初中二次函數動點問題的解題策略與教學研究

【摘要】隨著初中階段數學教學內容的深入，二次函數動點問題成為中考教學的重點內容，這類問題考查了學生函數知識、三角形知識、矩形知識以及動態轉化靜態的思維方式等，這類題型充分地展現出了初中數學的價值.考慮到動點問題的求解需要特定的數學技巧以及扎實的基礎，為此對其進行系統的研究和討論.本文詳細地介紹幾種二次函數動點題型，并提出具體、系統的思考方式和解題方法，減少學生對動點問題的排斥感，降低解題難度，增強學生的解題能力，實現數學教學優化.

【關鍵詞】初中數學；二次函數；解題策略

二次函數動點問題常作為各地區中考壓軸題目，難度較大，涉及知識點較多，需要學生明確此類題型的考查方式，掌握二次函數動點問題的解題思路.如動點的運動路徑，與其他幾何圖形、直線關系.為此學生要了解并掌握二次函數的特點，靈活地應用幾何知識與代數知識.

例1 如圖1，二次函數y=－14x2+32x+4的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點P是第一象限內二次函數圖象上的一個動點，設點P的橫坐標為m，過點P作直線PD⊥x軸于點D，作直線BC交PD于點E.

（1）求A，B，C三點的坐標，并直接寫出直線BC的函數表達式；

（2）當△CEP是以PE為底邊的等腰三角形時，求點P的坐標；

（3）連接AC，過點P作直線l∥AC，交y軸于點F，連接DF，試探究：在點P運動的過程中，是否存在點P，使得CE=FD，若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由.

分析 此題目是關于二次函數圖象以及性質的題目，在題干中給出了二次函數y=－14x2+32x+4，得到A（－2，0）、B（8，0）和C（0，4），利用待定系數法，可直接求解出BC直線的解析式，即y=－12x+4.針對例題1中的第（3）問，過C作CH⊥PD于點H（如圖2所示）.假設點P的坐標為P（m，－14m2+32m+4），根據PF∥AC，可以假設直線PF的解析式為y=2x+b，并由此得到PF的解析式為y=2x－14m2－12m+4，F（0，－14m2－12m+4），得到OF=－14m2－12m+4.在本道題目解答中，利用了三角形相似，Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），并由此得到∠HCE=∠FDO，相應的∠FDO=∠CBO，tan∠FDO=tan∠CBO，故－14m2－12m+4m=48，

解得m=25－2或m=4.

例2 如圖3，二次函數y=－x2+bx+c（b>0）的圖象與x軸分別交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C ，二次函數的最大值為254，P為直線BC上方拋物線上的一動點.

（1）求拋物線和直線BC的解析式；

（2）如圖3，過點P作PD⊥BC，垂足為D，連接CP．是否存在點P，使以點C，D，P為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖4，點Q也是直線BC上方拋物線上的一動點（點Q在點P的左側），分別過點P，Q作y軸的平行線，分別交直線BC于點M，N，連接PQ．若四邊形PQNM是平行四邊形，且周長l最大時，求l的最大值及相應的點P的橫坐標．

分析 在解決二次函數動點問題中，需要將動態問題轉化為對應的靜態問題，以幫助梳理題干信息、分析與理解問題[1].在本題目第（3）問中，Q為直線BC上方拋物線上的一個動點，過點M作MF⊥QF，交QN延長線上一點F，此時可以得到一個平行四邊形PQNM（如圖5所示），假設PM=n，此時可以求出直線PQ的解析式，將直線與拋物線解析式聯立y=－x+4+ny=－x2+3x+4，可以得到FM長，FM=xp－xQ=24－n，在等腰直角三角形FMN中求解出MN的長度，MN=FMcos∠NMF=24－ncos45°=22×4－n=28－2n，再利用含有n的代數式表示平行四邊形的PQMN周長，即l=2（MN+PM）=－（8－2n）2+48－2n+8=－（8－2n－2）2+12，并根據二次函數的性質，計算出周長l的最大數值12，以及此時n的數值2，故P的橫坐標為2+2.

結語

經過上述題型練習，學生可以總結出常見的二次函數動點問題的解題思想，采用化歸、分類討論的方式，可以將動態問題轉換為靜態問題，進而提煉出解題路徑，以此來提升學生的解題能力，培養學生的綜合素養.

參考文獻：

[1]陳進發.二次函數動點問題解題教學設計[J].中學數學，2024（12）：53-54.