GeoGebra在線數學實驗室

在高中數學教學中，經常遇到抽象和缺少實物展示的概念和問題，也經常遇到動態變化的圖形，要求研究其中的數量關系。在立體幾何教學中，課堂上學生需要實物模型，但空間幾何體內的圖形變化在實物中通常無法展示，但可通過軟件模擬出相關圖形，展示幾何量的數量關系。如果能動手操作模型，學生在獲取知識、理解知識、形成能力、提升素養方面將有更大收獲。

本項目以GeoGebra軟件為工具制作數學實驗課件，在GeoGebra官方網站將數學實驗與實驗引導、問題鏈融合，生成活動、課程、繪本，形成GeoGebra在線數學實驗室（網址：https：//ggb123.cn/m/hrzspaas）。

設計目的與思路

可視化

GeoGebra軟件可以通過構造幾何體、計算觀測量、設置對象的屬性，實現動態圖像的可視化、觀測量的數據變化可視化、數據的可視化等。將抽象概念可視化、讓幾何體內部不可見的圖形可視化，是GeoGebra數學實驗設計的初衷和主要目的之一。

探究化

GeoGebra在線數學實驗室遵循建構主義理論，融合現代教學設備，打造智慧教學，學生通過在課堂上動手做數學實驗，經歷直觀感知、操作確認、思辨論證，提升數形結合、空間想象、數據分析、數學建模等關鍵能力和核心素養，實現個性化教學和探究性學習。

系統化

按照現行高中數學教材的教學內容設計數學實驗，形成一套較為完整的數學實驗系統，并在在線數學實驗室中呈現。目前在線數學實驗室實驗內容包括函數、三角函數、立體幾何、向量與解析幾何、統計、分形等。

問題鏈

使用GeoGebra數學實驗需要與問題結合，封閉式問題給出了指向明確的觀察方向，而開放性問題能為學生提供廣闊的觀察視野和思維空間。在線學習中，在網頁上提供實驗引導和問題鏈，引導學生自覺地閱讀并思考，得到初步結論，然后通過操作在線數學實驗，驗證或否定原有猜想，進一步觀察、思考，提出新的問題。

設計原理

以空間想象能力為例進行說明。在教學實踐中，空間想象能力的形成過程一般為：學生觀察實物模型，在大腦中形成空間幾何體的表象，能用二維圖形描述空間幾何體；能脫離實物模型，按照語言文字的描述，在大腦中構想空間幾何體；能對大腦中建立的表象進行加工或操作以便建構新的表象，得到空間幾何體的變化、截面、組合體等。

在目前的教學中，學生能接觸到柱體、錐體、臺體、球體等基本模型，但是，與各種幾何體截面相關的立體實物模型較為少見，能動態變化的立體實物模型基本沒有。沒有實物模型觀察，學生對幾何體難以形成表象，更談不上對表象的操作和形象思維，因此，幾何體的截面、動態變化等與幾何體相關的空間想象成為教學難點。用幾何畫板可以作出一些幾何體的截面，但是難以作出較為復雜的、動態變化的立體幾何模型，且幾何圖形的直觀性、準確性有待提升。

本項目嘗試用數學軟件GeoGebra創設數學實驗，讓學生可以動手操作實驗，全方位觀察空間幾何體，觀察三維動態圖形的變化情況，形成表象；再通過設置問題鏈，讓學生對表象進行重構，并通過GeoGebra數學實驗校正和加強新的表象，幫助學生突破空間想象的難點[1]。在解決較為復雜的問題時，教師應幫助學生作出圖形，在學生有困難時，應展示復雜問題對應的模型，幫助學生建立新的表象，并與已有表象建立聯系。

制作過程

從2017年至今，本項目連續經歷了2個市級課題的研究，通過一系列措施保證了實驗課件設計與制作質量、問題鏈設計質量，在課堂教學實踐中不斷提升課堂教學或在線學習效果。同時，本項目設計了單一課堂教學、單元教學、學年教學3組對比實驗，收集相關數據，通過數據分析，驗證了GeoGebra數學實驗對提升學生數學學習能力的促進作用。

設計

本項目設計了GeoGebra實驗課件設計表，在課件制作前由教師填寫設計表，在設計表中體現動態變化的元素和關聯，能夠較為全面地思考實驗課件與教學之間的互動。設計表規范了實驗課件設計的步驟，同時通過分組交叉審核的方法審核，便于集思廣益和發揮團隊的作用。精心設計的數學實驗操作簡便，利于師生快速掌握實驗步驟，集中注意力于實驗觀察與分析猜想。

問題鏈

在設計GeoGebra數學實驗課件的同時，根據教材和教學設計，教師需設計與實驗相關的問題鏈。問題是數學的核心，數學實驗可以為解決數學問題而設計，學生循著問題鏈能解決數學及其應用問題。問題鏈也可以為學生發現規律而設計，還可以為引導學生提出問題而設計。

制作、試用與修改

制作者可以是設計者，也可以是其他人。按照設計表，在充分思考和交流的前提下，發揮具備不同教學教研能力、不同信息技術應用水平教師的長處，制作出相應的數學實驗課件。在充分評估實驗課件的應用效果后，課件被用于課堂或校本課程教學中，教師將問題鏈與課件結合，引導學生動手實驗、發現規律、思辨論證。

在線實驗

通過課堂實踐后，修改問題鏈和實驗課件，再上傳到GeoGebra在線數學實驗室，進行分類展示。GeoGebra數學實驗室的絕大部分課件是為學生動手實驗而設計的，通過問題鏈引導，學生經歷直觀感知、操作確認、猜想驗證，升華到思辨論證，實現教師的個性化教學和學生的創造性學習與表達，促進學生對數學的深度理解，逐漸提升數學核心素養。

教學應用

GeoGebra在線數學實驗室的系列實驗課件可以用于課堂教學、校本選修課程、在線教學，數學實驗以數字化、可視化的方式，幫助學生提升數形結合、空間想象、數據分析、數學建模等關鍵能力和核心素養。

課堂教學

課堂上教師可以用GeoGebra在線數學實驗室的實驗作為演示實驗，引導學生歸納猜想，完成由具體到抽象的教學過程；也可以由學生使用平板電腦動手完成探究實驗，觀察參數變化后的模型變化，歸納變化規律，提出猜想，再驗證猜想的正確性。學生還可以繼續觀察模型或改變模型參數、度量新的觀測量，發現和探究新的問題。

比如，依據人教A版（2020年版）《數學》教材選擇性必修二第70頁練習4、人教A版（2004年版）《數學》選修2-2教材第2頁問題1“氣球膨脹率”，構建1個數學實驗：勻速給氣球充氣，觀察氣球半徑關于體積V或時間t的平均膨脹率、瞬時膨脹率。該模擬實驗不僅展示了勻速充氣的實驗效果，還能通過問題鏈引導學生從直觀感知到圖形分析，再到定量刻畫。

新冠疫情期間，學生居家學習高中數學的立體幾何，沒有空間幾何體的模型，教師在視頻教學中使用的模型也不能按每位學生的需求變換角度觀察。但是，在線數學實驗室的3D模型和實驗，可以全方位變換角度觀察，既能觀察幾何體的內部，也能自主觀察3D圖像動態變化。學生使用電腦、手機、平板電腦進入GeoGebra在線數學實驗室，還可與教師同步做實驗，也可在課后繼續探究，幫助學生提升空間想象能力，實現個性化學習。

校本課程

在校本課程“GeoGebra數學實驗與探究”中，用項目驅動的方式組織教學，學生人數限制為20人，每人1臺電腦，每周1課時，總共36課時。在教師引導下，學生可體驗創建數學模型、學習制作實驗課件，并利用自制實驗課件探究數學難題，或借助GeoGebra理解數學難點。學生對校本課程很感興趣，經常使用GeoGebra創建數學模型，甚至讀大學時還使用GeoGebra繪制空間曲面圖形。