn=-1nlog2a2n+1]，求數列[bn]的前[n]項和[Tn]；

（3）若[an=2n-1]，證明：數列[an+1anan+1]的前[n]項和[Cnlt;1].

【評析】從復習課的基本要求來看，通過復習回顧和典型例題訓練，使知識盡可能普遍聯系，打通各個關節，觸類旁通，其涉及面越廣越好. 該課題為數列中的綜合問題，這類問題主要包括通項公式的求解，數列的求和，數列的單調性、周期性、有界性和收斂性，數列與不等式的結合，數列的整數解問題，數列的混合型遞推，數列的實際應用等問題，雖然在一節課內不可能覆蓋所有問題，但是可以通過提供難度適中的典型例題，盡可能地使知識達到足夠的寬度和廣度，形成完整的知識系統，從而提高學生的綜合解題能力. 因此，從這個意義來看，該節課還存在局限性. 從數列的通項與和的視角來看，[an+1=pan+][qan-1]型只是數列的一種類型，數列的通項有一階遞推、分式型推遞和混合型推遞等形式，數列的求和也同樣具有多種方法. 因此，該節課的教學存在著“碎片化”傾向，其核心問題是教學設計缺少一條主線.

案例2：習題課“一元二次不等式與方程根的問題”.

所用教材：人教A版教材必修第一冊.

教學對象：浙江省某重點中學高一年級學生.

教學設計：由六道例題構成.

教學實施：包括兩個教學環節.

環節1：教師講授以下三道題.

例5" 某商店售賣的一種亞運會紀念章，每枚最低售價為15元，若每枚按最低售價銷售，每天能賣出45枚，每枚售價每提高1元，日銷售量將減少3枚，為了使這批紀念章每天獲得600元以上的銷售收入，則這批紀念章中的銷售單價x（單位：元）的取值范圍是（" " ）.

（A）[10，20] （B）[15，20]

（C）[16，20] （D）[15，25]

例6" 不等式[2xx-1≥3]的解集是" " " " .

例7" 已知關于x的方程[x2-a-2x+a=0]，則下列結論中正確的是（" " ）.

（A）當[a=1]時，方程有兩個負根，且和為-1

（B）方程無實數根的一個充分不必要條件是[2lt;alt;4+23]

（C）方程有兩個正根的充要條件是[agt;2]

（D）方程有一個正根和一個負根的充要條件是[alt;4-23]

環節2：教師講授以下三道解答題.

例8" 已知函數[fx=x2+m-1x+1].

（1）若函數[fx]的圖象與x軸有兩個交點，且橫坐標都在[0，2]之間，求實數[m]的取值范圍；

（2）若關于x的一元二次方程[fx=0]在[0，2]內有唯一解，求實數[m]的取值范圍.

例9" 已知一元二次方程[x2+m+3x+12=0，][m∈R]有兩個實根[x1，x2]，且滿足[0lt;x1lt;1lt;x2lt;3]，求實數[m]的取值范圍.

例10" 關于方程[x2+m-3x+m=0]，若滿足以下條件，求實數[m]的取值范圍.

（1）有兩個正根；

（2）一個根小于2，一個根大于4；

（3）兩個根[x1，x2]滿足[0lt;x1lt;x2lt;2].

【評析】這是一節未能系統地講授根的分布問題的習題課. 教師基于教輔講義設計教學，雖然具有良好的教學技能，但是教學內容比較零散，演繹成了兩個主題. 習題課的教學設計一般強調系統性、全面性，例題從基礎到復雜，從簡單到綜合，需要有明確的教學目標，能夠充分考慮學生的個體差異，采用啟發式教學，做到講練結合，及時反饋. 該教學設計既要講授一元二次不等式和分式不等式，又要研究根的分布情況，兩部分內容都沒有講解透徹，缺少系統性.

上述兩個案例，并不是個案，“碎片化”教學傾向在現實教學中普遍存在，容易被忽略，成為當下學生學習負擔重、不能系統掌握數學知識，以及數學教學質量未能有效提升的一個重要原因.

二、課堂教學“碎片化”現象產生的原因與影響

課堂教學“碎片化”現象由來已久，產生的原因復雜且多樣，概括地講主要有以下原因.

1. 學科底蘊不足，看不清知識間的內在關聯性

數學是一個嚴密的知識系統，有些教師雖然經過了數學專業訓練，但是對數學內部的整體性認識不夠，學科底蘊不足，不能全面把握教學內容. 例如，在一次教學觀摩課上，有兩位教師分別講授了正弦定理、余弦定理這兩節課，評課時筆者提出了一個問題：“正弦定理和余弦定理是否等價？哪位老師能說明其中的緣由？”臺下教師一臉茫然. 緊接著，筆者說明了不僅正弦定理、余弦定理是等價的，而且正弦定理、余弦定理、射影定理也是等價的，并給出了驗證. 由此可見，不清楚這三個定理的等價性，自然就看不到其中的整體性和一致性，教學時產生“碎片化”現象也就不足為奇了.

2. 機械使用教材，對數學知識的系統性把握不足

眾所周知，教材是按照學習模塊和學生認知水平螺旋上升地編寫的. 例如，函數的單調性、奇偶性、對稱性、周期性等性質分散在不同的章節中. 其中，周期性放在了三角函數的學習中，目的是通過三角函數模型更直觀地認識周期性，從而降低學習難度. 但是周期性作為函數的性質之一，與其他性質一起構成一個整體. 教材中這方面的例子不勝枚舉. 有些教師不了解教材的編排特點，機械地使用教材，不能對教材內容進行深層次地加工，反而過于關注單個知識點的傳授，忽略了知識的整體性，產生了“碎片化”教學的現象. 還有些教師在教學設計時考慮到教學進度和內容安排，對教學內容進行了重組、分割或調序，由于處理不當，造成了知識點“碎片化”現象.

此外，教材內容的編排中，不同年級的知識點間隔較長，教師在教學過程中不能及時強化和鞏固知識，導致學生的認知處于“碎片化”狀態.

3. 教學觀念滯后，理論學習不足，以考論教

有些教師忙于工作，缺少理論修煉，對建構主義、多元智能、發現學習，以及再創造等指導性教學理論知之甚少，教學觀念滯后，常常以考論教. 在組織教學時，教師過度強調知識點教學而忽視了知識的整體性和數學的育人功能，缺乏對數學教學整體而全面的設計，將教學內容劃分為系列考點和知識點，雖然便于學生掌握和記憶，但是帶來了知識“碎片化”問題，學生習慣于被動學習，缺乏主動預習和復習的習慣，難以充分體會數學知識之間的關聯，迷失了學習的方向.

還有一些其他原因可以導致產生課堂教學“碎片化”現象. 例如，數字化教學資源過于豐富和教學方法多樣化使教師在組織課堂教學時對知識點進行了不合理地拆分和重組；教材和課程改革注重探究式學習，教師在教學過程中強化所教內容的創新性和拓展性，忽視了知識的連貫性，加劇了“碎片化”現象；教師缺乏整體性教學設計的教學案例的示范與引領，難以將零散的知識點有效銜接成一個科學的知識結構.

課堂教學“碎片化”現象是不良的教學現象，降低了學生的學習收益，使學生的數學學習浮于表面，不利于完整知識體系的形成和學生高階思維與核心素養的培養. 因此，無論是對學生關鍵能力與核心素養的培養，還是對新結構下的數學高考，“碎片化”教學都是有害的.

三、優化教學設計，防止高中數學課堂“碎片化”教學

解決“碎片化”教學問題，必須回到源頭，其中的核心舉措是立足整體，培養學生思維的整體性、全面性和系統性. 下面筆者結合自身多年的課堂教學實踐，對如何防止“碎片化”教學進行討論.

1. 加強專業修煉，完善學科知識體系

隨著新結構高考數學的實施，許多教師的知識儲備明顯不足，要防止“碎片化”教學，就要強化內功，尤其是強化與高中數學相關聯的高等數學知識的學習. 例如，實數理論、極限理論、連續函數的性質、微分學、積分學等內容有助于教師理解數列或函數的概念與性質；行列式、矩陣運算、線性方程組、多項式理論等內容有助于教師更深刻地理解一些復雜的代數問題；空間解析幾何的學習有助于教師理解圓錐曲線的內在規律. 在教學平面解析幾何時，教師學習二次曲線理論和射影幾何相關知識有助于厘清近年來的高考解析幾何難題與其之間的聯系.

對比新舊兩版教材，資歷略深的教師對概率與統計教學的知識儲備也存在不足. 有些教師對概率與統計課程的內容認知不完整，局限于教材中的概率與統計知識，對概率定義的理解比較膚淺，不能站在公理化體系下理解概念，很少從函數視角去分析概率的性質，對概率的分布的認識也局限于教材所提供的幾種分布（二項分布、幾何分布、正態分布），對卡方分布、T分布等比較陌生. 因此，適當拓展教師對概率與統計的認知，彌補教師的知識缺陷是必需的. 這樣能夠有效防止高中數學課堂的“碎片化”教學，為開展整體性教學奠定基礎.

2. 深刻理解教材，重視單元整體教學設計

數學學習內容龐雜，其主干內容有函數、幾何與代數、概率與統計等. 教材往往依據學生的認知規律和課程標準的要求編寫內容，有些整體性知識分散在必修與選擇性必修的章節中. 有些內容雖然呈現在教材的同一模塊中，但是在日常教學時，許多教師喜歡“就課備課”，以“單課”形式推進教學，以單一的知識點展開教學，在教學時講練結合，而到單元結束時再利用單元復習對所學內容進行歸納總結. 這種教學方法雖然重視了對教材內容的深加工，但是忽視了知識的系統性、連貫性和整體性，學生難以將處于“游離”狀態的數學知識有機建構成良好的知識結構，從而導致“碎片化”教學現象的出現. 而單元主題整體教學設計能夠立足于整體的學習目標，從整體視角理解知識點之間的本質聯系，從“高觀點”審視學習任務，將單元學習目標和學習任務細化為相應的課時目標，通過課時目標不斷進階實現總目標，即單元學習目標.

例如，概率與統計的教學內容分布在人教A版教材必修第二冊與教材選擇性必修第三冊中. 其中，概率中的隨機事件與概率、事件的關系和運算、古典概型、概率的基本性質、事件的相互獨立性、頻率與概率，以及單變量的統計問題放在了人教A版教材必修第二冊中；條件概率與全概率公式，離散型隨機變量及其分布列、數字特征（期望、方差、標準差），二項分布與超幾何分布，連續型隨機變量（正態分布），以及雙變量與成對數據的統計分析放在了人教A版教材選擇性必修第三冊中. 對于人教A版教材的編排來說，必修的教學是先統計后概率，選擇性必修的教學是先概率后統計. 如果教師處理不當，就容易產生“碎片化”教學現象. 因此，教師應該從整體上認識概率與統計的研究方法、特點和教學的總目標，能夠理解概率與統計都是從數量角度研究隨機現象的規律性，都是處理總體和樣本的問題. 但兩者的處理方式相反. 概率是從總體到樣本的推理，而統計是從樣本到總體的推理. 概率有理，統計有據. 其中，概率類比函數研究，人教A版教材的結構體系按“預備知識—樣本點、樣本空間、隨機事件、基本事件、事件的關系和運算—古典概型—概率的基本性質—事件的相互獨立性—頻率與概率—條件概率與全概率公式—離散型隨機變量及其分布列—離散型隨機變量的數字特征—二項分布與超幾何分布—正態分布—連續型隨機變量及其分布列”展開，而統計則從單變量到多變量展開研究. 同時，從整體了解不同學段對概率與統計的學習要求，在教學設計時就能基于整體的學習目標，架構各個單元的學習目標和課時目標，實現宏觀把握、微觀推進，通過對教材的解構、加工，以及單元整體教學設計實現教學目標.

3. 講清知識的來龍去脈，增強課堂教學的聯系性

“碎片化”教學常常不顧知識的源與流，導致出現“掐頭去尾燒中段”的結果. 因此，數學教學中要注重知識的來龍去脈，依據不同的課型開展教學. 其中，概念課要格外強調概念的發生與發展過程，強調概念之間的聯系，不僅要從概念的發生與發展、概念的理解、概念的鞏固開展教學，還要將概念的來龍去脈闡述清楚. 例如，在講解對數的概念時，可以介紹蘇格蘭數學家納皮爾發明對數的歷史背景，幫助學生理解對數概念的實際應用和數學意義，從而建立完整的概念體系. 又如，在建構弧度制的概念時，要讓學生知道引入弧度制的必要性和合理性，以及1弧度角的定義策略. 在教學過程中，教師要通過深入剖析和比較，促進學生學會理解概念的要義和數學思維方式，并通過舉例、辨析、變式等方法加深學生對概念的理解. 例題教學要關注題源與拓展. 例如，2023年新課標Ⅰ卷第21題的投籃問題“甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若未命中則換為對方投籃. 無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8. 由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第[i]次投籃的人是甲的概率……”，該題的第（1）（2）小題源自教材選擇性必修第三冊第91頁復習參考題7的第10題的傳球問題“甲、乙、丙三人相互做傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人. 求[n]次傳球后球在甲手中的概率”. 這兩道題目雖然表現形式不同，但是本質相同，都是數列遞推概念的拓展應用. 傳球問題的核心是第[n]次傳球后球在甲手中與第[n-1]次傳球后球在甲手中的概率之間的遞推關系，投籃問題的核心也是如此. 探究該類問題的共同屬性有利于加深學生對遞推概念的理解，進而學會“源”頭相同的一類問題.

4. 優化問題設計，加強習題教學的主線意識

習題課是最常見的教學課型. 教學的基本要求是要有一個明確的教學目標，包括知識鞏固、能力訓練和思維培養等. 教師根據教學目標建構主線，精選習題，確保習題內容與教學目標密切相關，幫助學生達成預期目標. 習題課的教學要求教學設計具有系統性，要從易到難，從簡到繁，從簡單到綜合，逐步提升學生的解題能力. 同時，習題之間應相互關聯，形成知識網絡，幫助學生構建完整的知識體系. 若不注意主線設計，就會“就題論題”，產生“碎片化”教學現象，如上述的案例1和案例2.

基于此認識，教師可以對“數列中的綜合問題”做出如下改進設計. 方法1：不改變課題，精選一個綜合性問題，題目本質不變，通過問題鏈及變式教學，步步設問，對數列的通項公式、前n項和、單調性、周期性、有界性和收斂性等內容進行全面、系統地復習. 方法2：縮小復習范圍，將一節課拆分為兩節課，第一節課講授高階遞推數列及其應用，第二節課對分段數列的通項、前n項和及其性質進行探究.

同理，對習題課“一元二次不等式與方程根的問題”也可以做出如下改進. 先刪除環節1中的兩道例題，再引導學生系統地探究一元二次不等式的方程[ax2+bx+c=0][a≠0]在定區間上的根的分布情況，使主線清晰，讓學生能夠全面、系統地學會根的分布問題，從而建立一個完整的結構性知識體系.

當然，要防止習題教學的“碎片化”現象，設計時要盡可能地精選一些難度適中、知識覆蓋面廣、解法多樣的典型習題，甚至是開放題，鼓勵學生一題多解并歸納總結，增強知識的聯系性、綜合性，以及知識的深度和廣度，避免孤立地解題.

5. 重視課堂小結，及時對知識進行梳理歸納

課堂小結是課堂教學的點睛之筆，是防止產生“碎片化”教學現象的重要舉措. 課堂小結的首要任務是歸納與梳理知識，通過簡要回顧整節課的教學內容，讓學生形成一個整體印象. 對于課堂教學的重點和難點，要在課堂小結中進行強調和總結. 課堂小結的形式多種多樣，可以是教師總結、學生自主總結、小組討論總結等形式. 教師應該根據知識點的難度合理把握時間，使小結起到畫龍點睛的作用. 為激發學生的探究欲望，教師可以在小結階段提出與知識點相關的新問題，讓學生進行思考和探索. 此外，教師還可以布置課后作業和下一節課的預習任務，通過課后作業加深學生對知識的理解，提高學生的解題能力. 預習任務則可以為后續教學做好鋪墊.

在課堂小結中要注意以下要求：對課堂重點內容進行梳理，幫助學生回顧所學知識點，分析各個知識點之間的內在聯系和邏輯，加深對重點知識的鞏固和記憶；知識梳理過程中應注重整體視角，把課堂講授的內容放到知識體系中，自上而下地觀察該節課所學的知識點在數學知識網絡中的位置，以及與其他知識的聯系；梳理重點知識時，要注重內容的連貫性，按先后順序或遞進關系串聯知識點，形成完整的知識框架.

章節結束后，要特別重視章節的小結課，要系統且全面地梳理知識體系、解決問題的思想方法和經典問題與典型錯誤. 例如，數列內容的學習結束后，教師應該引導學生在函數視角下小結數列內容，幫助學生厘清數列的定義、數列的表示、數列的分類（按項數分類、按有界性分類、按單調性分類等）、數列的性質（單調性、對稱性、周期性、有界性），以及數列的前n項和. 重點厘清處理數列的通項公式、數列的前n項和的一般方法或特殊技巧. 與此同時，引導學生專項梳理解決遞推數列與數列不等式放縮的一般策略，形成一個結構良好的數列知識體系，避免產生數列知識的“碎片化”教學現象.

參考文獻：

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［4］章建躍. 數學教學中的一些常識［J］. 中國數學教育（高中版），2024（1）：3-5.

［5］張格波.“碎片化”教學現象剖析及調整對策［J］. 中學數學雜志，2014（9）：3-5.

基金項目：2023年浙江省教育科學規劃課題——學海新作業：依托大數據服務高中生個性化學習的新機制研究（2023SC057）.

作者簡介：徐小芳（1975— ），女，中學高級教師，主要從事高中數學教學與管理研究.