“線性代數”的可視化教學案例探索

摘要：“線性代數”是理工及經管類大學本科生必修的一門數學課程，該課程概念和定理較多且抽象，是學生學習的難點。本文通過MATLAB軟件可視化了線性代數中若干核心概念的教學設計，以線性變換為紐帶，將矩陣、矩陣的行列式、線性方程組解的情況等知識點串聯，形成了三個典型教學案例，旨在幫助剛接觸線性代數的學生建立起對這些基礎概念的直觀理解，把握各個知識點之間的內在聯系，并為他們進一步理解和掌握其他概念和高維空間的內容奠定堅實的基礎。

關鍵詞：線性代數；可視化；線性變換；行列式；線性方程組

VisualTeachingCaseExplorationof"LinearAlgebra"

XuMing

GuizhouUniversityofCommerceGuizhouGuiyang550014

Abstract："Linearalgebra"isacompulsorymathematicscourseforundergraduatestudentsinscience，technology，businessandmanagement.Ithasmanyconceptsandtheoremsthatareabstract，whichmakesitdifficultforstudentstolearn.Thispapervisualizestheinstructionaldesignofseveralcore conceptsinlinearalgebrausingMATLABsoftware.Takinglineartransformationsasthelink，itconnectssuchasmatrices，determinantsofmatrices，andsolutionstosystemsoflinearequations，formingthreeteachingcases.Theaimistohelpstudentswhoareintheinitialstagesoflearninglinearalgebratobuildanintuitiveunderstandingofthesebasicconcepts，grasptheintrinsicconnectionsbetweenvariousknowledgepoints，andlayasolidfoundationforthemtofurtherunderstandandmasterotherconceptsandthecontentofhigherdimensionalspaces.

Keywords：linearalgebra；Visualization；lineartransformation；determinant；systemsoflinearequations

1概述

線性代數作為大學數學中的重要組成部分，對于理工及經管類大學本科生至關重要。它內容豐富，概念定理較多且抽象，是大學數學教學的難點。目前的教學過程偏重于計算，未能在教學初期有效地引導學生構建對這一學科清晰且全面的認識，從而使學生不能很好地理解其中的概念和把握知識點之間的聯系。

針對這一問題，教師應當采取創新的教學方法，幫助學生克服學習障礙，并提升他們對數學學科的興趣和創新能力。通過引入具體的應用實例和實踐操作，學生可以更加直觀地理解線性代數中的概念，并掌握其在現實世界中的應用。

為了實現這一目標，教學內容的設計應當注重理論與實踐的結合，通過案例分析、項目實踐和問題解決等多樣化的教學手段，引導學生深入探索線性代數的深層次結構和應用潛力。同時，也要不斷更新教學資源和方法，利用現代教育技術，如在線課程、模擬軟件和互動平臺，來提高教學的互動性和吸引力。通過這些綜合性的教學策略，學生將能夠更加深刻地理解線性代數，并在未來的學術和職業生涯中有效地運用這一強大的數學工具。

2可視化教學設計示例

2.1矩陣與線性變換的關系

定義2.1向量x=（x1，x2，…，xp）與向量x=（y1，y2，…，ys）之間的關系式：

t11x1+t12x2+…+t1pxp=y1

t21x1+t22x2+…+t2pxp=y2

ts1x1+ts2x2+…+tspxp=ys

稱為從向量x到向量y的線性變換，其中tij為常數，該線性變換的系數構成的矩陣T=（tij）s×p稱為其系數矩陣。

線性變換的本質是一個映射，所以對任意矩陣T=（tij）s×p，如果將其作用于（左乘）空間中的每一個向量，本質上就是對該空間中每個向量做線性映射。我們將這一現象在MATLAB軟件中可視化為動圖，學生可調整輸入來觀察不同線性變換的效果。背景中的方格用來代表該空間中的向量，其中兩個基向量加粗，便于觀察該變換的對空間進行了何種操作（只展示了動圖的部分幀）。

2.2線性變換與矩陣行列式之間的關系

先回歸一下二維矩陣行列式的定義：

定義2.1：設二維矩陣A=abcd，則其行列式定義為代數式：det（A）=ad-bc。

以二維矩陣為例：由上節所述，一個2×2的矩陣會將二維空間進行變換，那對于原空間中的封閉圖形，變化后的面積與變化前面積的比值是多少呢？或者說線性變換將空間拉伸或者壓縮的倍數是多少呢？

設A=abcd，原空間中單位基向量i=10，j=01。經過矩陣A變換后在新空間中坐標為：i′=ac，j′=bd。原基向量張成面積為1的矩形經線性變換為平行四邊形（如圖5），其面積計為S。該平行四邊形由坐標已知的向量i′，j′張成，故其面積很容易算出：S=ad-bc。

由上節中的線性變換示意圖（圖1—圖4）可知，S有以下幾種情況：

（1）當空間沒有發生翻轉時，S=ad-bc=det（A）＞0；

（2）當空間被壓縮時（壓縮為線或者點），S=0=det（A）；

（3）當空間發生翻轉時，S=bc-ad=-det（A）＞0。

綜上所述，我們可以總結出二維矩陣行列式的幾何意義。2×2矩陣A的行列式為：原空間中面積為1的封閉圖形經對應線性變換作用后得到的新圖形的有向面積。或者可以看成是該線性變換將空間拉伸或者壓縮的比例。

同理，可類比得到三維矩陣行列式的幾何意義：三維矩陣對應的線性變換將原三維空間中體積為1的封閉立體變換后的有向體積。三階矩陣的行列式為零時，同樣代表壓縮變換。這時有三種情況：將三維立體空間壓成平面；將三維立體空間壓成一條線；將三維立體空間壓到原點。

2.3線性變換與線性方程組解判別的聯系

2.3.1非齊次方程的情形

對于方程Ts×pxp×1=bs×1，b≠0，以線性變換是對空間的操縱為出發點，也即是在向量b確定的情況下，求一個向量x，使得x經過線性變換T的作用后映射到b。我們分以下幾種情況考慮：

（1）設Tp×p為滿秩方陣。此時線性變換T沒有改變變換前后空間的維度。且T滿秩，故向量b一定可以由矩陣T的列向量線性表示（即向量b一定在矩陣T的列空間中），且表示系數唯一，故r（T，b）=r（T）=p，此時方程有唯一解。

（2）設Tp×p為降秩方陣。此時線性變換T將空間壓縮，壓縮后的空間維數小于p。當向量b屬于該低維空間時，向量b可以由矩陣T的列向量線性表示，而對空間壓縮將會使得無窮個向量被壓縮變換到向量b，這時r（T，b）=r（T）＜p，方程有解且有無窮多解。當向量b不屬于該低維空間時，r（T，b）＞r（T），方程無解。

（3）設矩陣Ts×p，其中s＞p。此時，線性變換將p維向量x映射為比其維度高的s維向量b。當此s維向量b可以由T的列向量（p個）線性表示時，說明向量b位于s維空間的子空間中，這時r（T，b）=r（T），方程有解。并且如果該子空間維數為p，說明沒有發生空間壓縮，故有唯一解。如果該子空間維數小于p，則有無窮解。反之，如果向量b不屬于s維空間的子空間，即r（T，b）＞r（T），方程無解。

（4）設矩陣Ts×p，其中s＜p。此時，線性變換將p維向量x映射為比其維度低的s維向量b，空間發生了壓縮。此時一定有無窮個向量被變換到向量b，故方程有解且有無窮解，此時r（T，b）=r（T）≤s＜p。

2.3.2齊次方程的情形

對于方程Ts×pxp×1=0s×1，即非齊次方程中向量b為零向量時，因為零向量肯定位于每個線性空間中，所以齊次線性方程組情形的討論則簡單一些：

（1）設Tp×p為滿秩方陣，此時線性變換T沒有改變變換前后空間的維度，且T滿秩，故空間沒有壓縮，所以線性方程組無解。

（2）設Tp×p為降秩方陣，此時線性變換T將空間壓縮，壓縮后的空間維數小于p，且零向量肯定在這個空間中，故線性方程組有無窮解。

（3）設矩陣Ts×p，其中s＞p。線性變換將p維向量x映射為比其維度高的s維向量b。如果r（T）=p說明空間沒有被壓縮，方程有唯一解；如果r（T）＜p，方程有無窮多解。

（4）設矩陣Ts×p，其中s＜p。此時，線性變換將p維向量x映射為比其維度低的s維向量b，空間發生了壓縮，故方程有無窮多解。

綜合以上分析可以看出，判斷非齊次方程組解是否存在的關鍵在于系數矩陣的秩與增廣矩陣的秩是否相等，等于則有解，不等就無解。而對于齊次方程，解是一定存在的。當解存在時，無論是齊次方程還是非齊次方程，如果矩陣T對應的線性變換壓縮空間，即r（T）＜p，則方程組有無窮解。

3小結

本文通過線性變換的可視化表示，不僅闡述了行列式在幾何上的直觀表示，而且還揭示了線性方程組解的內在結構與矩陣秩之間的密切聯系。這三個精心設計的案例共同構成了一個連貫的教學框架，使學生能夠通過直觀的幾何圖形，更好地理解這些線性代數中的抽象概念。

在后續的教學實踐中，我們可以繼續采用這種可視化的教學策略。例如，動態演示矩陣求逆的過程、探索向量組的線性相關性與向量空間的維度、分析特征值和特征向量的幾何應用等，進一步豐富和拓寬學生的知識視野。這樣的教學方法不僅有助于鞏固和深化學生對線性代數基本理論的理解，而且還能夠激發他們探索更高維空間概念的興趣和動力。

通過這種逐步引導和深入探討的方式，學生將能夠逐漸建立起一個完整的線性代數知識體系，不僅能夠理解每個單獨概念的本質，還能夠把握它們之間的相互聯系和作用。最終，學生將能夠在解決實際問題時，靈活運用線性代數的原理和方法，展現出扎實的理論基礎和出色的問題解決能力。

參考文獻：

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基金資助：貴州商學院2023年校級教改項目“《線性代數》可視化串聯教學案例的探索與研究”（2023XJJG16）；教育部2024年第一批產學合作協同育人項目“應用型本科建設背景下計算機類專業MATLAB課程教學模式探究”（230805211022653）

作者簡介：徐銘（1996—），女，漢族，貴州六盤水人，碩士，初級職稱，研究方向：數據分析與算法。