基于適應度有序準入策略的網絡凝聚調控

摘要：為了從理論上尋找有效的反壟斷策略，設計了一套基于適應度重排的節點準入規則，并采用復雜網絡理論研究了該規則對拓撲凝聚的影響。通過蒙特卡羅模擬和有限尺度效應分析，求得一類典型適應度分布下的臨界重排指數，建立了凝聚的相圖。該相圖表明：存在一個由臨界重排指數構成的區間，在此區間之外凝聚會得到有效抑制；相圖結構是非對稱的，逆序臨界重排指數具有非線性發散效應。這些結果可解釋當前互聯網壟斷的成因，并為相應的反壟斷政策給出有價值的建議。

關鍵詞：適應度；凝聚；壟斷；復雜網絡

中圖分類號： TP393;N94文獻標識碼： A

收稿日期：2023-03-10；修回日期：2023-04-17

基金項目：華東師范大學軟硬件協同設計技術與應用教育部工程研究中心開放研究基金（OP202102）

第一作者：馬忠渝（1998-），男，新疆烏魯木齊人，碩士研究生，主要研究方向為復雜網絡動力學。

通信作者：錢江海（1983-），男，上海人，博士，副教授，主要研究方向為復雜網絡模型、滲流理論、復雜系統的漲落動力學、社會經濟系統與統計物理的交叉學科研究。

Regulation of Network Condensation Based on Fitness Ordered Access

MA Zhongyu¹，CHENG Yanxin¹，CHEN Lisheng¹，LIAO Qijia¹，QIAN Jianghai^1，2

（1.College of Mathematics and Physics， Shanghai University of Electric Power，Shanghai 200090，China; 2.Engineering Research Center of Software/Hardware Co-design Technology and Application， Ministry of Education （East China Normal University）， Shanghai 200062， China）

Abstract：To find theoretically an effective antitrust policy， we design an access rule for nodes based on the rearrangement of their fitness and study its effect on the topology condensation from the perspective of complex network theory. By Monte-Carlo simulations and the finite size scaling analysis， we obtain the critical rearrangement index for a typical class of fitness distribution and establish the condensation phase diagram. The phase diagram shows that there exists an interval of the critical rearrangement index， outside which the condensation will be effectively suppressed; the phase diagram is asymmetric in structure and the critical reverse-rearrangement index diverges in a nonlinear manner. These results can explain the present monopolistic behavior by internet firms and provide useful suggestion for the corresponding anti-monopoly policy.

Keywords： fitness; condensation; monopoly; complex network0 引言

對于各類社會經濟系統，復雜網絡提供了一種普適的理論框架^[1]。在此基礎上廣泛開展的網絡演化模型研究已成為我們理解這些系統自組織規律的重要范式^[2-4]。其中，作為經典模型之一的適應度模型^[5]，模擬了具有不同內稟競爭力（也稱之為適應度）的節點獲取連邊的動力學過程，成功再現了“適者愈富”效應和冪律度分布等諸多實證觀測結果。特別引人注目的是，該模型預言當適應度的分布滿足特定條件時，網絡中會涌現出一個或若干“超軸心”節點，相比普通節點具有壓倒性的競爭優勢，從而可獲取到占整個網絡相當可觀比例的連邊。

與常規大度值情形不同，從度分布結構上看，這些節點的度與分布主體分離，孤立地處在分布極右側^[6]；從演化動力學上看 ，這些節點的度與網絡總邊數等比例增長，從而即使在熱力學極限時其連邊份額依舊不會消逝；而從拓撲形態上來看，網絡將以這些節點為核，形成明顯的星狀結構（見圖1）。若將一條連邊的兩端看成一對粒子，連邊兩端所在節點的適應度映射為能級，網絡系統可類比為波色氣體。在此圖景下，Bianconi G等^[7]發現超軸心節點的涌現與波色-愛因斯坦凝聚有著數學上的對應，顧將其名為網絡凝聚。在社會經濟系統中，類似的現象也被叫做“贏家通吃”或“龍王”等，是一個多學科共同關注的焦點問題^[8-10]。

自網絡凝聚現象被發現以來，科學家對其產生條件、相變行為及涌現過程開展了深入研究。Ferretti L等^[11]研究了適應度模型凝聚的動力學過程，發現了凝聚節點涌現過程中的降速特征。他們進一步將適應度推廣到負值情形，發現了在斷邊重連情形下的凝聚行為^[12]。Sotolongo-Costa O等^[13]將適應度模型思想推廣到有向網絡，并研究了出度和入度的凝聚相變，發現了多相共存現象。類似地，Ferretti L等^[14]將研究拓展到空間網絡，此時適應度表達為空間距離的函數，他們發現在度規奇點處將出現凝聚。郭進利等^[15]發現了超網絡中的波色-愛因斯坦凝聚現象。Ohkubo J 等^[16]發現了非增長合作網絡中的簇團凝聚結構。Sun J等^[17-19]則分別研究了節點年齡老化和空間位置選擇對凝聚的影響。除了基于適應度模型的凝聚，一些研究還挖掘出其他可能的機制。Krapivsky P L等^[20]提出了增長隨機網絡模型，他們發現當連邊概率依從度的超線性關系時，網絡會涌現出凝聚節點。蘇桂鋒等^[21-22]進一步將該機制和適應度模型相結合，并詳細研究了新模型發生凝聚相變的參數條件及其在非增長情形下的行為。Nicosia V等^[23]在多層網絡中引入類似的超線性偏好依附并成功誘發每一層網絡的凝聚。Anand K等^[24]發現對于給定度分布下的構型網絡，當平均度大于一定閾值時系統會出現凝聚，但與適應度誘發的玻色愛因斯坦凝聚機制不同，此時的凝聚只對應于一些大偏差組態。

盡管不斷有新的機制或衍生模型被提出，原初的適應度模型^[5]因其在刻畫復雜系統競爭性演化上的有效性和普適性而被最廣泛地采納。事實上，如果我們將節點的連邊看成是其獲取的資源，適應度模型中涌現的凝聚對應的正是競爭市場中一類重要的現象——壟斷。這種在自由競爭環境下，資本為追求更高利潤價值，通過資源兼并而形成的寡頭及專賣現象，會嚴重危害整個市場的公平性、多元性、定價合理性，并最終導致市場失活，危及整個經濟的健康發展。近期，國家市場監督總局對阿里壟斷行為作出高達182.28億元的處罰，標志著反壟斷已成為當前中國經濟發展和市場管理面臨的重大問題。傳統反壟斷主要通過針對寡頭的稅收或法律強制等手段來限制其擴張性和競爭力。但適應度模型表明，壟斷的發生源于系統內適應度的環境，而并非某個個體導致的。即使我們消除了一個凝聚節點，特定的適應度分布會使得系統再次演化出新的凝聚。這意味著針對個體的懲戒措施將永遠滯后于壟斷的發生，并不能從根本上控制和阻斷市場的既定走向。首先明確指出這一點的是Lera S C等，他們基于此開發了針對適應度的壟斷預警系統，并進一步提出了基于最短代價路徑的適應度調整策略以對抗凝聚^[25]。但在現實中，改變整個網絡的適應度是困難的。其涉及的群體數量龐大，不僅需要大量資源的投入，還需相當時間的積累才能見效。此外，在實際操作中，被培育的個體未必能提升至預期適應度，因此該方法還面臨改造不確定性和有效性評估等問題。事實上，Lera等的方法更適用于長期戰略布局，而不是一個針對性的調控方案。

為尋求一種更低成本、更具可操作性的措施，本文嘗試通過調節不同適應度節點進入網絡的順序來調控網絡的凝聚。本文首先回顧適應度模型發生凝聚的原理，并基于此分析了有序準入調控方法的理論基礎；然后提出了模擬有序準入過程的適應度重排方案，并介紹了凝聚狀態的判別方法；接著給出具體的研究結果，并探討了該結果具有的現實意義；最后作全文總結。

1 有序準入策略的理論基礎

然而作為判定凝聚的核心方程（4），它的導出是基于式（3）中應用的平均場方法。該方法在適應度與網絡演化過程獨立時是有效的。但如果適應度的加入與演化過程存在關聯，就不能用全局的ρ（η）作為特定節點i的適應度分布，這將破壞式（3）和式（4）的結構，繼而影響解的存在性。于是，是否存在一種與演化關聯的適應度準入方式，使得原有的凝聚得到消除或抑制就是一個值得探討的問題。直覺上來說，由于大適應度節點更容易演化為凝聚節點，準入順序似乎應優先考慮小適應度節點，給予其充分演化時間獲取較大的度以對抗大適應度節點，換而言之，就是用先行者優勢對抗適者優勢。在現實情況下，這樣的策略也確實存在，例如各種針對中小企業的優先扶持政策，或者一些行業通過牌照的發放設立準入資格等^{[ 26-27]}。但到底怎樣的準入順序才是合理和有效的其實一直缺乏確實的理論基礎。

2 有序準入的實現與凝聚判定方法

2.1 適應度重排算法

對于一個含N個適應度元素的序列，本文設計了一套重排算法來調整其排列次序，從而實現節點的各種有序準入過程。以升序重排為例，步驟：

1）將該適應度元素序列按適應度值的大小升序排列。

2）對序列中的元素進行N輪主動交換操作：在第i輪，若處于i位置的元素此前未實施過主動交換，它依概率p_i（j）=L^－α_ij/∑jL^－α_ij選擇一處于j位置元素，并與之進行主動交換，其中L_ij表示兩元素當前在序列中的距離；若該元素此前已實施過主動交換，它在其當前輪次不作操作（換而言之，每個元素最多只能進行一次主動交換，但它仍可在其他輪次被選中并被交換）。圖2給出了重排算法中主動交換操作的示意圖。其中i，j，k代表序列中的3個位置；不同形狀代表不同的適應度元素；綠色代表該元素尚未實施過主動交換，紅色則代表它已實施過主動交換；黃色箭頭標示當前輪次進行到的元素位置。圖2a中i位置的元素與j位置的元素進行主動交換（藍色有向實線）；當第j輪時（見圖2b），j位置的元素正是原來圖2a中i位置的元素，它已進行過一次主動交換，故本輪不作操作，但在后續輪次中它仍可被其他元素選中并被交換，如圖2c所示（其中藍色有向點線列舉了k位置的元素可選擇主動交換的兩個對象）。事實上，該算法相當于對適應度排成的格點序列進行空間小世界網絡構造^[28-29]，其中p_i（j）相當于增補有向長邊的概率。而主動交換等價于每個適應度與其出度所連接的目標進行交換。限制適應度元素主動交換的次數，是為了盡量消除一個元素被來回交換而回歸原位的趨勢。盡管仍存在由于被其他元素主動交換而多次移動的可能，但考慮到一個適應度的入度期望為∑ip_i（j）～O（1），所以該可能性是比較小的。p_i（j）中的α叫重排指數，當α=0時，適應度序列經重排回歸到原始模型的隨機排列模式；而當α→+，適應度序列為最初的升序。因此α調節了適應度排列的有序性。對于真實系統，這種有序性反映了管控措施對原自由市場的介入度。此外，可將步驟1）改為按適應度從大到小排列，然后按步驟2）實現降序重排，并定義此時的重排指數為負值。這一對稱性操作使我們能盡可能無偏差地實現適應度重排，并可在α的全空間內討論凝聚狀態的變化。需要指出，本文的重排方法無法包括所有排列可能，但p_i（j）的冪律特性能確保產生各種尺度的長邊，從而涵蓋盡可能多的適應度排列。

2.2 凝聚的判定方法

適應度準入的時序性使得模型的解析變得困難，故本文通過對模擬結果的數值分析來研究系統的凝聚特征。原則上，可通過跟蹤演化過程中最大度k_max（t）與演化時間t的比值來估計是否發生凝聚。但當系統接近臨界點時，k_max/t往往因衰減緩慢而難以辨別其真實的趨勢，致使該方法所確定的臨界點存在不可避免的主觀性和不確定性。為提供更可靠和標準化的分析，本文采用文獻[7]提出的有限尺度效應方法。該方法首先對特定的網絡規模N，計算演化終態時〈k_max/N〉隨重排指數α的變化關系，這里〈〉表示對多次模擬取平均；然后研究當N不斷增大時該關系的變化。若網絡發生凝聚，〈k_max/N〉應與N無關，同一α處的數據點應基本重合；反之，若各N的數據點分離，則網絡在該α處不發生凝聚。于是，數據點開始分裂之處就對應于凝聚的臨界α。為了對該臨界點的判定給予明確的標準，可引入敏感性系數

因在臨界點處系統狀態一般會發生大的波動，可根據χ的極大值來確定凝聚臨界點。

3 算例與討論

本文采用文獻[7]建議的適應度分布

β=3其中η∈[e^－β，1]。系統的凝聚程度由單參數β唯一確定，當βgt;1.3時，適應度模型會發生凝聚，其程度隨β增大而增強^[7]。對于一實際經濟系統，β可以看成是對市場環境惡化程度的度量。

本文首先依式（6）的分布生成N個適應度元素，然后用重排算法對其進行排序，最后將排序后的元素依次加入網絡，進行適應度模型模擬，并記錄網絡最大度占比k_max/t的信息。圖3給出了不同α下k_max/t隨時間的演化結果。模擬參數設置為β=3，m=1，N=50 000。這里取較大的β是為了在相對苛刻的環境下測試調控策略的有效性。當α=0時網絡的演化等價于原始適應度模型， 系統如預期出現凝聚；當 α=1時，控策略建立了適應度與演化時間的升序關聯，但關聯強度較弱，未能改變網絡的凝聚狀態；但當這種升序關聯加強到一定程度后（如α=3），k_max/t隨時間已呈現明顯冪律衰減，表明調控策略確實能有效抑制凝聚。出乎意料的是當α=－1 ，即適應度降序排列時，k_max/t 也表現出緩慢的衰減，凝聚似乎仍能得到抑制。

為了準確測量抑制凝聚的臨界重排指數α_c，本文進一步研究了N=10³，10⁴，10⁵三種網絡規模下終態平均最大度占比〈k_max/N〉與α的關系，圖4a和圖5a分別給出了β=2和β=3時的相關結果，其中每個數據點是30次獨立模擬計算的平均值。從圖4a，圖5a中可看出，在α=0兩側的一定區域內，不同網絡規模的數據點相合即終態最大度占比與網絡規模無關，表明網絡在此區域仍處于凝聚狀態。但當α遠離零點到一 定程度時，不同網絡規模的數據點逐漸分離，越大的N其終態最大度占比越小，意味著此時調控策略已抑制了凝聚?？梢杂^察到在αgt;0和αlt;0區域各存在一個數據分裂點，分別對應著升序重排與降序重排的兩個臨界重排指數α⁺_c和α^－_c。它們可通過敏感系數χ的極值點來確定。如圖4b和圖5b所示，χ在隨α的變化過程中存在兩個極值點，其位置分別處于αgt;0和αlt;0區域，并且與圖4a和圖5a中的數據分裂點吻合。對于β=2，有α⁺_c=1，α^－_c=－0.2；對于β=3，有α⁺_c=1.5，α^－_c=－0.4。

依上述方法，測量了多個不同β下的α⁺_c和α^－_c，并繪制了凝聚的相圖。如圖6所示，α⁺_c（紅色方點）和α^－_c（藍色圓點）所構成的兩條曲線確定了調控策略有效性的邊界，從而劃定了凝聚與非凝聚態的參數范圍。從圖6中可以得出結論：

1） 對一特定的凝聚強度β，存在一重排指數區間，凝聚只發生于在此區間內，而在此之外凝聚會被調控策略有效抑制。

2）重排指數區間跨越零點，表明無論升序重排還是降序重排，都可以存在一定的準入調控方式，實現凝聚的抑制。

3）升序重排和降序重排的臨界重排指數都表現出隨凝聚強度β的正相關聯系。重排指數區間范圍隨β增大而增大，反應出越惡化的環境，需要越多的干預才能實現有效調控。

4）在臨界重排指數與凝聚強度β的具體關聯模式上，升序重排和降序重排表現出明顯差異。對于升序重排情形，臨界重排指數隨β緩慢增大；而對降序重排時，臨界重排指數隨β以明顯的非線性方式減小，呈現極快的發散趨勢。

從現實市場管理的視角來看，結論1）首先從理論上支撐了有序準入策略在抑制壟斷上的有效性，而結論3）則直觀描繪了市場干預度如何受市場環境的制約，即對特定惡化程度的市場，需建立多嚴格的準入門檻，才能實現適當的適應度時序關聯從而抑制壟斷。此外，結論2）表明調控策略本身保有相當大的自由度，這種自由度也體現在結論1）中臨界調節指數區間的有界性上，這意味著在消除壟斷的同時，仍有富裕度去設計和優化相應的市場規則以適應其他需求和目標。

一個值得討論的問題是為何降序重排也能實現對凝聚的抑制。若一大適應度節點同時獲得了先行者優勢，它可在短期內獲取壓倒性的連邊從而演化為凝聚節點。為避免該結果，可及時引入更多大適應度節點來與之對抗從而削弱其競爭力，這樣的操作未必能使資源分配更均勻，但確實可以阻斷這些節點一家獨大。特定的降序重排指數恰可以實現這種對抗效應，從而抑制凝聚。但是，該效應的有效性受制于適應度自身分布的性質。當β非常大時，適應度分布的尾端將極度不均勻，導致網絡中最大適應度遠大于其他適應度以致于沒有任何單個節點可與之對抗。對于升序重排，仍可以通過不斷延后最大適應度進入網絡的時間，形成全網節點與之制衡的勢態；但對于降序重排，對抗效應的喪失使得任何有助于最大適應度優先進入網絡的措施都將促進它成為凝聚節點，這意味著降序重排的調控在原則上存在能力極限。當β不斷增大，系統不斷接近這一極限的過程中，必然形成結論4）中重排指數隨β極速發散的結果。若從更現實的角度來詮釋，這一結果揭示當市場環境惡劣到一定程度，任何基于降序重排的策略都難以有效抑制壟斷。

4 結論

本文設計了一套適應度節點有序準入的策略，并研究了該策略對調控網絡拓撲凝聚的影響。通過大量蒙特卡羅模擬和有限尺度效應分析，本文得以確定調控的臨界重排指數，建立起該指數與凝聚強度的關系，最終繪制出凝聚的相圖。該相圖表明，存在一個依賴于凝聚強度的重排指數區間，在此區間之外凝聚現象會得到有效抑制。該結果不僅從理論上支撐了有序準入策略在抑制壟斷上的有效性，還定量刻畫了對于特定惡化程度的市場，需實施多大程度的干預，建立怎樣的準入規則才能抑制壟斷。這對設計更有效、更強健的市場管理機制具有重要參考價值。

需要特別指出的是，本文發現了逆序重排下臨界重排指數隨凝聚強度的加速發散效應。該效應對理解現今互聯網平臺的壟斷有著特殊意義。互聯網平臺的形成和演化通常經歷規模上的資金投入、用戶培養和有效融資等過程，期間能產生多層次的壟斷力量。首先在資金投入時，大資本憑借其資本和信息優勢，往往具有更低的進入壁壘，因此總能優先進入市場。而一旦進入后，資本憑借其在投入規模上的優勢大幅提高準入壁壘，阻礙其他中小資本進入。這意味著互聯網平臺天然具有本模型的逆序重排屬性。其次，大資本相互之間往往并非競爭關系，而是通過融資強強合作，短期內形成超大適應度個體。這兩點結合相當于本模型大凝聚強度β和大逆序重排指數α^－對應的發散區域，是最糟糕的情況，可迅速導致穩固的凝聚節點且難以消除。換而言之，從復雜網絡理論的視角來看，不合理的準入順序和不受限的融資規模是造就互聯網平臺壟斷的關鍵原因，而這一點也被國內近期相關研究所支持^[30-32]。另一方面，有研究表明現今的反壟斷法在治理這種新型行業的壟斷時面臨各種困境^[32]，設立合理的準入機制似乎成為必然選擇。依據本文的理論結果，可以給出以下幾點建議：1）設定合理的準入市場機制，遏制互聯網平臺天然的逆序重排屬性。即鼓勵扶持中小企業進入相關市場，建立其可擴展的用戶資源網絡，同時需打破大資本進入后形成的高準入壁壘；2）對互聯網平臺融資項目嚴格審查，限制其融資規模，約束其惡意收購等行為，從而規避超大適應度節點的產生；3）健全市場機制，促進壟斷企業和資本間內部競爭。

相比文獻[25]的適應度調整方案，本文提出的有序準入策略只需對擬進入市場的個體進行適應度評估，其涉及的群體規模、耗費的資源和時間成本都大幅降低。另一方面，該方案不存在改造不確定性問題，因此具有更高的可操作性。事實上類似的政策在一些行業中已有應用^[26-27]，而本文則是基于復雜網絡的視角，首次從理論層面揭示準入規則與市場壟斷性的關系。盡管在實踐中具體的準入方案仍需專業性的指導和改良，但基于當前主流研究證實的適應度模型在描述經濟系統演化及其壟斷機制上的適用性，我們有理由相信本文的結論并不敏感依賴于系統的特殊細節或具體參數，而是可為廣泛的社會經濟領域所借鑒。

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（責任編輯 李 進）