概周期驅動二維正弦系統的奇異非混沌吸引子特性分析

摘要：研究了一類概周期驅動二維正弦系統奇異非混沌吸引子的存在性與度量特性。首先通過相圖描述了奇異非混沌吸引子的誕生過程，在給定參數下，奇異非混沌吸引子通過光滑環面倍化中斷而出現分形現象；其次，通過最大李雅普諾夫指數和相敏感指數證實了該奇異非混沌吸引子；最后利用功率譜、有限李雅普諾夫指數分布和遞歸圖表征了奇異非混沌吸引子特性。實驗結果表明，系統中存在奇異非混沌吸引子，并且具有較好的統計學特性。

關鍵詞：奇異非混沌吸引子；相敏感指數；有限李雅普諾夫指數分布

中圖分類號： O415.6;N941.7文獻標識碼： A

收稿日期：2023-05-11；修回日期：2023-09-19

基金項目：國家自然科學基金重點項目（11732014）；山東省自然科學基金面上項目（ZR2021MA095）

第一作者：張玉璽（2001-），男，山東菏澤人，碩士研究生，主要研究方向為非線性動力學。

通信作者：孫小淇（1986-），女，山東青島人，博士，副教授，主要研究方向為非線性微分方程及神經網絡的動力學行為。

Analysis of Strange Nonchaotic Attractors of Periodic Two-dimensional Sinusoidal Systems

ZHANG Yuxi¹， SUN Xiaoqi²

（School of Mathematics and Statistics， Qingdao University， Qingdao 266071， China）

Abstract：The existence and metric characteristics of a class of quasiperiodic ally driven two-dimensional systems with sinusoidal functions are studied. Firstly， the birth process of strange nonchaotic attractors is described by phase diagram. Strange nonchaotic attractors are fractal due to the interruption of smooth torus doubling for the fixed parameters. Secondly， the strange nonchaotic attractors is confirmed by the largest Lyapunov exponents and phase sensitivity exponents. Finally， the power spectrum， finite Lyapunov exponents distribution and recurrence plots are used to characterize the strange nonchaotic attractors. According to the experimental results， there are strange nonchaotic attractors in the system and have good statistical characteristics.

Keywords： strange nonchaotic attractors; phase sensitivity exponent; the distribution of the finite-time Lyapunov exponents

0 引言

奇異非混沌吸引子幾何上具有分形特性（奇異性），但它的最大李雅普諾夫指數為負，體現了其非混沌特性。1984年，Grebogi在模擬非線性振蕩器的映射中首次發現并提出了奇異非混沌吸引子的概念^[1]。此后，研究奇異非混沌吸引子成為國內外非線性動力學的重要課題之一，主要包括理論研究^[2-5]、數值研究^[6-7]和實驗研究^[8-11]，奇異非混沌吸引子也具有重要的應用背景，如安全通信^[12-14]、電子電路^[15-18]、氣候動力學^[19]。

目前，研究奇異非混沌吸引子主要集中在概周期驅動的光滑動力學系統，且大量工作致力于研究其動力學轉遷和機制^[20-22]，如分形環面機制^[20]，間歇I型路徑^[21]、H-H路線^[22]等。近年來還有許多路線不斷被發現，如III型間歇路徑^[23]、鎖相路徑^[24]、擦邊分岔路徑^[25]。張在Wada域上描述了奇異非混沌吸引子的演化及分形性質，通過不同的路徑描述了奇異非混沌吸引子的生成和演化，如環面分形路線、間歇-I路線、邊界路線和H-H路線^[26]、分岔誕生路徑^[27]。李^[28]通過理論和數值的方法證明了連續和離散系統中奇異非混沌吸引子的存在性，并進行了相關的數值分析和對多穩態現象的控制。徐^[29]驗證了概周期驅動下二維分段線性范式系統中奇異非混沌吸引子的存在性并且用相軌跡圖、李雅普諾夫指數等方法進行了數值分析。在非光滑系統中奇異非混沌吸引子的產生機制和分形特性目前也引起廣泛關注^[30-32]。沈^[31]通過對概周期驅動的分段Logistic非光滑系統的研究，發現了存在著類型豐富的奇異非混沌吸引子，隨后，沈等^[32]研究了非光滑系統中環面邊界碰撞與奇異非混沌吸引子生成的機理，并通過不同路徑和機制識別了多種奇異非混沌吸引子。本文研究了一類概周期驅動二維正弦系統，探究了經過環面倍化中斷后誕生奇異非混沌吸引子的過程，首先利用相圖來觀測奇異非混沌吸引子的產生過程，并展示如何用最大李雅普諾夫指數和相敏感指數來識別奇異非混沌吸引子，并通過功率譜、遞歸圖、譜分布函數、有限李雅普諾夫指數分布來進一步表征奇異非混沌吸引子。

1 系統模型

Lai等^[33]通過在Sprott B系統中引入正弦函數，得到了一個具有無限多個共存吸引子的混沌系統。根據Lai等的想法，Li等^[34]將正弦函數引入一類二維映射中，以生成無限多個共存吸引子，二維正弦系統描述如式（1）：

方程（1）中引入概周期驅動力后變為

其中，ɑ為控制參數，β為概周期驅動的振幅，無理數ω為系統頻率，ω=（ /5-1）/2。

為了研究奇異非混沌吸引子，首先利用相圖觀察奇異非混沌吸引子的產生過程，再利用最大李雅普諾夫指數和相敏感指數檢驗奇異非混沌吸引子。不妨取概周期驅動的振幅β=0.100，取參數b=1，c=0.1。

本節用一個典型的例子來證實奇異非混沌吸引子的產生，圖1是在取定振幅β的情況下，在α=0.456附近的吸引子相圖，表明從概周期吸引子到奇異非混沌吸引子的躍遷。能夠看出在概周期強迫下，不同周期為k的周期軌道變成了kT環面的準周期軌道，圖1給出了不同參數α下的相平面圖，當α=0.45時，系統的相圖表現為1T概周期環面，隨著α的增加到0.454時，系統演化成了2T概周期環面，當α增加到α=0.456前后時，吸引子表現出類似混沌吸引子的分形特性，但通過式（3）計算它的最大李雅普諾夫指數約為-0.008（小于零），因此，它是一個非混沌吸引子。當α增加到0.458時，吸引子的最大李雅普諾夫指數約為0.004（大于零），吸引子變為混沌吸引子。

為了進一步證實并描述圖1c呈現的奇異非混沌吸引子的特性，本文通過相敏感函數與相敏感指數、功率譜與譜分布函數、遞歸圖、有限時間李雅普諾夫指數分布4種方法分析其特性。

2 奇異非混沌吸引子特性分析

2.1 相敏感函數與相敏感指數

相敏感函數是判斷概周期吸引子和奇異非混沌吸引子的重要方法之一^[17]，奇異非混沌吸引子常有如下性質：Γ_N～N^μ，其中μ為相敏感指數，即相敏感函數Г_N隨著軌道Ν的長度而增長，并表現出冪律關系。相敏感函數計算方式為

通過計算可得圖1c吸引子的相敏感函數，由圖2可以看出相敏感函數Г_N與Ν存在冪律關系，即Г_N～N^μ，通過計算得：相敏感指數α=0.456時，μ約為0.994，該吸引子明顯區別于概周期吸引子，又因其最大李雅普諾夫指數約為-0.008，因此，該吸引子為奇異非混沌吸引子。

2.2 功率譜與譜分布函數

功率譜也是驗證奇異非混沌吸引子的一個重要方法，功率譜特征通過用時間序列分析非線性動力系統的波動狀態來表示，對于周期吸引子，功率譜是由基頻諧波處σ-峰組成，混沌吸引子為連續譜，奇異非混沌吸引子的功率譜具有獨特的特征，即奇異連續性。

由傅里葉變換

得到功率譜

其中，X（ω，T）為傅里葉級數，ω∈[0，1]為功率譜頻率，n為傅里葉變換的迭代次數，x_n為系統第n次迭代時的輸入變量。圖3a顯示了在參數α=0.456時的功率譜，對于奇異非混沌吸引子，功率譜有分形特性并且具有自相似的峰。

譜分布函數也是驗證和表征奇異非混沌吸引子的重要手段，譜分布函數是通過計算功率譜中大于σ值的峰的個數而得出的，與周期吸引子和混沌吸引子不同，奇異非混沌吸引子滿足冪律關系G（σ）～σ^-β，1lt;βlt;2，β為擬合的斜率。得到了以lgσ為橫坐標，lgG（σ）為縱坐標的擬合圖，如圖3b所示，可以看到它們的關系可以擬合成一條直線，并且斜率約等于-1.92。

2.3 遞歸圖

通過引入遞歸圖，以可視化的時間，將二維動力系統的狀態顯現出來，通過遞歸矩陣上的不同結構，能夠區分基礎軌跡所蘊含的各種運動狀態。圖4a顯示了參數α=0.456下的隊規矩陣的可視化，顯示了重復模式也沒有中斷的均勻紋理，從圖4b能夠看出，固定時間段的垂直和水平波段代表了兩組不同參數下不同時期狀態的遞歸，說明底層過程實際上還是復雜的、具有確定性的。但是最大李雅普諾夫指數小于0，這說明吸引子在圖1c參數下是奇異非混沌吸引子。

2.4 有限時間Lyapunov指數分布

由于不同種類的吸引子在有限時間李雅普諾夫指數分布上會表現出不同的特征，因此對于檢驗奇異非混沌吸引子是有幫助的。有限時間李雅普諾夫指數P（t，λ）的分布具有一個特殊性質，奇異非混沌吸引子在有限時間間隔內通常具有正的李雅普諾夫指數，但漸近指數為負。對于奇異非混沌吸引子，在有限時間李雅普諾夫指數大于零的區域會出現正值曲線。對于環面吸引子，沒有尾部延伸到局部李雅普諾夫指數大于零的區域。這里不妨取t=50，并計算有限時間李雅普諾夫的分布。圖5為奇異非混沌吸引子在ɑ=0.456，β=0.100時的有限時間李雅普諾夫指數分布圖，它具有一個顯著的特點是有限時間李雅普諾夫指數分布中的正尾呈指數（縱坐標為對數）衰減，在其負值中表現出細長的尾巴，這種特性不同于其它類型吸引子（周期吸引子、概周期吸引子和混沌吸引子）。

3 總結

本文通過一類簡單概周期驅動二維正弦映射，通過多種方法驗證了系統中奇異非混沌吸引子的存在性，并描述了其分形特性和統計學特征。首先通過相圖，觀察到了奇異非混沌吸引子的形成過程，并通過最大李雅普諾夫指數和相敏感指數識別奇異非混沌吸引子，通過功率譜、遞歸圖、譜分布函數和有限時間李雅普諾夫指數對奇異非混沌吸引子進行進一步描述。研究結果表明，系統中存在奇異非混沌吸引子。通過大量實驗數據分析，此系統在其他參數區域也存在相似的奇異非混沌吸引子，關于奇異非混沌吸引子的實驗還有待進一步研究。

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（責任編輯 耿金花）