MCE視角下高中數學核心素養培養探究

摘" 要：《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》對數學文化的價值導向日益深入人心. 基于學科融合、學生終身學習、教師專業發展需求，以“閱讀與思考”欄目內容“斐波那契數列”為例，從研究內容、研究深度、研究維度三個角度出發，讀透教材，鏈接高考，用實例展現斐波那契數列在生物學、自然科學、藝術學等不同領域的應用和價值，小切口闡述如何在MCE視角下發展學生的數學抽象、邏輯推理和數學建模等素養，以及挖掘數學文化的育人價值.

關鍵詞：數學文化；核心素養；閱讀與思考

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）10-0033-07

引用格式：姚詩蕓，吳凱，沈恒. MCE視角下高中數學核心素養培養探究：以“斐波那契數列”教學設計為例［J］. 中國數學教育（高中版），2024（10）：33-39.

一、背景

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中提到：“數學文化應融入數學教學活動. 在教學活動中，教師應有意識地結合相應的教學內容，將數學文化滲透在日常教學中，引導學生了解數學的發展歷程，認識數學在科學技術、社會發展中的作用，感悟數學的價值，提升學生的科學精神、應用意識和人文素養.”數學文化教育（Mathematical Culture Education，簡稱“MCE”）是實現教學滲透目的的有效手段，在數學課堂育人中占據重要地位. 在實際教學中，部分學生會因為數學高度抽象的特點而喪失學習興趣，失去學習信心，但MCE作為抽象內容具象化的載體和橋梁，可以讓數學變得好玩、有趣.

本文以人教A版《普通高中教科書·數學》選擇性必修第二冊（以下統稱“教材”）第四章“數列”的“閱讀與思考”欄目內容“斐波那契數列”為例，從兔子繁殖的故事說起，引入斐波那契螺旋線、黃金分割、連分數、楊輝三角等數學文化內容，培養學生的數學應用意識，發展學生的數學核心素養，助力學生身心健康、人格健全發展.

二、案例分析

1. 文化啟路，確定研究內容

導語：通過課前閱讀教材第10—11頁的“斐波那契數列”內容，我們對斐波那契數列的定義、遞推關系、幾何表達，以及其在自然界的應用等已經有了一些了解. 斐波那契數列的提出者——意大利數學家斐波那契，撰寫了《算盤書》一書，他是第一個研究印度和阿拉伯數學理論的歐洲人. 今天，我們一起體驗斐波那契的思考，像數學家那樣去研究這個有趣的數列.

問題1：本章我們對數列進行了初步的探索. 請同學們回顧我們都研究了哪些內容，學會了哪些研究方法.

預設答案：學習了等差數列和等比數列，掌握了它們的通項公式和前n項和公式，并應用數列模型解決了一些實際問題.

問題2：如何研究斐波那契數列？

預設答案：定義（遞推關系）—通項公式—前n項和—性質—應用.

【設計意圖】用數學史作為探究的開端，兼具趣味性和文化底蘊. 根據教材“閱讀與思考”內容，學生研究的知識起點在遞推關系、定義、性質（斐波那契螺旋）、應用（自然界），可以說是各方面均有涉獵但都不深，因此選擇先從單元整體視角切入，梳理確定斐波那契數列的研究內容、研究難點及破解方向，繼而提升研究深度，引導學生由斐波那契數列這一媒介感受數學文化的嚴謹性、科學性和豐富性，增強學生主動學習、自主探究的意識和能力，為學生未來的學習和發展奠定基礎.

2. 合作共進，提升研究深度

問題3：由斐波那契數列的遞推公式，怎么求通項公式？

教材第10頁“閱讀與思考”——斐波那契數列：如果用[Fn]表示第n個月的兔子的總對數，可以看出，[Fn=Fn-1+Fn-2 ngt;2]. 這是一個由遞推公式給出的數列，稱為斐波那契數列.

師生活動：學生根據斐波那契數列遞推公式的特征，確定其屬于[Aan+1+Ban+Can-1=0]型. 其中，A，B，C為常數，且[ABC≠0]. 師生共同回顧其主要解題步驟如下.（1）將[Aan+1+Ban+Can-1=0]轉化為[Aan+1+αan=]

[βan+αan-1 n≥2]；（2）列方程組[Aα-β=B，-βα=C，] 解出[α]和[β]；（3）構造以[a2+αa1]為首項，[βA]為公比的等比數列[an+1+αan].

解：構造新數列[Fn+λFn-1=λ+1Fn-1+λFn-2].

由待定系數法，得[λ2+λ=1].

解得[λ=-1±52].

當[λ=-1+52]時，[Fn-1+-1+52Fn-2=1+52n-2].

由待定系數法，得[Fn-1-151+52n-1]是以[1-15×1+52]為首項，[1-52]為公比的等比數列.

所以[Fn-1=151+52n-1-1-52n-1].

當[λ=-1-52]時，

同理，可得[Fn-1=151+52n-1-1-52n-1]，

即[Fn=151+52n-1-52n].

【設計意圖】根據教材“閱讀與思考”給出的斐波那契數列定義及遞推關系，分析系數、項數特點，對照知識框架中已有的已知遞推關系求通項的方法，最終選定解決辦法. 在遷移應用的過程中，學生會遇到三項遞推、待定系數求解等難點，通過模型應用、分析運算后順利完成解題任務. 通過反思，發現在構造新數列時不必設[A]，[β]兩個參數，將[Fn]的系數定為1后能簡化運算，因而形成以上解答. 在此過程中，學生在知識、思維、素養方面取得明顯提升.

問題4：結合教材第57頁復習參考題4的第17題，嘗試從數學歸納法的角度思考斐波那契數列通項公式的其他求法.

（教材第57頁復習參考題4第17題）數學歸納法還有其他變化形式. 例如，將數學歸納法中的第（1）步保持不變，第（2）步改為：以“當[n0≤n≤k]（[k∈N?，][k≥n0]）時命題成立”為條件，推出“當[n=k+1]時命題也成立”，也可以斷定命題對從[n0]開始的所有正整數[n]都成立. 這種證明方法稱為第二數學歸納法. 試用第二數學歸納法證明如下命題：

若數列[Fn]滿足[F1=1]，[F2=1]，[Fn=Fn-1+Fn-2]（[n≥3]，[n∈N?]）（[Fn]稱為斐波那契數列），則其通項公式為[Fn=151+52n-1-52n].

師生活動：學生回顧數學歸納法的解題步驟，再獨立解題. 教師針對典型錯誤進行及時引導.

證明：（1）當[n=1]時，

[F1=151+52-1-52=1=F1]；

（2）假設當[1≤n≤k]時，

[Fn=151+52n-1-52n]，

則[Fk+1=Fk+Fk-1=151+52k-1-52k+1+52k-1-][1-52k-1=15 1+52k-11+52+1-1-52k-1×][1-52+1=151+52k+1-1-52k+1.]

所以，當[n=k+1]時，猜想也成立.

由（1）（2）可知，猜想對任意[n∈Ν?]都成立.

【設計意圖】引導學生復習數學歸納法的基本步驟，達到鞏固的目的. 另外，分別從歸納和演繹兩個角度來研究斐波那契數列的通項公式.

問題5：斐波那契數列的前n項和[Sn]又是怎樣的呢？

師生活動：學生以小組合作的方式解決斐波那契數列求和問題，教師同步了解各組進度，點撥學生從通項公式和遞推公式兩個角度入手解決問題，最后呈現解法.

解法1：從通項公式入手.

[Sn=151+521+1+522+…+1+52n-15×][1-521+1-522+…+1-52n=151+521-1+52n1-1+52-][151-521-1-52n1-1-52=151+52n+2-1-52n+2-1.]

解法2：從遞推公式入手.

由[2Sn=F1+F2+…+Fn+F1+F2+…+Fn]

[=F1+F1+F2+…+Fn-2+Fn-1+Fn-1+Fn+Fn]

[=F1+F2+…+Fn+Fn+1+Fn-F2]

[=Sn+Fn+2-F2]，

得[Sn=Fn+2-F2=151+52n+2-1-52n+2-1].

【設計意圖】求和是學生在掌握通項公式后，自然想要探索的方向. 根據通項公式，學生采用分組求和的方法，思路清晰且計算高效. 而從遞推公式入手，得出[Sn]與[Fn]的關系（[Sn=Fn+2-F2]），思維含量更高，更能凸顯斐波那契數列的數學本質.

3. 拓展延伸，增加研究維度

（1）斐波那契螺旋線.

幾何表示：教材第11頁“閱讀與思考”——斐波那契數列.

斐波那契數列有很多有趣的性質. 例如，斐波那契數列滿足等式[F12+F22+…+Fn2=FnFn+1]，我們可以用圖形（圖1）來表示這個等式. 圖1中小正方形的邊長分別為斐波那契數[F1=1，F2=1，F3=2，F4=3，…，]面積分別為[F12，F22，F32，F42，…]. 前n [n=2，3，4，…]個小正方形拼成的長方形的面積依次是兩個斐波那契數的乘積[F2F3，F3F4，F4F5，…]. 如圖1所示，從內到外依次連接通過小正方形的四分之一圓弧，就得到了一條被稱為“斐波那契螺旋”的弧線. 如果我們在圖1上不斷增加邊長是斐波那契數的正方形，那么“斐波那契螺旋”也將不斷向外延伸，而且它的形狀將越來越接近“黃金比例螺旋”.

代數表示：等式[F12+F22+…+Fn2=FnFn+1]的證明過程.

證明：由斐波那契數列的遞推公式，可知[Fn+1=]

[Fn+Fn-1].

所以[FnFn+1=F2n+Fn-1Fn].

將[Fn=Fn-1+Fn-2]代入，得

[FnFn+1=F2n+Fn-1Fn-1+Fn-2=F2n+F2n-1+Fn-2Fn-1].

重復上述步驟，可得

[FnFn+1=F2n+F2n-1+F2n-2+…+F22+F2F1].

因為[F1=F2=1]，

所以[FnFn+1=F2n+F2n-1+F2n-2+…+F22+F21].

美圖欣賞：如圖2，螺旋結構可以讓向日葵種子在同等面積中容納數量最多.

如圖3，羅馬花椰菜以一種特定的螺旋結構生長.

【設計意圖】以“斐波那契數列”閱讀內容為拓展起點，從幾何和代數兩個方面著手，從感性和理性兩個角度出發，全面認識“斐波那契螺旋線”. 斐波那契螺旋線還揭示了自然界中的一種普遍規律，即許多事物都遵循著一種內在的數學秩序. 這種秩序不僅能讓我們更好地了解自然界，而且也為我們提供了一種探索未知世界的工具.

（2）黃金分割.

黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值約為0.618（精確值為[5-12]）. 這是被公認為最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割. 兩個相鄰的斐波那契數的比值會趨近于黃金分割比，證明如下.

證明：設[φ=5-12]，則[Fn=55φ-n--φn].

所以[FnFn+1=55φ-n--φn55φ-n-1--φn+1].

當[n→+∞]時，[-φn→0]，[-φn+1→0]，

則[FnFn+1→φ-nφ-n-1=φ].

即當[n→+∞]時，[FnFn+1→5-12].

美圖欣賞：如圖4，蒙娜麗莎的臉型、頭寬和肩寬的比都接近于黃金分割比.

如圖5，帕特農神廟存在大量黃金分割比，如高和寬之比.

【設計意圖】將斐波那契數列與初中的黃金分割比巧妙地聯系起來，相鄰的兩項斐波那契數比的極限恰好是黃金分割比. 另外，黃金分割在藝術、建筑等領域也有廣泛應用.

（3）連分數.

形如[b0+a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+…?]的式子稱為連分數. 黃金分割比0.618的連分數是最簡潔的，全是由數字“1”構成. 推導過程如下.

由線段的黃金比[1x=x1-x]，得[x2=1-x]，

即[x1+x=1]，那么[x=11+x].

以[11+x]代替等式右邊分母中的[x]，可得[x=11+11+x].

依此類推，可得連分數[x=11+11+11+11+…].

這就是黃金分割比的連分數形式.

例1 （2022年全國乙卷·理4）嫦娥二號衛星在完成探月任務后，繼續進行深空探測，成為我國第一顆環繞太陽飛行的人造衛星. 為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數列[bn ：" b1=1+1α1，][ b2=1+1α1+1α2 ， b3=1+1α1+1α2+1α3 ， …]，以此類推，其中[αk∈N? k=1，2，…]，則（" " ）.

（A）[b1lt;b5] （B）[b3lt;b8]

（C）[b6lt;b2] （D）[b4lt;b7]

解：因為不等號方向改變偶數次，不影響不等號方向，改變奇數次，不等號方向改變，

所以[b1=1+1α1]，[b5=1+1α1+1…+1α5].

得[b1gt;b5]. 故選項A錯誤.

對于[α3lt;α3+1…+1α8]，兩邊每取一次倒數再加上相同數，則不等號方向改變一次. 不等號方向一共改變了三次，所以[b3gt;b8]. 故選項B錯誤.

對于[α2lt;α2+1…+1α6]，兩邊每取一次倒數再加上相同數，則不等號方向改變一次. 不等號方向一共改變了兩次，所以[b2lt;b6]. 故選項C錯誤.

對于[α4lt;α4+1…+1α7]，兩邊每取一次倒數再加上相同數，則不等號方向改變一次. 不等號方向一共改變了四次，所以[b4lt;b7]. 故選項D正確.

【設計意圖】通過黃金分割發現連分數與斐波那契數列的關系，再結合高考試題的應用實例，引導學生體驗斐波那契數列的妙用，從而在實踐中感悟數學文化的博大精深，增強家國情懷.

（4）楊輝三角.

楊輝三角是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，最早出現在中國南宋數學家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中，如圖6所示，如果按照一定角度將直線上的數字相加，可以從楊輝三角中找到斐波那契數列.

例2" 意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一個數列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和，人們把這樣的一列數所組成的數列稱為“斐波那契數列”. 人們發現斐波那契數列[an]有以下特征：

[C00=1=a1，C01=1=a2，]

[C02+C11=2=a3，C03+C12=3=a4，]

[C04+C13+C22=5=a5，C05+C14+C23=8=a6，]

[C06+C15+C24+C33=13=a7，C07+C16+C25+C34=21=a8，]

……

你可歸納出什么結論？試予以證明.

可歸納結論

[an=C0n-1+C1n-2+C2n-3+…+Cn2-1n2 n=2m，C0n-1+C1n-2+C2n-3+…+Cn-12n-12 n=2m-1 m∈N*.]

證明：先討論[k]為奇數時的情況.

① 當[n=1]時，結論成立；

② 假設當[n=k]時，結論成立，

即[ak=C0k-1+C1k-2+C2k-3+…+Ck-12k-12].

則當[n=k+1]時，

[ak+1=ak+ak-1]

[=][C0k-1+C1k-2+C2k-3+…+Ck-12k-12+C0k-2+C1k-3+C2k-4+…+Ck-12-1k-12]

[=][C0k-1+C0k-2+C1k-2+C1k-3+C2k-3+…+Ck-12k-12+Ck-12-1k-12]

[=C0k-1+C1k-1+C2k-2+…+Ck-12k-12+1]

[=C0k+C1k-1+C2k-2+…+Ck+12-1k+12]

[=C0k+1-1+C1k+1-2+C2k+1-3+…+Ck+12-1k+12.]

得證.

同理，可證[k]為偶數時結論成立.

所以，對所有正整數n都成立.

【設計意圖】展現楊輝三角與斐波那契數列之間的聯系，這是中外數學史之間的碰撞，同時促進了學生對二項式定理的深入理解與應用.

（5）其他方面.

斐波那契數列在自然科學、影視學等領域有著重要的應用，揭示了多門學科中蘊含的數學奧妙.

斐波那契數列與化學：如圖7，謝赫特曼（Dan Shechtman）因發現準晶獲得2022年諾貝爾化學獎. 在準晶中，原子的結構周期為1.618.

斐波那契數列與影視：如圖8，某電視劇主角出場的場景構圖符合斐波那契螺旋線.

【設計意圖】這部分是對前面四類內容的補充，讓學生充分體會到斐波那契數列的魅力，為學生后續研究斐波那契數列埋下興趣的種子. 通過引導學生從不同角度、不同維度來認識和理解斐波那契數列，幫助學生提升數學建模和邏輯推理等素養，培養他們的數學思維能力和跨學科學習能力.

三、教學啟示

我們常說，要像數學家那樣思考、像科學家那樣學習，但并非所有教師和學生都知道怎樣做或者怎樣才能做好. 因此，思考哪些內容可以使素養理念落地生根，這就是當前教育所面臨的關鍵性問題. 我們所說的數學文化，不僅可以豐富數學學科學習的內涵，增添數學學習的趣味性，而且能夠讓學生關注生活、拓寬眼界，并且能夠在學習的過程中學會提出問題和解決問題，不斷優化思維方式和行為習慣，提升數學核心素養和關鍵能力.

1. 依托數學文化，促進學科知識的多元融合

田剛院士在中國數學會第十一屆全國數學文化論壇上作的大會報告《數學有趣》中講到：“在大多數人心中，數學是冰冷枯燥的，認為數學是大量的數字、復雜的公式、晦澀的推理. 但實際上數學不僅是科學的基礎，也在繪畫、建筑等富有趣味的領域中隨處可見.”教師不僅可以嘗試在課堂教學中穿插數學史、生活中的數學等內容，而且可以有目的地融入生動的、可視化的信息技術，讓數學變得可感、可愛、可玩. 例如，通過簡單編程模擬擲硬幣、投骰子的過程，一鍵產生不同數量級的模擬結果，讓學生直觀體會概率和頻率的作用.

2. 借助數學文化，提升學生的思維能力

M.克萊因在《古今數學思想》的序言中指出：“課本上字斟句酌的敘述，未能表現出數學思維創造過程中的斗爭與掙扎、挫折與失敗，以及在建立一個數學結構之前，數學家所經歷的艱苦漫長的努力.”數學文化與數學思維是相互依存的. 數學文化鼓勵創新思維和獨立思考，教師可以設計一些與數學文化相關的探究活動，讓學生嘗試解決歷史上著名的數學問題，或者模擬數學家的探索過程，通過實際操作和推理來深化對數學概念的理解.

3. 積極推動數學文化，確保核心素養落地

李大潛院士認為，數學教育看起來只是一種知識教育，但本質上是一種素質教育. 這種素質教育不是從外界強加進來的，而是數學教育本身所固有的. 數學文化主要通過數學的形成和發展、數學在人類文明中的貢獻和意義、數學的人文價值、中華民族數學成就這四個方面，并以片段式、旁注式、問題式、短文式四種方法融入教科書. 在高中數學教學中積極融入數學文化，能夠引導學生欣賞數學的對稱美、簡潔美、和諧美，并體會數學的科學價值、應用價值、人文價值、美學價值，既讓數學核心素養的培養落地，又增強學生的核心能力.

數學文化全面提升素養教學，積極引導學生以數學家的視角經歷數學規律、定理產生的邏輯和過程，學生在這個過程中能逐漸提升知識遷移、思想領悟、內化素養的水平，教師也能以數學文化的視角重新審視學生的數學思維，更新教育理念，拓展教學邊界，守護教育熱情.

參考文獻：

［1］史寧中，王尚志.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.

［2］李寧. 在高中數學教學中滲透數學文化的途徑［J］. 語數外學習（高中版下旬），2019（4）：49.

［3］克萊因 M. 古今數學思想：第一冊［M］. 張理京，張錦炎，江譯涵，等譯. 上海：上海科學技術出版社，2014.

［4］王嶸. 數學文化融入中學教科書的內容與方法［J］. 數學教育學報，2022，31（1）：19-23.

作者簡介：姚詩蕓（1995— ），女，一級教師，主要從事高中數學教育教學研究；

吳凱（1984— ），男，高級教師，主要從事高中數學教育教學研究；

沈恒（1980— ），男，正高級教師，主要從事高中數學教育教學研究.