基于經驗細化速度概念進階表征的路徑

摘要：解決“速度”理解之難問題，需要實現進階表征。第一步：問徑，找準問題。第二步：破徑，探索歸因。第三步：尋徑，提出策略。可從四個方面進行進階訓練：基于學習起點做實“經驗表征”路徑；基于方法聯系做實“算法表征”路徑；基于運算意義做實“圖示表征”路徑；基于沖突暴露做實“符號表征”路徑。細化進階表征的路徑，一步步從“經驗表征”過渡到“符號表征”，能夠幫助學生更好地理解速度概念。

關鍵詞：經驗表征；算法表征；圖示表征；符號表征；小學數學；速度概念

小學階段，關于速度及其相關數量關系的厘清及問題解決，一直是學生學習數學中的重難點。相當一部分學生存在著概念混淆、數量關系建立紊亂、認為平均速度等于速度的平均等問題。事實上，“速度除其本身的知識屬性外，也是學生理解運動、對時空關系建立初步理性認識的開端。[1]”如何厘清路程、時間、速度三者的關系，從學生的學習起點和認知難點出發(fā)，解決“速度”理解之難問題，意義是多方面的——對于后續(xù)的函數學習，學生比例思維的發(fā)展，初高中加速度、速率的學習等均有奠基作用。小學生理解速度并非一蹴而就，而是一步一個腳印，實現進階表征。

一、問徑：剖析后測，反思教學

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱新課標）明確指出：“在具體情境中，認識常見數量關系：路程=速度×時間；能利用這一數量關系解決簡單的實際問題。”可見，引領學生在具體情境中厘清數量關系不可或缺。可以從具體情境題出發(fā)進行后測，為進階表征提供依據和奠定基礎。以下是針對43個學生的后測情境題型及結果。

一輛高鐵2小時行駛了640千米。（1）照此速度計算，3小時該高鐵能行駛多少千米？（2）知道了時間與路程，為什么就能計算出這輛高鐵的“速度”呢？

收集全部學生的作業(yè)進行分析，發(fā)現學生對速度概念理解有偏差，結果如下：

（一）混淆了“速度”與“路程”

第1小題的正確率僅為52.6%，其中典型錯誤如下：640÷2=320（千米）。顯然，這些學生把高鐵的速度當成了路程或路程的一部分，造成兩者之間的模糊與混淆。事實上，學生應該“從概念的聯系出發(fā)，感知速度的字面含義”[2]。所謂“聯系”就是應該聯系時間與路程，把“速度”理解為一個復合單位，理解為一個比率關系，而非理解為一個單一的量。

（二）斷裂了“算法”與“算理”

第2小題的正確率僅為47.8%。悉心分析典型錯誤，發(fā)現學生斷裂了“算法”與“算理”，未能發(fā)現兩者之間的有效關聯。相當一部分學生這樣說：“因為640千米是路程，2小時是時間，用除法就能計算出速度。”這就是典型的“知其然而不知其所以然”，即知道算法卻不知道算理。顯然，“路程÷時間”不僅僅是二求一，而是路程被單位時間成比例分割的關系。學生如果不理解這一點，哪怕牢記公式，熟稔算法，也是會用錯的。

二、破徑：追本溯源，探索歸因

問卷調查是“問徑”，之后的“破徑”不可或缺，為有效解決問題奠基。

（一）審思題型，分析缺失

人教版四年級上冊“三位數乘兩位數”中引入速度方面的題型，其目的是為了更好地解決行程問題，當然也是為了更好地鞏固“三位數乘兩位數”的算法。無疑，速度是衡量變化快慢的尺度，反映時間與空間的關系。路程與時間共同表征物體運動的有序關系。既然如此，題型的選擇就要指向數量關系，指向算理，而非一個單獨的數量。上述題型的設計是有缺失的，沒有展開速度概念的發(fā)生過程——只有算法教學，而沒有算理及比例關系的指向。好的、有意義的題型不是割裂，而是聯結，尤其應該聯結多個因素之間的實際意義，如此，才能更好地理解核心概念。

（二）剖析學情，尋找聯系

除了分析教材或教師設計的題型之外，還要分析學生的學習起點與學習實情。學習“速度、時間與路程”之前，很有必要了解學生已有的經驗，為速度概念的建構奠定基礎。畢竟，生活中學生已經對“速度、時間與路程”有一些模糊的感知，而這，也是不可或缺的有效資源。我們選擇四年級的45名學生，圍繞“速度、時間與路程”進行課前調查，設置如下兩個問題：

①什么是“路程”？什么又是“速度”？你能通過具體例子來闡明你的觀點嗎？

②吳強和劉靜跑步，前者跑了5分鐘，后者跑了6分鐘，誰跑得快？為什么？

統計結果表明，第一題中關于“路程”的理解，正確人數是41，模糊人數是3人，錯誤人數是1人，正確率為91.1%，說明學生對“路程”的理解較好。相比而言，學生對“速度”的理解就不盡如人意，正確人數只有9人，模糊人數是26人，錯誤人數是10人，正確率只有20%。第二題中，選擇吳強跑得較快的學生多達77.8%，而正確人數只有10人，正確率只有22.2%。這說明77.8%的學生忽視了速度與路程的關系。

四年級的學生在上學放學路上常常通過跑步、騎車比快慢，其中的一些經驗不應小覷。盡管這些經驗是粗淺而零散的，但打通數學知識與現實生活之間的通道而尋找聯系是很有必要的。比如，“你選擇吳強跑得快，但是究竟跑了多長？你注意‘距離’這個因素了嗎？”一個問題就能喚醒學生已有的經驗。由此，教師可從生活實際經驗出發(fā)，幫助學生糾正自己的錯誤認識，正確建構核心概念的認知體系。

三、尋徑：表征可視，建構概念

基于學生的已有經驗、學習起點與基本實情，我們重新設計速度概念進階表征的路徑，幫助學生厘清速度與路程的不同，整體上勾連相關因子，并且著重經歷算法化的過程，有效解決相關問題。

（一）基于學習起點做實“經驗表征”路徑

由上觀之，學生經常性“比快慢”，可見，速度與“快慢”有關系。既然如此，不妨由此出發(fā)，通過情境題型的設計幫助學生理解速度。

教師出示情境題型：小熊用4分鐘走了360米，小狗用2分鐘走了120米，小牛用2分鐘走了160米。教師追問：“三個小動物，有相同的地方，有不同的地方。請觀察相同之處，回答哪兩個小動物不用計算就能比出誰快；再觀察不同之處，如果時間與路程都不相同時，思考誰快誰慢。最后思考：速度究竟與什么有關。”

學生的觀察結果不外乎兩種情況：時間相同，路程不同；路程相同，時間不同。“比快慢”，就要看兩個因素：一是相同時間內誰走得遠，二是相同路程內，誰用的時間更少。學生通過討論，再加上教師的及時提醒與點撥，很快總結出如下結論：小狗與小牛的時間相同，不必計算就知道小牛的速度快，因為它在相同時間內走得更遠。以上都是通過勾連生活經驗，找到了“經驗表征”的路徑，讓學生在已有的“比快慢”與抽象的“速度”之間建立契合點，幫助理解速度這一核心概念。

（二）基于方法聯系做實”算法表征”路徑

小狗與小牛之間不必計算就能比出快慢。但是要比較小熊與小狗、小熊與小牛之間誰快，就比較復雜，就需要計算。按照以上“比快慢”的邏輯，至少應該把“時間相同”這個條件考慮進去，但是小熊與小牛的時間偏偏不一樣，如何比較呢？于是，學生產生認知沖突，并且引發(fā)探究心理：如何把“無法比較”變成“可以比較”“能夠比較”，這就需要從“經驗表征”過渡到“算法表征”：小熊、小狗與小牛每分鐘究竟走多少米？由此，學生真正觸及到“速度”這一核心概念。

再次出示小熊與小牛的情境圖，教師充分放權，先讓學生自主探索，力爭站在審視方法的角度呈現出多樣化算法。

方法1：遞減法。小熊用4分鐘走了360米，那么，2分鐘走的路程肯定是360米的一半，即180米。與小牛2分鐘內走的160米相比，明顯小熊要快。

方法2：遞增法。小牛2分鐘內走160米，那么，4分鐘內的路程肯定就要翻倍，即320米。與小熊4分鐘內走360米相比，明顯小熊要快。

方法3：用除法。360÷4=90，160÷2=80。顯然，每分鐘內小熊走的路程長。

在此基礎上，教師組織學生分析上述三種方法的異同，并就“哪種方法好？理由是什么”展開討論。學生發(fā)現可以將無法比較的“量”轉化為可以比較的“量”，其關鍵在于把時間長度統一起來。比如，都是4分鐘，或者都是2分鐘，或者都是1分鐘。這樣的相同的時間內，無疑比較1分鐘或者“每分鐘”內走的路程，是最一般化的方法，能從“比快慢”中容易得出正確方法的路徑。而這，也是速度概念中最重要的地方。由此，由“經驗表征”到“算法表征”，學生經歷了思維爬坡，經歷了進階過程，自然而然地加深了對核心概念的理解

（三）基于運算意義做實“圖示表征”路徑

對于小學生而言，不容易理解“路程被單位時間成比例分割”這樣的運算意義。由“4分鐘之內走了多少路程”到“每分鐘內走了多少路程”，學生會計算，但未必理解其運算意義。怎么辦？通過“圖示表征”不失為一條有效的路徑。畢竟，小學生形象思維發(fā)達，容易通過圖上的“所見”去理解代數意義中的“所不見”。

以算式“360÷4=90（米）”為例，學生知道“求1分鐘走的路程要用除法”，但是不知道為什么用除法，也就是不理解運算意義。此時，教師可通過“圖示表征”的方法幫助學生理解。借助圖示，學生從每一階段的劃分中理解到4分鐘里有4個1分鐘，“360米”也要平均分成4份。”這里的“分”是對應的，“360÷4=90（米）”，不僅僅意味著路程上的四等分，也意味著時間與路程在一定單位內的劃分（見圖1）。

速度關聯到兩個量，一個時間，一個路程。畫一條時間軸與路程軸，通過“雙線段”的形式，學生容易理解“速度是路程被單位時間成比例分割”（見圖2）。從圖中可以明顯看出“雙線段”具有相同的長度，并且上下一一對應，更加直觀地“細化出單位時間內的路程長度”這一特點。在此基礎上，教師用動態(tài)方式將“雙線段”合成一條線段，趁機讓學生找一找合成后線段中的三個因子的位置，進一步理解“速度是路程被單位時間成比例分割”的概念。這樣的“圖示表征”形象、生動、直觀，幫助學生加深了對速度概念的理解。

（四）基于沖突暴露做實“符號表征”路徑

上文提到的學生混淆了速度與路程的表現之一就是速度單位與路程單位是一致的。上面三個步驟的學習之后，教師進一步制造認知沖突，促使學生理解：既然速度單位不能與路程單位混淆，那么，與時間單位能混淆嗎？由此，促使學生理解到速度單位是路程與時間單位的結合體。當然，教師不是直接告訴學生這一結論，而是通過情境活動的呈現，經歷討論、歸納與總結的過程，一步步理解速度單位發(fā)生、發(fā)展和形成的過程，讓學生知其然，還要知其所以然。

教師通過大屏幕出示“兩牛吹牛”情境圖（見圖3），并趁機追問：1.你能計算出甲牛與乙牛的速度嗎？可以列式計算并將結果呈現出來（結果均為“5”，但單位不一樣）。2.組織學生觀察結果、對比結果并發(fā)現問題：“結果都是5，有什么不一樣？”3.學生歸納：每小時與每秒肯定是不一樣，千米與米也不一樣。由此引出復合單位。4.組織學生一步步歸納出建構速度計算的一般模型。

根據學生己有的經驗和知識儲備來看，肯定知道兩個5表示的意義是不同的，哪怕是基礎較弱，也能理解小時與秒的區(qū)別。教師可以順勢引導學生：究竟在哪一個因素上來區(qū)別兩者的不同？經過討論，學生漸漸達成共識：“應該在速度單位上表明一個是‘小時’一個是‘秒’。”由此，學生理解到速度單位的表示中，任何單一的單位都是錯的，“時間單位+路程單位”這樣的復合單位才是對的。

“速度是不能通過直觀感知的，是通過兩個量復合而成的。[3]”這兩個量就是時間與路程。如何厘清速度與路程、時間之間的關系，值得師生邁出建設性步伐。實踐證明，基于學生的“經驗表征”，細化進階表征的路徑，一步步過渡到“符號表征”，符合小學生的認知規(guī)律與學習特點，并且能夠幫助學生更好地理解核心概念。

參考文獻：

[1] 盧特.從經驗到符號：速度概念進階表征的路徑思考[J].中小學數學（小學版），2024（Z1）.

[2] 屈婷.豐富速度內涵促進概念理解[J].小學教學（數學版），2022（5）.

[3]湯牧文.“速度”之難與教學改進[J].教學月刊（小學版數學），2021（11）.

編輯/趙卓然