分類討論，解絕對值

【摘要】絕對值是學生學習初中數學的第一個難點，涉及絕對值的代數推理題層出不窮，且有一定難度.常見題型是利用絕對值意義、性質進行條件求值（最值）、化簡求值、解方程等，我們需運用數形結合、分類討論、轉化思想進行分析演算，進行代數推理.

【關鍵詞】初中數學；分關討論；解絕對值

1 求最值

例1 對于任意有理數x，代數式x－3+x+6何時有最小值？

解析 x－3在數軸上的幾何意義是：動點P（x）到定點（3）的距離.x+6=x－（－6）表示動點P（x）到定點（－6）之間距離.x－3+x+6表示動點P（x）到定點（3）與定點（－6）的距離之和，本題并求這個距離之和的最小值.

當x＜－6時，即動點P（x）在定點（－6）左側時，原式=－x+3－x－6=3－2x＞9；

當－6≤x≤3時，即動點P（x）在定點（－6）與定點（3）之間時，原式=－x+3+x+6=9；

當x＞3時，即動點P（x）在定點（3）右側時，原式=x－3+x+6=3+2x＞9，所以－6≤x≤3時，x－3+x+6有最小值3.

經驗總結 x－a+x+b（a＜b）在數軸上表示動點P（x）到定點（a）與定點（b）的距離之和，當a≤x≤b時，其最小值為b－a.

2 解方程

例2 若x+4+x－2=10，求x的值.

解析 本題運用零點分段法求解，先確定零點：當x+4=0時，x=－4；當x－2=0時，x=2.這樣x的不同取值分成三種情況：x＜－4，－4≤x＜2和x≥2.

（1）當x＜－4時，原方程化簡為：－（x+4）－（x－2）=10，解得x=－6；

（2）當－4≤x＜2時，原方程可化簡為：x+4－x+2=10，無解；

（3）當x≥2時，原方程化簡為：x+4+x－2=10，解得x=4.

綜上，x=－6或4.

經驗總結 零點即令絕對值等于0的未知數的值.解決此類問題先找零點，再根據零點分段，確定不同的取值范圍，然后根據取值范圍和絕對值的意義進行化簡，并解方程.

3 化簡求值

例3 有理數a，b，c滿足a+b+c=a－b+c，且b≠0，則a－b+c+1－b－2的值為.

解析 化簡求值前需要去掉每個絕對值符號，那么要對每個絕對值內的每個式子進行性質符號分析.

（1）當a+b+c≥0時，a+b+c=a+b+c，則已知等式化為a+b+c=a－b+c，即b=－b，所以b=0，與題目中“b≠0”矛盾；

（2）當a+b+c≤0時，a+b+c=－（a+b+c），那么已知等式化為：－a－b－c=a－b+c，則－a－c=a+c，即a+c=0，將其代入已知等式a+b+c=a－b+c得b=－b，又b≠0，所以b＜0，

所以原式=0－b+1－b－2=1－b+b－2=－1.

經驗總結 要化簡絕對值需要分析每個絕對值符號內的式子的性質符號，不能確定其正負的，要進行分類討論.

例4 若a，b，c均為整數，且a－b+c－a=1，則a－c+c－b+b－a的值為.

解析 因為a，b，c均為整數，而a－b≥0，c－a≥0，a－b為非負整數，c－a為非負整數，那么寫成0與1的和的形式，即a－b=1，c－a=0或a－b=0，c－a=1.

（1）當|a－b|=1，|c－a|=0時，c=a，a=b±1，

所以原式=0+|a－b|+|b－a|=0+1+1=2；

（2）當a－b=0，c－a=1時，a=b，

所以原式=a－c+c－a+b－a=1+1+0=2.

綜上，原式＝2.

經驗總結 若m，n為整數，且m+n=1，由絕對值的非負性及兩個整數之和為整數可知，m＝0，n＝1或m=1，n=0.對本題還可以變式，如：若a，b，c均為整數，且a－b2025+c－a2024=1，則a－c+c－b+b－a的值為.（本題解答過程與上面解答完全一致）.

4 條件求值

例5 已知m=|a+b|c+2|b+c|a+3|c+a|b，且abc＞0，a+b+c=0.設m共有x個不同的值，若在這些不同的m值中最，大的為y，則x+y=（ ）

（A）4. （B）3. （C）2. （D）1.

解析 因為a+b+c=0，則a+b=－c，b+c=－a，c+a=－b，

那么m=|－c|c+2|－a|a+3|－b|b=cc+2aa+3bb，

而a+b+c=0，且abc＞0時，則a，b，c中只能是：兩負一正.

（1）當a＞0，b＜0，c＜0時，則m=－1+2×1+3×（－1）=－2；

（2）當b＞0，a＜0，c＜0時，則m=－1+2×（－1）+3×1=0；

（3）當c＞0，a＜0，b＜0，則m=－1+2×（－1）+3×（－1）=－4.

所以m值中最大的y=0，又x=3，所以x+y=3.

經驗總結 利用已知條件，將每個較復雜的分式轉化成稍簡單的分式：aa，bb，cc，又每個分式前的系數因數相同，需對a，b，c的性質符號分別分類討論，再進行求值.

例6 已知a，b，c，d都為有理數，abcd＞0，a+b+c+d＜0，求aa+bb+cc+dd+|abcd|abcd的值.

解析 由abcd＞0，則這四個數可以是同為正、同為負、兩正兩負，又a+b+c+d＜0，又要排除“同為正”的情況，所以只有“四個同為負”和“兩正兩負”的情形.

（1）若a，b，c，d同為負，原式＝－1+（－1）+（－1）+（－1）+1=－3；

（2）若a，b，c，d中兩個大于0，另兩個小于0.

令a＞0，b＞0，c＜0，d＜0，且使a+b＜c+d，

原式=1+1+（－1）+（－1）+1=1.

若a＞0，b＞0，c＜0，d＜0，且a+b＞c+d時，不合題意，舍去.

綜上，原式＝1或－3.

經驗總結 根據已知條件中的“四個數之積為正”“四個數之和為負”，我們要列舉所有可能情況，再根據各種情況進行化簡求值.

5 結語

涉及絕對值的化簡問題一般分為三步：（1）利用絕對值的定義或性質判斷所含字母或式子的符號，一般要分類討論；（2）依據去絕對值法則去掉絕對值；（3）根據題目意圖求代數式的值或化簡代數式.